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神奇数字“142857”新的发现与解读
7 m3 R2 l# C9 G) ]钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中(836300)
: j% E# L+ I) d/ a/ C
" B( C, z5 ~# f. _8 `5 X1 H& b ; ~( \4 R; |, b7 `& h9 L. o$ J, \
内容提要:多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857,引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字,人们津津乐道,网民跟帖连篇,惊奇赞叹不已。2012年底,有人提出计算公式,对它的神奇性质进行论证,才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面,又有了新的探索和发现。, t/ q: j0 Y; U+ y5 c
关键词:神奇数字142857 142857的乘方 众数和 4 q$ U3 J* F3 `: o W/ V3 C4 ]
0 h$ B) o* B/ A( W
一、“142857”的神奇性质9 K. Q% y5 I# o9 y r
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下:
6 G% g% g" q( P5 q$ p8 @表1. 神奇数字142857的性质列表
5 \& d! ^. e4 d% X; I# z142857×1=142857 142857×15=2142855 1+4+2+8+5+7=27
) T0 N2 O F S( q2+7=91 N% F: }: p, S- S1 L+ }# A
14+28+57=998 u0 a- e: h1 b- ]9 u
142+857=9995 J- X2 y" ~; s
142857×2=285714 142857×23=3285711
4 [( y" A, N( I) ~3 d142857×3=428571 142857×31=4428567
- A: _5 q' x8 A k6 j142857×4=571428 142857×39=5571423 2 p* R9 k( a+ |2 I6 R( |9 m
142857×5=714285 142857×47=6714279 1428572=20408122449- I! x2 G" k5 W! J
142857×6=857142 142857×55=7857135 20408+122449# L7 L; H$ k1 G4 E5 z: W* w8 t
=1428576 T0 J5 q4 U2 L+ s' V9 D# o
142857×7=999999 142857×63=8999991
# Z6 i' i3 h& ^! C5 q1428573=2915443148696793.
7 z C; `* U% U4 i% P0 O! g8 y 2915+443148+696793=1142856=8×1428572 U. W! Y3 N+ U% D
1428574=416401461893377757601
* B$ q" x2 X0 Q1 _# I( }+ ` 416+401461+893377+757601=2142855=15×142857/ D2 Y* a# Z; [7 H; P5 a! {
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.6 |1 |. M" c; R$ @& V/ H
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631" B' y5 T( i4 W. Y7 r& V/ X
=3142854=22×142857/ B$ R5 G, E" ?' M8 T
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+1428572 l/ e4 t7 h1 N! z& @( ]
* n7 v; f6 @* T& z( P& x
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的:
6 B& a% I3 a. Y7 l 1/7=0.1428571…,142857==999999/7 = (106-1)/78 ?6 {. G7 w* ]7 w) q2 w
142857这个数能被"9"整除(142857=15873×9),因此,它的各位数字之和应等于9:3 ]& j/ o* r* b' k7 L2 F0 C! L
142857=15873×9,
8 D& ` C/ Z7 K7 \1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.% v0 z- D0 B6 d1 n( g3 p& W
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S., K- I2 d' i, W! j
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S. 2+7=9. (R, S 皆为自然数)
9 M% T7 b( Z* s- A- Y$ M这表明,重复进行以上运算,最终将得到“9”。由此可见,将六位数142857 拆分为6个个位数相加,或3个二位数相加,或2个三位数相加,最终将得到“9”。" \6 ^4 {% c( k, b. T
二、神奇数字142857的计算规律
' [/ D" m; D( j6 ^以下就神奇数字142857的整数倍计算,它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律,分别予以讨论。
$ s" Y" p, g. [(一)142857的简单整数倍(n<7)计算; o2 p+ y4 w, ?( ]9 G* F! U
为计算n×142857,笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
. j3 C. i- Y+ W) {6 j! E8 kn=(10b-7a),
" c' e4 P' W$ l/ c8 `: Y2 c8 s. o# Tn=1, 2, 3, 4, 5, 6. a,b 为待定系数
