数学建模建模过程、比例性和几何相似性

杨利霞

数学建模建模过程、比例性和几何相似性
! U5 I" P* o  e: P$ }( n5 u相关基础定义：
0 `! o9 h6 @  Z) U1 [3 h) Z目的：构建并利用数学世界中的模型以帮助我们了解现实世界的系统；
现实世界系统：由一些有规律的相互作用或内在的依赖关系连接在一起的对象的集合；
* W# u" H' i$ j% \: P* K2 s* b数学模型：为了研究特定的实际系统或者现象而设计的数学结构，通过建模了解一个特殊的系统是如何工作的，是什么造成了系统的变化以及系统对某些变化有多敏感，通过建模来预测系统将会发生什么变化，并获取相关信息。
例如：我们需要从现实世界所观察的现象得出结论，一个过程或者措施就是对某些实际行为做实验或实验，观察他们对实际行为的影响。但是在某些情况下例如有关核电或者其他具有高危险和高成本或者一些条件很难达到的时候，就很难再做实验，即时能够做实验得到数据，即使能够预测实际行为，但是能够预测这种行为却并不代表了解该行为。另一个过程：首先对研究的行为进行特定的观察并识别出有关联的因素或者消除某些因素来简化假设，从而粗略的建立相关模型，应用适当的数学分析求出相关模型结论，需要注意的是该结论只属于模型，而不属于真正的实际系统。
- X* Q+ C$ p) S1 g0 `粗略的建模步骤：
1.通过观察，识别有关实际行为的主要因素，并做相应简化；
* Z4 `6 ]* Z/ I, x% V8 l2.猜测因素之间暂时的关系；
3.将数学分析用于所得到的模型；
4.借助实际问题来解释数学模型的答案；
" D5 w  h6 k0 u+ `8 x( M7 h2 {6 h* h
$ x% s/ ^* D* D0 P" u9 U) y2 b% {数学模型的分类：
& }& B  V8 I3 g' n2 `, B) \- T1.有些现有的数学模型与某个特殊的实际现象是一致的，从而可以用来研究该现象；
, ]$ @& R) |8 k$ O. ?2.有些数学模型需要专门构建来研究一种特定的现象；
2 [6 U. q, K) K2 \' S- [. H解决实际问题的方式：
1.从某种实际现象出发，通过建立一个新的模型或者选择一个现有的模型来表示；
, D* x% |/ \1 Q1 n3 m2.通过实验或者某类模拟来重复该现象；
1 o2 i& l0 \0 d# f8 J0 J& w由于对于某些问题或者疑难问题，数学建模过程是十分复杂的，尤其是涉及到偏微分方程或者非线性代数方程时，这种复杂性就很大了，用单个模型是很难解决这种问题的。例如预测种群间的相互作用、资源的利用以及污染的全局影响等，这种情况下我们可以直接通过各种实验来直接重复该行为，从这些实验数据中分析并用统计学方法或线性拟合的方法从中预测数据。
模型的性质：
1.保真性：模型表示现实的精确性；
2.成本：建模过程的总费用；
) L0 d; u1 u  K& z! t3.灵活性：能够灵活的改变模型的诸多条件；
# R2 C6 T  z( D模型的构建过程步骤：
4 `/ a' Y& Z3 I7 l9 V2 `1.识别问题：对于待解决的数学问题，从大量的数据中搜索以及识别所研究问题的某些特定方面，还需考虑把描述问题的口头陈述翻译为数学符号；
' Z  c6 Y, }+ ^" p1 H2.做出假设：一个数学模型不能抓住影响问题识别的所有因素，任务在于通过减少所考虑的因素数目来进行简化，需要确定余下的变量之间的关系，从而降低问题的复杂性；
+ o1 e' F; ~1 Ra.变量分类：识别影响第一步中待解决问题的行为，把这些事情作为变量来分类，模型寻求解释的变量是因变量，也可能有几个因变量，在余下的变量中找出自变量。
