Matlab中优化工具箱

森之张卫东

1．fminbnd
进行有约束的一元函数最小值求解。它的求解命令是：
X = FMINBND(FUN,x1,x2)，FUN 是目标函数，可以为表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄，要求解在约束 x1 <= X <= x2下的最优解X*。
还有其他一些求解命令是：
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)   % options为指定优化参数选项，由OPTIMSET设定
[x,fval] = fminbnd(…)   % fval为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag] = fminbnd(…)   %exitflag为终止迭代的原因
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…)   % output为优化信息
说明：若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示达到了最大迭代次数，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。
例子：要求解f(x)=x3-2x-5在（0，2）之间最优解，求解命令如下：
f = @(x)x.^3-2*x-5;
x = fminbnd(f, 0, 2)；

2．fminsearch
进行多变量函数的无约束优化。
格式主要有：
x = fminsearch(fun,x0)；%对函数fun，从x0开始搜索最优值，返回最优变量x
x = fminsearch(fun,x0,options)；%可以用optimset设置一些优化选项；
[x,fval] = fminsearch(...)；%返回feval为最优函数值；
[x,fval,exitflag] = fminsearch(...)；%exitflag与fminbnd类似；
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(...)；%output与fminbnd类似；
例子：要求函数f (x)= 100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2的最小值，用fminsearch求解如下：
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
[x,fval] = fminsearch(fun,[-1.2, 1])；

3．fminunc
与fminsearch一样，也是对多变量无约束函数优化。
指令格式：
x = fminunc(fun,x0)
x = fminunc(fun,x0,options)
[x,fval] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...)；%grad为解x处的梯度值；
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(...)；% 目标函数在解x处的海赛（Hessian）值。
从算法上来讲，当函数的阶数大于2时，fminunc比fminsearch更有效，因为它采用了基于梯度的优化算法，而fminsearch采用的是Nelder-Mead型简单搜寻法，但是，正因为这样，当函数不连续时，fminsearch的效果反而更好。

4．fmincon
对有约束的多变量函数巡优。
格式：
x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...)
其中一些参数的定义见非线性有约束多变量函数的标准形式：
min f(x)
sub.to     C(x)<=0
           Ceq(x)=0
           A*x<=b
           Aeq*x=beq
           lb<=x<=ub
其中非线性不等式C(x)和等式Ceq(x)定义在nonlcon中。通过指定函数柄来使用，如：>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x)
C = …    % 计算x处的非线性不等约束 的函数值。
Ceq = …   % 计算x处的非线性等式约束的函数值。
lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。
output为输出优化信息；
grad表示目标函数在x处的梯度；
hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。
例如，目标函数为：
function f = myfun(x)
f = -x(1) * x(2) * x(3);
约束为：
0≤x(1)+2x(2)+2x(3) ≤72
那么我们可以将其写成Ax≤b的形式，则
A=[-1 -2 -2;1 2 2];b=[0;b];
求解命令为：
x0 = [10; 10; 10];    % 初始值
[x,fval] = fmincon(@myfun,x0,A,b)

注：以上大部分来自Matlab help，但是注意使用help命令。