关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
& k3 z2 E0 }0 n钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
% ?. g2 L- R) R4 W5 W. e' t% B

* ]8 n" _0 u7 y' D内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
, b$ {/ S" |8 T
; `9 C  x' R! U0 I- F一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
- \: a/ p& n9 q8 K2 Y# b( q表1. 神奇数字142857的性质列表
: k* |0 e7 |8 w# N! s142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
/ l' D/ h5 o4 t142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
7 D! P+ n" V2 y8 V% g4 ]- y=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
6 N4 p& L/ P- f        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
, ]6 k$ r! s" M& g        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
" h: x1 Q  s4 \0 H$ i  R1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
1 F( t# _; n) \8 {5 H+ k" M=3142854=22×142857
( |5 L8 \3 b" M0 I6 F142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

9 K0 [- ^1 `6 H1 H 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
: _, ]3 K0 W) I% H( G  r5 |2 p142857=15873×9，
9 t3 D4 l/ M$ H7 d1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
) X% t9 k' |( J( N7 f8 \! m/ C这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
+ d1 o- F2 ?0 r/ R! S* J( I二、神奇数字142857的计算规律
  `0 ^/ D( a: w以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
/ x: [) Y) E/ Q, d为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
5 [' V* ~6 m6 I! R& R7 U5 Yn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
2 H, u: U+ W8 U9 N; V7 a3 S8 u解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
0 T2 q  F2 }4 T* U由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
: Y5 C+ ^- k% K- d由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
) R! E  t5 y# f' j# r( h* R待定系数也一目了然了。
0 J7 s, N, W- Z! o! t( i$ D0 R当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
% y0 \3 D5 y" T; O5 W* `A=m×106+nA-m                          ( 2 )
; k( [: i7 |/ R9 m5 i- z+ E因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
8 x$ g# L( A# j8 I( |' D  ~   m=1，n=6，
! d. C1 V& I1 _7 G/ \* }13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
- g' W& }7 L: t5 \) J% d, H（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
1 Y; t5 `3 `$ v- ?由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
: S- D' z! w" ~, G, O  I5 e由此
; @# I9 \8 c) N. z6 j8 q(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
6 G0 {0 B, i% L; j最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
( Q+ s' m1 m2 X) ], d% o* {现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
0 F7 z$ j* k& `/ d! Q1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
7 b' t8 D1 G. B 142857=20408+122449.
9 x1 h! T/ t, n# p& I这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
! C+ q" }( f# h1 t1 k6 f  ^8 s运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
, N/ j; a; r9 [8 rA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
8 ^; f, R9 t& X  K( n被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
# Z7 A- o; P2 G  f0 ]0 RA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
; h) r& H- b$ f" p" m7 fA2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
' X: p( ~* {- K4 l9 X! `" ZA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
$ B: q) r+ j2 K8 V! s" ~( SA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
2 j" J/ J6 a& s/ R6 ~$ E显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
7 R! C% d1 G+ a" V6 A现以A3为例，验证如下：
. r9 k) W# M) f% a9 i4 M已知：
, F3 `# f+ i4 r! C6 N; NA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
  R& ?% i3 a: K5 f3 C5 j% h4 j证明：
A3= a×1012 +b×106+c
- R2 i8 T, {  y" s7 ~  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
2 U4 ^1 q; A" a4 `( {! b* k  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
0 l) j: \, ?& \又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
, S. L/ Z$ T" la+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
  C4 ^6 F; l3 J: D1 T: P       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
# e* s& H# o, T$ \以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
( o7 B  o+ _2 \% P1 na+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
6 t3 l2 C6 ]8 _5 B/ N  F9 S以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

8 E) _" C2 C) s: d4 [参考文献：
9 r3 ~  Z1 V6 a" c' ~[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

+ f- a0 M8 e: I3 \* `