关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
! J, [% p8 U; h# J) E. |

内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

5 a" o: Z8 |' D& [- _: Q一、“142857”的神奇性质
" ]" j5 C1 o8 N' U. q* G6 w: _- j现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
0 B. \" B% k. u/ R1 S142+857=999
1 a( D# P8 |. |$ a142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
7 W0 ?- h7 s2 E$ n7 `5 m142857×4=571428        142857×39=5571423       
) o4 X! y, M/ J4 q( q4 L& b142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
+ G3 a$ Y' G/ p, W! Z7 |=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
3 |  e: c3 G$ T8 }0 b/ S        2915+443148+696793=1142856=8×142857
4 o  d5 p' F  w6 y1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
0 L2 d) C6 a4 f7 W( X3 q=3142854=22×142857
) `4 z1 K0 |# N2 D6 Z' b: o142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
: }  g. e1 y7 s, E6 ]- Y) M$ Z  s+ ?
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
2 g! J$ u0 W9 Y  E  ]2 b 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
: Z- V8 }/ K# X) r142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
! j9 }$ q8 Q2 H/ A2 D: ^( @# y6 K这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
+ ?' S% b" E: m  a8 I% G二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
! P& W- \2 X8 Q# T为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
* W' L$ r& N7 a, M                  表2 不定方程的解
* Y9 m( k$ [8 l( vn        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
$ x% m5 \( s3 \7 C$ w) Zb        6        2        1        4        5        3
  X* W: Z- ~0 S由此得到142857的简单整数倍的计算式
* I9 W( K2 Y' M/ z) S nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
$ `- S3 {9 E8 D- [式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
2 |; H. K( V/ B" h; `! z9 w在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
- j$ U1 |0 p7 d% b$ u$ t: M0 D由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
* u/ D; ^* S+ h其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
& k' ~& d: [# D; a& X- P# t* ]$ n' {101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
2 u) e, c6 N$ u* L) E  X! T3 F' B' e因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
9 M" j, F  K. I1 \+ b1 j 比如,求 13 A =？
0 K9 D+ |0 C1 D/ T   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
) _4 r4 `7 y% T& k) m" B% N6 U（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
0 S# v6 w0 W; Y* \+ l2 K由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
7 N5 e8 \# S$ S5 c) o由此
1 F/ x0 F6 ]2 O(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
" ]7 [9 M) h6 U, U最终得到
7 T) E1 h, [7 Z( a3 n7 {7 WAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
' ^4 L& D( t" h! A; I! _这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
0 T, |4 z3 h6 x) t' p* r/ k: ^' @运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
1 q1 \7 _, t% ~7 q- NA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
6 w+ F9 o7 `; I2 ~, z0 U+ i试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
: l  z; y" B7 i. W4 m' A4 V! u5 w2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
7 P3 q6 T  J  l: u( I9 ~$ E! zA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
8 @9 b# O4 f& R; E4 N, w现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
! h! ~" V# T  I4 o& b" @0 ~4 wA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
5 N- D+ f6 J2 A& }9 @A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
2 i% z6 ?: T2 T2 h4 u显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
" }1 `9 n) u9 }而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
已知：
8 B+ e1 o# _) C, eA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
. T. h4 w( R! [  W% b: m' C& Y证明：
A3= a×1012 +b×106+c
( C4 u8 E: Z' P8 o/ ~6 o+ d  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
2 h/ H1 z4 w% T6 p) s" w7 c  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
# {! Y( [, k! W( ~  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
' V; Y3 d3 p, ?( q, `3 Z=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
" z, [$ y- V# l9 K6 J以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
  Y) Z. O& N. B! H0 Ia+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
& `& f% \3 [& G
参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.