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下面的最小费用最大流算法采用的是“基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法”,其基本思路为:把各条弧上单位流量的费用看成某种长度,用Floyd求最短路的方法确定一条自V1至Vn的最短路;再将这条最短路作为可扩充路,用求解最大流问题的方法将其上的流量增至最大可能值;而这条最短路上的流量增加后,其上各条弧的单位流量的费用要重新确定,如此多次迭代,最终得到最小费用最大流。
6 h8 [# }/ g9 Z' ?/ b$ p, ]: k& {/ c# U0 Y
function [f,MinCost,MaxFlow]=MinimumCostFlow(a,c,V,s,t)
% a; X. y5 b- T%% 基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法; `4 c2 b* _4 q
%% 输入参数列表
+ I; K6 C( |$ j. ] e- f% a 单位流量的费用矩阵
2 r5 f1 {# k. F' _0 C& Y4 {$ D }% c 链路容量矩阵- }+ ^7 a5 r b
% V 最大流的预设值,可为无穷大
8 q/ r! j* C) |7 V9 n+ T% s 源节点
' O# K! B& k3 H. U0 j. U% t 目的节点
) _ ]) h! d* o" C) ^%% 输出参数列表0 M& i6 u1 ?' ^: c2 z
% f 链路流量矩阵
8 `: ?+ M# \4 t( V! L+ l ~( {) X% MinCost 最小费用
1 |6 @+ I* z7 c% MaxFlow 最大流量
; Q" o3 _) g# ^9 g, y2 a%% 第一步:初始化
' o- A8 B* K- c2 Q3 zN=size(a,1);%节点数目
* z, S# l4 E+ B$ V8 Af=zeros(N,N);%流量矩阵,初始时为零流, m1 b% v/ T' P
MaxFlow=sum(f(s, );%最大流量,初始时也为零0 ?) K R" |# x
flag=zeros(N,N);%真实的前向边应该被记住
5 ]( b7 o3 X& b4 S7 y, g! W2 |for i=1:N/ A% r! W! I# @
for j=1:N
5 F! \9 Z2 h3 \- v6 Z! iif i~=j&&c(i,j)~=0
# }8 z$ s; X$ Y+ M/ L* t5 Bflag(i,j)=1;%前向边标记, J U: v/ Z( `' {# s1 p
flag(j,i)=-1;%反向边标记
1 _* \4 q& e3 H$ O1 Mend3 k' @( F9 A- p" q
if a(i,j)==inf- a: _9 |% d* d X8 t
a(i,j)=BV;( e# |1 a. m7 O. h# s
w(i,j)=BV;%为提高程序的稳健性,以一个有限大数取代无穷大
& g* b! M* S9 tend
7 y3 h; p- }% p3 o/ r9 s6 {" u$ j$ ]3 Bend
9 J; ^1 y' v. F) u Rend( A. i7 g9 [9 ]8 K( w& ?" y
if L(end) RE=1;%如果路径长度小于大数,说明路径存在
+ N) ^# }% `; z" a P Oelse
; P1 t) ]8 X1 k& P9 ^RE=0; M8 g, k+ g% R* J
end
' h4 ] Q) i5 E% a/ O- h%% 第二步:迭代过程
% _! C! f2 l( vwhile RE==1&&MaxFlow<=V%停止条件为达到最大流的预设值或者没有从s到t的最短路
7 s2 J3 q Y& N1 V/ [' r%以下为更新网络结构2 k" M- ?: B# j4 K v5 h2 b3 h- g
MinCost1=sum(sum(f.*a)); v+ i U5 I; o2 r M
MaxFlow1=sum(f(s, ); a. A+ v1 N8 F$ N& _
f1=f;
5 d+ e* D+ R/ `, f4 Z9 FTS=length(R)-1;%路径经过的跳数
( k t0 o7 h9 `+ n, jLY=zeros(1,TS);%流量裕度! w4 k! D3 z& d1 g6 [6 ~* O
for i=1:TS! b. p7 \# M0 r- x5 [' {
LY(i)=c(R(i),R(i+1));
l" ?& j% E: }! h" eend
- k3 F7 a5 e/ y0 ] ZmaxLY=min(LY);%流量裕度的最小值,也即最大能够增加的流量
7 l- d( o: }8 wfor i=1:TS0 C0 z* \3 V* K5 M5 J2 q
u=R(i);
+ x; c/ }$ d: Q- g# M% d6 Y3 D4 hv=R(i+1);
" M" c% N1 {# n9 v/ w4 Uif flag(u,v)==1&&maxLY f(u,v)=f(u,v)+maxLY;%记录流量值/ K* s& |% U. D2 p) E0 m( s
w(u,v)=a(u,v);%更新权重值
+ M8 x ^$ G6 e) i0 i$ g3 z" t: ^+ e/ Qc(v,u)=c(v,u)+maxLY;%反向链路的流量裕度更新
2 E% f7 U1 v3 a( S; c! ~# V0 Aelseif flag(u,v)==1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为前向边且是饱和边时
