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[课件资源] 规划问题

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Jessew        

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    [LV.1]初来乍到

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    发表于 2016-7-29 19:16 |只看该作者 |倒序浏览
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    三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划
    ) w0 c  N) N7 C7 i7 t% ?. B" ^(1)线性规划
    + y$ t% h$ e3 X  B3 d4 B1、含义的理解9 Q4 |( p" h* q' Z; g  B. x
    线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支。
    - K: V* y0 U) G2 S在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
    4 {$ z9 g2 A+ T' V! i8 n2、线性规划问题的数学模型的一般形式和模型建立9 M) J9 H3 }0 ?
    (1)列出约束条件及目标函数 (2)画出约束条件所表示的可行域 (3)在可行域内求目标函数的最优解及最优值(实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤:根据影响所要达到目的的因素找到决策变量;2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数;3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。)
    2 h, W% z3 J+ J8 ]9 \9 b所建立的数学模型具有以下特点:7 P. j" s" P! x/ j
    (1)、每个模型都有若干个决策变量(x1,x2,x3……,xn),其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案,同时决策变量一般是非负的。, g3 g: d4 {! z# {5 ~1 Z
    (2)、目标函数是决策变量的线性函数,根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min),二者统称为最优化(opt)。
    ; O& R+ p* t3 {$ ?(3)、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。% L! q; [8 J; B. b  p
    3、实例
    ' a! F) O' m$ Y, O# j生产计划问题( c5 U# P- y" R& t4 N, ~- |" x
    问题:& D5 K- E0 a- t6 r- X  q8 i0 G
    某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品,这个企业现有的生产资料是:设备18台时,原材料A :4吨,原材料 B: 12吨;已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生产计划使企业获利最多?: ^# y9 [/ L; J4 Y& G
          产品9 y6 c" U  L8 k' j8 {
    资源        甲        乙        资源量
    9 P1 b5 Z; f5 m2 U设备/台时        3        2        18
    / t2 [, x" {& H# g! K2 d1 p$ {9 C原料A/吨        1        0        4
    , L: ~$ a( ]; O/ `; y. m, m原料B/吨        0        2        12
    6 F  K" T6 K/ R5 M8 |! C7 s" K单位赢利/万元        3        5         # _- L; K6 b5 u9 P
    设x1为甲产品分配的设备台数,x2为乙产品分配的台数。则9 h& u6 O* s9 S
    条件限制为:
    . J6 d! H3 P: m" q3*x1+2*x2 18
    5 K8 |) `8 e2 O- Q( e9 X1*x1+0*x2 4& y/ {1 n% |$ j2 N7 G
    0*x1+2*x2 12
    7 x& o2 _( ~: q* Vx1 0,x2 09 P" f8 \% L- w- F, i# O
    求max z=3*x1+5*x2
    * D: U1 g$ h5 y( F  |6 `! ^用lingo编程,程序如下:
    / z* z! i5 J* ^' b7 O# s. Cmax=3*x1+5*x2;
    4 ^# h$ C; g% x% {3*x1+2*x2<=18;  {+ U6 }7 j3 [
    x1<=4;
    ! L2 A; r% ?8 Xx2<=6;
    7 C3 E+ D  q( t% o0 Vx1>=0;* {+ `4 f" ?0 ^! t9 `
    x2>=0;
    , k* I, r+ Z5 T) s% b2 z/ T' c6 m结果为:
    , Z! o$ C: u* r3 d$ ?/ IGlobal optimal solution found.$ }. j7 X5 D. d: J2 S+ ]
    Objective value:                              36.000005 ?$ X: B; l$ t) t* f
    Total solver iterations:                             14 u7 f# p/ W8 c/ |
            Variable           Value        Reduced Cost
    4 E- I) `- g/ j                X1        2.000000            0.000000. _$ Y! o  \6 y0 w3 i% n
                    X2        6.000000            0.000000. m3 V6 K% _5 J4 R. ?% n4 a* V+ z, _* Z

    , _* S8 g; g- |& R1 A        Row    Slack or Surplus      Dual Price* [( J9 F) x. y
             1        36.00000            1.000000' S7 P' c9 h4 j
              2        0.000000            1.000000
    + H1 w5 e7 O. ?! V2 H" q4 ~          3        2.000000            0.000000/ X- [( ?; Q6 \( c1 B
              4        0.000000            3.000000' V. T% {* w8 s6 U) `4 w
              5        2.000000            0.000000$ D, P) G5 m0 T, Z5 h; \
              6        6.000000            0.000000
    $ L% z4 l& P# I+ v即在x1=2,x2=6时,企业获利最多,为36万元。
    0 \8 W9 G9 w  H' d4、线性规划的应用& i4 d) [& d/ I2 J: k- Q/ u8 v- |
    在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果. 广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策,提供科学的依据。
    8 ^4 S# L/ ]& S% L7 s- f(2)整数规划
    0 w/ S+ p- M5 ~+ K- M# d/ h3 u一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性,二次和非线性的整数规划。   在线性规划问题中,有些最优解可能是分数或小数,但对于某些具体问题,常要求某些变量的解必须是整数。例如,当变量代表的是机器的台数,工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求,初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解,所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中,如果所有变量都限制为整数,则称为纯整数规划;如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是0-1规划,它的变数仅限于0或1。不同于线性规划问题,整数和0-1规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。
    1 }1 H4 _4 h, J. J5 C1 U组合最优化通常都可表述为整数规划问题。两者都是在有限个可供选择的方案中,寻找满足一定约束的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如,背袋(或装载)问题、固定费用问题、和睦探险队问题(组合学的对集问题)、有效探险队问题(组合学的覆盖问题)、旅行推销员问题, 车辆路径问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用,而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。6 U6 c; i, Z  ^% \& g' @
    整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的 。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题,称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题(衍生问题称为松弛问题的源问题)。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿,即源问题应被舍弃,还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题,重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法,它们都是在上述框架下形成的。
    . w% V3 S3 z+ l0-1规划在整数规划中占有重要地位,一方面因为许多实际问题,例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划,另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价,用0-1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题,所以不少人致力于这个方向的研究。求解0-1规划的常用方法是分枝定界法,对各种特殊问题还有一些特殊方法,例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
    ; r/ [3 a4 j+ E8 q(4)二次规划& N7 K) s9 m  J* i
    二次规划是非线形规划中一类特殊的数学规划问题,它的解是可以通过求解得到的。通常通过解其库恩—塔克条件(KT条件),获取一个KT条件的解称为KT对,其中与原问题的变量对应的部分称为KT点。
    2 h$ a8 @/ V8 }8 ?: H' a" l/ S二次规划分为凸二次规划与非凸二次规划,前者的KT点便是其全局极小值点,而后者的KT点可能连局部极小值点都不是。若它的目标函数是二次函数,则约束条件是线性的。由于求解二次规划的方法很多,所以较为复杂;其较简便易行的是沃尔夫法,它是依据库恩-塔克条件,在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。" o' @% S4 n5 ^. \

    - x/ x, }% {- ], L0 \% U3 G2 H2 m5 j: |2 T3 }8 N$ A
    4 W3 m5 k7 W" v1 u: Y% p, @
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