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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划
/ [! j# S9 x* M(1)线性规划
5 ~$ u( U t+ e. f4 Z- g1、含义的理解) {0 ?1 R& D0 }2 h4 E" z+ p
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支。* y# r& {2 a9 h1 l0 W$ Y/ T, W
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
& w9 H6 G; X$ R# @- C# Y G2 R2、线性规划问题的数学模型的一般形式和模型建立' S1 u. p& G/ P8 y+ \8 Q3 j. H
(1)列出约束条件及目标函数 (2)画出约束条件所表示的可行域 (3)在可行域内求目标函数的最优解及最优值(实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤:根据影响所要达到目的的因素找到决策变量;2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数;3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。)
G. k& k6 N( p所建立的数学模型具有以下特点:4 w. M. a# @' K8 b: t
(1)、每个模型都有若干个决策变量(x1,x2,x3……,xn),其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案,同时决策变量一般是非负的。9 r) d* p) X# W' s- p
(2)、目标函数是决策变量的线性函数,根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min),二者统称为最优化(opt)。" L' Z" |4 B+ a6 a/ ?* B# K8 B
(3)、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。# K# B9 Q' R7 D# i: a
3、实例
$ n5 A1 V% X I* Y7 T" o生产计划问题. f: ~5 X7 y, m! c
问题:
" }! s0 P% a( z5 w某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品,这个企业现有的生产资料是:设备18台时,原材料A :4吨,原材料 B: 12吨;已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生产计划使企业获利最多?
" o }9 y4 M# I [4 e( o+ |6 Q$ A 产品
' t0 m& k- R# x2 D" ?3 X! J! z5 W6 E资源 甲 乙 资源量+ M. K3 P/ i o: M* |( o! q
设备/台时 3 2 18
* e+ |0 Z% ~1 {, J! }原料A/吨 1 0 4
# [8 @: j: b! T7 z2 g4 l5 Y原料B/吨 0 2 12
! G$ P* R: X6 f! K+ S% Q( C单位赢利/万元 3 5
5 Z- k3 D2 r \5 D: f7 z; J设x1为甲产品分配的设备台数,x2为乙产品分配的台数。则
/ N) V9 v$ X S, ~. ?条件限制为:
) x5 Y8 d$ j" A2 J1 i+ K D3*x1+2*x2 18
* U7 g3 E9 F% |1*x1+0*x2 40 k9 z8 G1 D: v
0*x1+2*x2 12
( [: ~) X$ V$ B' h8 q# z9 qx1 0,x2 0; G/ _. a. K7 K g" U6 i& c
求max z=3*x1+5*x2
* q6 M" Q, V/ `, d用lingo编程,程序如下: X9 h4 z+ E3 n: y$ e
max=3*x1+5*x2;( U" t* i) _3 P' l
3*x1+2*x2<=18;
, f0 ~3 s4 W0 R# jx1<=4;
/ n4 G J0 N% |4 g" @x2<=6;( Z, W3 }! A$ O# y! v
x1>=0; B3 Y q9 c! Z
x2>=0;$ p5 K' {0 M, }) O# o) U6 u; i: N
结果为:
% Z' a* r: c2 ? _ `* W/ Q' |8 kGlobal optimal solution found.) {2 ~% ^4 R/ a- ?9 U( ^3 M9 X
Objective value: 36.00000$ V, L1 Q& J2 x+ D3 R# ]
Total solver iterations: 1
! ^' n- _% q$ | Variable Value Reduced Cost7 @; d( `: Y& R2 D/ W
X1 2.000000 0.0000001 D" H5 L$ r: S
X2 6.000000 0.000000! S ~3 f+ y8 Y0 |6 }
/ G9 v3 D, w: V; e6 S, l2 Q Row Slack or Surplus Dual Price
0 Y* D' z; ^8 c9 y4 i 1 36.00000 1.000000
8 m, h: p1 l* p4 M S+ Q, l 2 0.000000 1.0000005 l) I P0 P' _
3 2.000000 0.000000. I7 j# n" G8 l; W6 z2 F6 u$ x
4 0.000000 3.000000) d- g: a1 o) h% ]1 v7 L* |
5 2.000000 0.000000
! ~! ^9 \! o2 u 6 6.000000 0.000000) T! u3 D [% r& u/ u$ E
即在x1=2,x2=6时,企业获利最多,为36万元。7 o0 v& L6 h% v+ D( e: q
4、线性规划的应用* s, t' _$ J, s: n4 `: v, Q4 i& D
在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果. 广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策,提供科学的依据。
3 ^) r) E `! i3 H9 T(2)整数规划: E5 S9 B4 g1 I& e- T9 l% {
一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性,二次和非线性的整数规划。 在线性规划问题中,有些最优解可能是分数或小数,但对于某些具体问题,常要求某些变量的解必须是整数。例如,当变量代表的是机器的台数,工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求,初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解,所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中,如果所有变量都限制为整数,则称为纯整数规划;如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划,它的变数仅限于0或1。不同于线性规划问题,整数和0-1规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。
, u. z5 P4 o$ m0 _& \组合最优化通常都可表述为整数规划问题。两者都是在有限个可供选择的方案中,寻找满足一定约束的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如,背袋(或装载)问题、固定费用问题、和睦探险队问题(组合学的对集问题)、有效探险队问题(组合学的覆盖问题)、旅行推销员问题, 车辆路径问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用,而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。
& v& L, \3 x) C2 o4 T2 j整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的 。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题,称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题(衍生问题称为松弛问题的源问题)。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿,即源问题应被舍弃,还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题,重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法,它们都是在上述框架下形成的。
+ o/ h, H: h. |6 T; t0-1规划在整数规划中占有重要地位,一方面因为许多实际问题,例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划,另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价,用0-1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题,所以不少人致力于这个方向的研究。求解0-1规划的常用方法是分枝定界法,对各种特殊问题还有一些特殊方法,例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
5 m8 u3 Q4 I6 S/ P& C4 N(4)二次规划
: a' B' s6 m$ k8 N二次规划是非线形规划中一类特殊的数学规划问题,它的解是可以通过求解得到的。通常通过解其库恩—塔克条件(KT条件),获取一个KT条件的解称为KT对,其中与原问题的变量对应的部分称为KT点。
6 L' Z( ?5 E$ O4 w二次规划分为凸二次规划与非凸二次规划,前者的KT点便是其全局极小值点,而后者的KT点可能连局部极小值点都不是。若它的目标函数是二次函数,则约束条件是线性的。由于求解二次规划的方法很多,所以较为复杂;其较简便易行的是沃尔夫法,它是依据库恩-塔克条件,在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。
+ z! K$ L- r# S: @" W$ ~$ s7 |( ]0 a) L1 T" K
+ c# @1 v3 U# [( H& s+ s$ H& @0 z7 M1 |( c
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