[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

god

设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

0 R5 L- c+ Q7 Q7 J% q) l

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

1 O, q' s% e2 _

2 J6 S1 n, P ^! K" d' b$ d

j. j" W1 ^- t" \5 G8 y- }

移项，得

/ o' ~1 n8 n+ K+ M8 Y$ Q

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

8 b4 L5 z) x' u2 }9 ?; ~

% Q d) s; ~: g9 x7 _7 S

二种方程筛的比较

+ b$ z0 X, t4 \# D

包学行

2 R2 N& q8 H( W7 \# |+ X

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

2 ]$ t! ?9 Q0 l f& h0 `' B

（2）

7 x' Y1 p6 w' I) _) q9 `7 k

/ f2 H% h# u& E! }% u

上方程（2）中的

3 y" E% K8 m3 S& I$ T4 F8 O0 n

, T; T/ i: G) V' }/ }

（3）

. t( [' D& s7 l I! @2 S5 N

该方程较为复杂。

q% f( D5 h/ X) s; ~3 o4 B4 w

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

0 }, c: b! |0 I# V2 O, U$ p

) K* C$ U& l# p6 S8 n1 C2 @( Z9 A# C' j* d- c, A. Y5 V* Y/ Z8 Y: c4 u! e! \1 A1 T, ~; F5 I. I1 h+ S. Z9 k3 E8 I- K/ G( e$ @5 y+ }3 X. g6 Z6 J, K# N; k0 G {; H# }6 h2 e; f! }* T) L! M1 F0 @" t+ _3 ]- `8 N9 C+ g( M2 o) ] F- ]. w( L+ n$ I

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 ; {! W9 L C. S7 c9 ?* m（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 - m. I% X: k3 l/ f# D9 q8 V1 x" @（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。