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[其他经验] 三级倒立摆系统建模和定性分析

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三级倒立摆系统建模和定性分析

分析了倒立摆系统特性，建立了三级倒立摆系统的数学模型，对倒立摆系统进行定性分析。利用分析力学方法和Lagrange 方程建立了倒立摆系统的微分方程，并在平衡位置附近线性化，推导出倒立摆系统的线性状态方程。应用自动控制相关理论分析了倒立摆系统的能控性、能观性及相对能控度，证明倒立摆系统开环是不稳定的，但在平衡位置是能控的和能观的，同时得出三级倒立摆相对很小的能控度，说明其控制难度。

三级倒立摆系统特性分析

三级倒立摆系统是典型的机械电子系统。无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性：

1）欠冗余性。一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构，比如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立摆控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性及控制性能。

2）仿射非线性系统。倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。

3）不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。

4）耦合特性。倒立摆三个摆杆和小车之间，以及三级倒立摆系统的上中下摆杆之间都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。

5）开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖直向下的状态是系统稳定的平衡点（考虑摩擦力的影响），而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。

针对以上倒立摆系统的特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略掉系统中一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等等。通常，是将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样可以通过力学原理建立系统较为精确的数学模型。

为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的线性模型是必不可少的。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法力学分析方法，欧拉－拉格朗日原理(Lagrange方程)。

zan