全国大学生数学建模竞赛

浅夏110

全国大学生数学建模竞赛



8 C$ i5 E. f9 [- ^
" h( z; v" b- D
7 Q8 m5 _" U2 x1 z. {! Y

0 F. Y# W% K) J2 x/ a+ R& l
, U4 E: i; p) S- v# X: j# Y

目录

一、任务分析

二、题目一求解

题目分析：

模型建立：

模型求解：

3.1读数据，绘图

3.2探测器之间的距离计算

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

3.4提取小圆圆心位置坐标

三、题目二求解

! B5 N2 H, @! k# f- F

---

一、任务分析

历年赛题

任务：CT标定，CT图像重建

知识：图像处理

标定模板为椭圆与球。CT测量所得数据为512*180的二维矩阵。

行数512:接收点个数，列数180:CT旋转次数。所成的二维矩阵并不是真实物体的成像，而是不断旋转的水平投影的叠加。

每个角度都有一个大小为512的投影向量，一共180个角度的叠加。

二、题目一求解

求解：CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离、CT系统使用的X射线的180个方向

题目分析：

标定 CT 系统的安装误差

模型建立：

（1）探测器之间的距离

模型求解：3.1读数据，绘图

表格一数据读取

• 
  * D, t, K% @& J" Z. }8 h0 t4 v
  7 U4 Y) P# M( b2 D  P+ B: }1 b6 nA=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls');
  % J, j. }8 B; m* B, }( U
  ; b8 \( e4 i/ V8 F# F: N9 T
• 
  
  6 @( H% x$ ~2 yimshow(A)
  
  
  . _! ^, H6 `& x( }9 W0 [, e* e

- ?) H% @* x% e

表格二数据读取

• 
  
  % N- q9 T! j  H* \B=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  9 D, V) s3 k* L- q
  . V8 c) {+ ]$ E9 G7 l6 L- T9 q
• 
  
  X=1:size(B,2);
  
  ) _, A6 ?7 Y2 a0 t
• 
  8 P/ }7 R+ S' Y. w! t* w
  Y=1:size(B,1);
  0 D, i0 q8 T9 Q& J9 l" e3 r/ k
  
• 
  
  figure(1)
  
    K" b# U" T( e3 p  L
• 
  7 U& Y+ n9 I# ~# s( X" ^
  mesh(X,Y,B)
  ; S+ N+ d/ L  C' s7 T* A
  
    l1 G7 p# l/ _4 u

+ {: O- V4 C1 a' w

3.2探测器之间的距离计算

• 
  4 d/ U0 S* [+ s
  B=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  & h5 O5 D5 A. _& E" X  s- J
  & e: p! B% ?; h) g, s! |) _7 l
• 
  - @1 O% t9 k- |" m8 ]' N
  
  " c0 E: y9 n, U3 x6 j$ L9 Y
  2 G7 l! l. a5 ]6 C2 R( x* m
• 
  
  figure
  ; b" I1 q- s  }' P
  
• 
  
  lenb = (1:length(B));
  
  
• 
  
  6 L4 x1 G" q& m) j4 G, H
  
  
• 
  
  5 Y4 _/ g# |5 }9 Q% Rsubplot(221)
  % s  u; i. G+ @9 W* g
  
• 
  
  3 N, |5 v7 ]1 e* m6 H& _scatter(lenb( B(:,1)~=0 ),B( B(:,1) ~= 0 ,1),20,'filled')
  5 G; D5 r* O. s3 l3 @* y3 Z: ?# S
  ( L* _, s- `7 [4 O, l: c! |5 e
• 
  # l: }& G0 j3 M6 {" g( R( N
  title('1')
  
  
• 
  , |- q' r% J/ [2 E
  $ S3 x; D( N7 o- O" F' l
  
  
• 
  
  subplot(222)
  
  # k5 U; x& e) T& b( B* o$ G
• 
  . B3 Q; d. u! w  y' p
  8 @0 l" f; g, ]1 {% P) z- S  kscatter(lenb( B(:,6)~=0 ),B( B(:,6) ~= 0 ,6),20,'filled')
  
  9 K; k7 Q4 \. E* \
• 
  
  title('6')
  6 C; h$ R. e+ a& _; Y* Y; @
  
• 
  
  % Z2 m' |* w* m
  ( N' ~- o6 M% [' b/ C( a
  $ T8 @) k- |& W$ L
• 
  2 g. a( u- M3 X, J( h
  8 L% H  z; l) A% X9 j4 T" Msubplot(223)
  ( ]: P# u# ~5 X" [3 e
  
• 
  
  ( b; C1 E' q; q: E9 jscatter(lenb( B(:,11)~=0 ),B( B(:,11) ~= 0 ,11),20,'filled')
  
  7 x$ r0 d1 L1 N) N: w' c
• 
  
  ( O! p# c( h, V+ U& c$ }! y! N* Q4 Atitle('11')
  
  
• 
  
  ( s( s) u0 P% c' Z1 ^
  
  0 ?, v  {+ J1 b6 \+ @, N4 P- G
• 
  2 ]$ B) i, t3 \3 Y6 x
    d3 Y$ z  b  n7 N: Hsubplot(224)
  
  
• 
  * I' K, j. g8 a- W" x
  6 p& `" ?  z& o+ x# n+ v2 jscatter(lenb( B(:,60)~=0 ),B( B(:,60) ~= 0 ,60),20,'filled')
  / S/ p! e6 l2 I- C0 }
  $ J! c/ V5 Z& X
• 
  ( X; F/ y% n4 `- V% k
  title('60重合')
  
  
  

图1:球投影29个点。图6:球投影29个点。 图11:球投影28个点。

解得，探测器之间的距离和小圆直径的不等关系式:  

由图即可解得近似解：

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

模板：小球与椭圆，小球投影为小圆。系统：CT系统。

模板与系统相对运动，一动一静。以系统为参照物，系统看做静止物体，则模板为运动物体。取第一个探测器为坐标原点，建立坐标系，解算

根据特殊点解得、与

0 g  V' o! q$ K

点A:

点B:

点C：

解得

3.4提取小圆圆心位置坐标

分离段：取极值

# s9 T( z7 Z8 T0 X5 M

重合段：边缘提取后，取平均值作为中心

得到180个小圆圆心，解得180个角度。

3.5参数修正

3.5.1 进一步确定旋转角度的范围

: I5 t# C9 N) h8 R/ S* ^

3.5.2 修正旋转中心坐标

8 D, t& @( J& F1 Z! d