. [, [' g/ c; y5 R) P1 T' Q/ s5 [# A解此不定方程,得到7 q4 t# M7 ^0 p4 l4 Q5 ]1 C
表2 不定方程的解/ p6 z% H( r0 M1 T- w2 c
n 1 2 3 4 5 64 D1 @6 {2 w" j; o, j
a 142857 14 1 1428 14285 1425 @ J! f* m2 V$ S2 \/ z" s
b 6 2 1 4 5 3
& p& a& O: W/ R W' g7 U由此得到142857的简单整数倍的计算式. b3 T9 @9 A" ^' N
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a(令 А =142857= (106-1)/7) (1) 2 @, v: ^/ V* ?: h: C+ S
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律,即 nA仍由这六个数字所组成,只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例:
3 g1 u0 A( {! n) t( }& z' D- Z5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285! h2 U8 A( I2 \* f1 h
在式 (1)中,等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”(即5 A的首位数字)前的14285的消失,而加上第三项“+a”,14285 又出现了。$ k+ J! f5 I( T6 f' B; ] q
由上表可知,在以上142857的简单整数倍的计算过程中,消失而后复出的,总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a,这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n(取整数,1.4为142857的前两位)。如 n=2,3,4,5,6时, nA的首位数分别为2,4,5,7,8,在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
3 h E) H1 v3 e" F( T其实不用专门设立和求解不定方程(1),只要细心分析求“7”的倒数的运算过程,就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步,即& h1 _9 l- d/ f# {# F' |' ^
101-7×1=3,102-7×14=2,103-7×142=6,104-7×1428=4,105-7×14285=5,106-7×142857=1。/ C/ H6 R/ M$ ?
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程:
2 v7 v) e2 S+ Y& z- m2 k3 D8 An=(10b-7a),
; E0 `+ A% Z2 s* j. q: C& g待定系数也一目了然了。
/ u. e2 U; z7 a2 r q+ b9 U2 \当计算142857的任意正整数倍(7m+n)A时,式(1)可变化为
, j6 j3 }6 ~( g. T# Q" d& hA=m×106+nA-m ( 2 )) [9 P. V# W7 p' D
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
. h! G$ G7 S4 k. V 比如,求 13 A =?/ H0 g0 k0 h. h, i
m=1,n=6,$ p5 E( r& ~0 J* F0 c& r1 x) I# R
13 A=(7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141. (6 A=857142).$ a+ m/ J, L2 R8 s7 u, w5 s4 V @" x
(二)142857的n次幂的计算: G( T1 m8 ]/ E) ?/ g
结合二项式定理,将式(2)用于142857的n次幂的计算,可使运算过程更为简便。
* @6 J+ d3 r9 D3 N2 q' V, b由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中,末项为1,其余各项均含有7m的因子,8 n: R" g3 P( s E3 q3 k3 ^, s
由此+ f4 \4 P6 M, B+ K
(7m+1)n= (7p+1),7p=An-1, An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7, 5 S/ L/ R$ m; o$ D; l
最终得到- C) o! z7 U/ z. t" ]+ U
An+1=(An-1)/7(106-1)+A (3)
% [; E) c' w2 |$ C8 J现运用式(3)计算1428572,研究A2与 A之间的关系:
7 C1 J) P( v7 n* {! C1428572=(A-1)/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449," I. d% U9 O% g L$ h
142857=20408+122449.
6 ]) W0 [9 ]- q# c+ G2 ` _; |这就是将1428572(20408122449)拆分为20408和122449,这两数之和正好等于142857的奥秘所在。% t) E) g% O' p; m
运用式(3)依次计算142857的高次幂,优越性尤为明显,如5 E( O! ~/ P' I9 p. |
A3=(A2-1)/7 (106-1) +A =29154431486967933 r+ E4 q, a" p. o
A4=(A3-1)/7 (106-1) +A =416491461893377757601.- }& M3 j" Q& N; P
试想,如果已知A3=2915443148696793,要用常规方法计算:" F# m. Z2 K. E# f" i: ~
2915443148696793×142857=?, b0 s3 `3 m1 _9 |) B4 o
被乘数与乘数分别为16位数和6位数,需通过多少次的乘法运算,又需通过多少次的加法运算!
