[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： 9 q/ q# b) m- ^" j$ t

5 O; p- K9 v- H! D4 [

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

" \, G I' C0 n2 T

" Z, S6 A7 j9 I

移项，得

! L6 E1 P( D$ ]3 J& U

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

2 D; Z! G3 P- r' k

二种方程筛的比较

包学行

2 t) X2 M& Y) M: D1 B- ^$ t

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

# d/ m' f+ z+ G% j5 F1 W) k

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

/ T6 ^1 l% s( Y

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

4 r& A: T2 {; @3 |* b$ ~

（2）

. g t% z0 P- u

1 |% S6 n. {$ w' m5 C2 ^7 ^

上方程（2）中的

（3）

! q9 P( h) W1 ^+ e7 K" n$ J

0 b% |8 T @8 Z' p2 Y( h

8 q* F4 d2 U- ]

该方程较为复杂。

* D1 Y' v( u1 G' \7 r F7 E

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

" @ {# Y' ?0 m1 b7 p

4 C( i* P& G' r4 E: x4 y* ]

) G" W e; V7 V4 t _1 I& w; \: H8 l! H7 l1 E0 N, _0 O3 F4 \# s7 F4 D& P0 h; q; w. n9 @: Y* x5 ?! Y0 W6 B# `& p# S; }8 _7 c' v* S- G6 A o0 [4 a2 M5 y% {& u$ J% x! U8 f; ?: X5 Z3 c+ j( v0 g) a' R1 @6 Y: r; N9 w/ D0 l) }% n$ z# ^/ G3 G" [, {& M+ Q/ ~ o% u8 Z, K- D. G" ], w4 p/ d* H0 n2 K3 n% z1 @) t3 |. U- U: L) y) u, b* U+ E4 P9 H: D! J$ {; e5 l* p: p% }2 d" ^: ^7 n, x% M, A

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 0 N1 G$ o9 l/ r8 r小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 & `1 I, b7 h6 h7 I( v2 h大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。

v& M/ D. T. |6 f& X. G