关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
. G, ~8 X6 h2 i* U9 a钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
2 b. g; D7 X0 h
, {% Z/ Q3 S6 [0 U0 D1 F
: f& Q! @; l8 J$ E8 _( N9 l* n6 u内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
% ?, M- C3 |$ w- F5 N关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

* S6 `3 @2 J+ E* t, B% `: d一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
# L: S5 G7 a. k8 V6 Y142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
1 ?1 C. u- ~6 N* e8 H142857×3=428571        142857×31=4428567       
; I. D' v7 u# R. j6 K& j! `. p142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
, i2 i# b2 x2 T  k5 ^, m: S0 J& J1428573=2915443148696793.
$ s2 b- w! g9 P  `, s% O        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
/ {* [/ }% t  e3 h3 S, m1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
; L- X7 ~9 q) t0 k7 _! J173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
5 T  @: U' m: h$ G, L7 @$ g, |=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
8 h6 m9 V+ }+ U# e
( R8 h9 U2 O" H9 a/ G, N 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
2 |5 `( `" M; A3 f: X142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
4 a6 R. J9 J* K% P7 g) i这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
: i* @1 l" r7 \- e5 o: j: N二、神奇数字142857的计算规律
0 ?' ?( W4 A* ]0 z$ k$ o以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
# }- F2 G4 t+ q, H# |（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
3 e3 l+ J! x/ D3 M9 k& l# ?) j为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
8 \3 ~+ |7 W; Z0 T* Y1 J解此不定方程，得到
: D# w- `. I$ h1 Z/ T9 Q                  表2 不定方程的解
5 D0 E) u9 M  q0 nn        1        2        3        4        5        6
' f5 `+ k/ c8 q) @) Za        142857        14        1        1428        14285        142
: I/ x+ p5 `# u8 t! v; V; k# U* F* gb        6        2        1        4        5        3
. N9 o5 h/ T* T9 x1 J6 X5 e7 @7 Q由此得到142857的简单整数倍的计算式
- e% v. s6 r- v. ~ nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
: @# d6 m1 I  [# H. Y在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
9 ?7 `; w. \/ h2 k9 F由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
8 `+ Y) E: a; j+ I9 g* I其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
1 z# r) i5 u& c- l. {101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
5 [5 m+ E3 q& H( S  R8 B$ ?归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
! K4 {& m; X, g+ D% _/ B& Q待定系数也一目了然了。
" t/ d+ w7 [) S+ u! g当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
0 o0 ]. A0 z8 y+ E7 y因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
/ j1 m* I& `( Y6 S0 O* N8 z# w13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
$ j% {' Q! w' m2 a, ^2 h$ t% ]1 q7 H由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
; t( T9 z. _% @9 Q' n. oAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
" l  ^5 J0 }- m, p4 i* _+ i8 Y现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1 `2 \- s3 \* A- ?1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
$ J' [! K8 ?" o' F- k1 D运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
6 ]$ ?9 U. H0 `1 W9 ]0 BA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
. Y+ `5 g9 a* |1 x/ T% S9 |. f; EA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
% G1 e1 s  c- f1 Z; j6 {& u试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
! T5 u: n) Q: D0 i2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
7 \' z: b  b" s在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
+ ~7 C! b' i8 E6 M6 @7 l A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
9 k$ h$ ^3 o4 s8 a' G' Y& D- @A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
1 }, M4 n( |4 K7 C/ vA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
0 v  i9 k: E9 J) r. [A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
' d) p& o8 h) z, v8 U* D4 @0 tA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
. t. W% T. a9 I0 D2 {" tA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
; L- r5 u( K& N( M  cA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
) {7 w% ~/ Y* r现以A3为例，验证如下：
7 Q, A; `# c* R: l1 n5 ~" J* z; i已知：
) x; c% f8 p  v; L6 TA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
# j* U9 M4 y/ g4 X  S& x6 }4 h证明：
A3= a×1012 +b×106+c
! x. c# n" t& C7 c0 {  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
7 A& C$ Z; l  I  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
& E) m9 R/ H+ m) r, ]% k. g1 F又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
8 W. C, T8 l2 k5 G! D: \       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
* w5 [: y9 C% [9 k& u  j% W=7A(P-Q)+A
9 l8 u4 J3 }  ]8 B. |= (7R+1)A.                                                
" |1 y! `7 P4 J以上P,Q,R 均为自然数。
. g2 x9 |6 }+ Q1 w对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

) c3 C  U+ M% `  ~