- l% H6 m( x# s0 B7 W: M0 J# ib.确定研究中所选择的变量之间的相互关系：有些问题十分复杂，以至于不能一开始确定所有变量之间的关系，这时需要先研究子模型，即分别研究自变量中的一个或几个，最后再把几个子模型合在一起。
3.求解或解释模型：把所有子模型合在一起，其中可能包含必须求解的数学方程或者不等式，问题的陈述常要求是最好的或最优解；
9 g- f" j6 s0 c& {& f4.验证模型：检验该模型是否能够回答第一步中的问题，是否偏离了关键问题，是否能够收集到必要的数据来运作该模型，最后该模型是否有普遍意义，能否在实际运行中相关自变量在一定范围内变化；
. p, o% O1 U5 j- c. Z: @; Z5.实施模型：需要用决策者和用户能懂的术语来解释模型是否有用，模型需要处于友好模式；
6.维修模型：原先步骤1中的问题是否会发生变化，子模型是否需要调整；
) {& c3 f3 }1 M, G* \
例题1：
预测作为车辆速率的函数的车辆的总的停止距离：
* e. Y* f, o5 a+ V7 T; v: \; n  [解：总的停止距离=反应距离+刹车距离
/ ]! ^, I8 I" S8 d: Q) ~反应距离：司机意识到刹车和真正刹车这段时间内行驶的距离；
8 |- J, c1 H$ Q5 K刹车距离：刹车后使汽车完全停止所滑行的距离；
( K+ q9 u! D5 j3 I6 Q1 _首先研究反应距离作为一个子模型，反应距离是很多变量的函数，而我们起初有两个变量开始：反应距离=f(反应时间，速率)虽然还有其他很多因素会影响，但这里只选取了两个一般的因素；
) l+ I& U$ V. `其次研究刹车距离作为一个子模型：考虑最一般的情况，汽车的重量与速率：
& q4 o) _% \3 }  P( B6 K因此有刹车距离=h(重量，速率)
最后是模型构建的迭代性质：构建模型是一个迭代过程，从一个相当简单地模型开始，在这个过程中不断改进模型。
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例题2：
  b7 W( o4 |. y* S% k0 E+ l对于一个钓鱼比赛中的建模，需要通过测量鱼的体重来进行比较，测量完鱼的体重后，还需要将鱼放生，由于是活鱼所以直接放在称上面测量很不准确，所以希望通过其他方式来获得？
& l# y/ b2 d& v* D5 F# z解：首先需要识别许多影响鱼的重量的因素，由于不同种类的鱼其密度构造不同，所以有不同的单位重量，这里寻求垂钓的一般法则，这里只考虑单一的鱼种，所以我们只需要考虑其体积和重量密度的函数：
, o4 k9 a0 X) V2 r# U  G**构造模型1：**假设选取鱼的长度l作为特征量：鱼的体积与长度的关系假设是：V∝l3,而重量是体积乘以密度所以有
重量W∝l3;通过现有的数据可以求出其比例数据；但是这个模型有一个很大的缺点就是以鱼的长短作为衡量体积的大小，这里就没有将鱼的胖瘦作为判断的条件，会有很大的误差性，所以我们又可以以下面作为新的模型。
# D( n9 a, {! A) d' A**构造模型2：**同样还是通过求出其体积来衡量重量，由于鱼的重量主要来自鱼的主体，鱼的头和尾巴所占重量相对较小，所以我们通过鱼的长度l和鱼的肚子的横截面积A来构成：也就是V∝lA,而假设鱼肚的横截面积又与鱼的腰围有关A=g2，所以我们可以构造如下的数学模型：W∝lg2,通过一些现有的数据可以求出其比例系数。
总结：通过对该问题的数学模型解决，最后可以记录下鱼的长度和腰围，从而能够计算出其重量。

( t- J- q  ~! [. @原文链接：https://blog.csdn.net/DOUBLE121PIG/article/details/99469408