* v7 j, _5 t" m% x(三)142857的n次幂An的“众数和”5 f5 n0 L2 u, P: b, p Y
在142857的n次幂An的运算中,142857是个六位数的底数,将An数值的多位数划分为若干个六位数(最后一个可能不够六位),再将这些六位数相加,就得到它的“众数和”(用A1,A2,A3……表示)。例如:
# u8 Z7 x2 \( FA3=2915443148696793,
6 |# d5 A" L9 S* W' W- B3 q W A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
: _( b0 K% N4 c) b w. r现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下:
" o% T* x6 p# ~4 ^7 E# KA1 =142857, A1 =142857= A
+ O9 r+ E- R! k9 ?$ g& @2 f4 i0 m+ W7 MA2 =20408122449, A2=142857= A
* j4 p9 K" E4 B6 TA3=2915443148696793, A3=1142856=8 A
$ I: _5 L$ |0 \) V3 |0 B4 iA4=416491461893377757601. A4=2142855=15 A
: X, y8 |/ _/ ~: |6 G# `A5=59498720771702266317606057, A5=2142855=15 A8 J% A4 M6 P/ ] A6 J4 K) h
A6=8499808753283070659334248484849, A6=2142855=15 A
# r) Q( }5 J% aA7=1214257179067759625180512735810073583, A7=2142855=15 A, I( ^ p* X% \
A8=173465137830082936774412507899619681846631, A8=3142854=22A8 O) Y+ U7 V8 v6 c
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767, A9=3142854=22 A
9 L! Y# q- V3 _2 @- v显然,构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A. (4)
- ~$ w) U* S9 o, P. t而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
4 G# D" @( Q: w/ ?) k+ x, c现以A3为例,验证如下:
* J7 ?/ Q+ L/ R2 }5 S6 E" M已知:
4 m+ c+ z5 H) K5 `" ^7 F, kA3=2915443148696793(令a=2915,b=443148,c=696793)
" w) v; ^" j( ?+ Y7 `% U) D1 F, h' PA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
" t, g m7 r4 N8 |8 [5 d证明:" _: J8 E+ t3 X* D& u3 e
A3= a×1012 +b×106+c
& c8 k4 `; T1 w" K% H7 u = a×(106-1+1)2+b×(106-1+1)+c% `4 D' t9 J" T+ }. } i3 ]
= a×(106-1)2+2 a(106-1)+a +b×(106-1)+b +c3 l4 S* z* s7 x$ H" P Z
= a×(7A)2+2 a(7A)+a +b×(7A)+b +c.
; K) t) r# ]( g1 p' Q4 H: g' I又: A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此,
# Q( }1 d2 M$ S- V2 r7 U8 |a+b+c= A3-[ a×(7A)2+2 a(7A) +b×(7A)], Z& z. C" B* i& y( i0 O! I
=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A& e) A. {7 V" }1 y8 M/ N. g$ }, U
=7A(P-Q)+A
* N* N% y7 g( {6 z7 j- g= (7R+1)A. , {" T/ |7 _6 H' u/ R
以上P,Q,R 均为自然数。7 Q3 f y& f! {6 ?* \! P$ `
对A35 K% j4 @4 r3 m8 r
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.. C! R3 ?, S" y6 G: h) A
三 、总结2 ^; m3 q; c+ c9 L+ U9 f+ {2 `) Q. Z
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
0 `( p% [# F' n* h1 t$ N
8 u) S7 T* j, u! E0 c4 f1 F3 t参考文献:% a. d2 i' L/ j# I6 p' z o
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J],俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》(中学数学),2012,(10).
' p& t4 ]) v. v" {# r( {( B5 \* K3 c% j+ D# R5 N8 X( {4 {
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zan
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