9 ?" p7 M2 g! z- ~& `; R2 u; i) Zw(u,v)=BV;%更新权重值' k9 j2 J# h, ?0 a" G6 @& q
c(u,v)=c(u,v)-maxLY;%更新流量裕度值) f% b/ G( \+ [
w(v,u)=-a(u,v);%反向链路权重更新9 { k* ? w, @' C% Z
elseif flag(u,v)==-1&&maxLY w(v,u)=a(v,u);/ I8 {0 t' h+ w
c(v,u)=c(v,u)+maxLY;+ m. V& ]: L( ]6 { g( Q& K; `
w(u,v)=-a(v,u);
5 j, G5 R# _, F/ ` aelseif flag(u,v)==-1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为反向边且是饱和边时/ P( l! V4 \- k$ S. z, {, j
w(v,u)=a(v,u);, V6 f0 }2 j/ Z" N
c(u,v)=c(u,v)-maxLY;3 f) V9 ?& Z- t& ~$ C
w(u,v)=BV;
- I$ G* Q( J/ L" Y- ~# g0 u- c) Xelse
9 ~; E9 s- N, u+ a F# G" @9 mend" i4 e: J% l( H& H0 |' n9 w
end6 ~# ]7 ?) Y1 b$ b
MaxFlow2=sum(f(s, );# W, }- G2 J3 m' V" ~
MinCost2=sum(sum(f.*a));3 @/ `- {3 o: d) n) D! A
if MaxFlow2<=V& C1 F, p" ~, h
MaxFlow=MaxFlow2;3 o& N' F5 ]! N* k" N
MinCost=MinCost2;
: ?& d. L$ q6 B/ l' ?: T: ~[L,R]=FLOYD(w,s,t);# R7 G. h3 ~9 ^; M
else) x* {. _. z. E1 ?% _' ^8 N+ q4 J6 v
f=f1+prop*(f-f1);4 j# ?( B1 P) m- j8 t
MaxFlow=V;* i7 d2 s( c4 F8 Q
MinCost=MinCost1+prop*(MinCost2-MinCost1);& i/ [2 f7 [9 K/ u8 B- K* [
return
7 Y3 G+ E) Z# r9 _end( T# Q2 c. Z! W, D$ R8 K8 o
if L(end) RE=1;%如果路径长度小于大数,说明路径存在
! f' R& t3 r7 relse I& i$ f& M7 }/ F5 w1 ~
RE=0;
7 d6 u% K- |! uend
# k& e: F3 c3 H, t6 Gend& c) ?9 }5 ^6 }' b- D
function [L,R]=FLOYD(w,s,t)
! Q+ B9 j* c( V5 M4 |0 Qn=size(w,1);' \. b3 M2 a( @. b- E) d
D=w;( U! G( M6 l- V1 i' g$ r
path=zeros(n,n);
1 A5 \" c" N$ \1 j; \) s%以下是标准floyd算法
0 \8 v1 L% ~4 j; jfor i=1:n
6 N% o- V: t2 R/ \for j=1:n
/ S4 [6 n3 u/ b; P9 c# pif D(i,j)~=inf3 o3 C# }! k' ~4 B; @$ t
path(i,j)=j;
1 C8 r l& E, Z4 {) \2 uend
: H/ Y, q% S' Q1 send
8 ?/ W3 H8 j V, I% `6 e& d+ \( Mend
; z# O6 t/ |* Z/ Efor k=1:n% h l: v3 F7 e$ r- x0 }
for i=1:n; w% o% w5 L5 B+ P
for j=1:n
$ x% A9 u0 G3 S+ i" p5 z3 O; hif D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);6 J" k! T, U! @7 `/ B
path(i,j)=path(i,k);2 S8 P; n' K* z1 ^3 `; e$ p
end
# \' u. O+ j, |9 Eend2 j' u/ P( ?, F& E
end
7 ]" E% R6 ^, s: e. yend
" P* X1 g+ C( |7 r4 zL=zeros(0,0);) f. ~7 r1 j- x7 Y
R=s;" z* @5 T$ Y: B D% ~
while 1: L, U5 `6 q( D: P4 V$ c2 M, o
if s==t0 j4 q: x* T- }3 p2 m
L=fliplr(L);
! b9 F, x1 U7 f; X/ n2 N/ rL=[0,L];! u6 m1 Q' a# z R$ Y2 k
return+ U; {) ~( R4 [* J6 ~, {
end1 Z7 P1 T; v" ]" ?7 E/ ~
L=[L,D(s,t)];/ ~! o8 e9 Z _% b' L" j8 F* g$ g
R=[R,path(s,t)];
" Q2 }* l" V0 p9 Xs=path(s,t);$ D& {! E! a0 B; B" K+ o+ F1 v
end |
zan
|