谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系

大傻8888888

我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2    其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
% }$ V$ Q7 ?0 I. @/ L) o2 q( vr(N)～2cN/(lnN)^2
& i: t% D: n+ {8 \2 y1 W9 q根据梅滕斯定理，可以知道：
: Q9 x; Y, T) H$ c- L3 [; L∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN    其中2≤p≤√N    e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
2 K- U$ y1 v" Wπ(N)～N/lnN
# T5 F- Q/ A. @9 t1 g) k, o6 K所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)      其中2≤p≤√N
1 `  ^7 u6 F* J" i) A" s也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
* Z4 d. Z/ j8 p: k% x同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
  T7 z. Q$ o3 X8 Z: h所以                                                            
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
& {% c5 l0 g% D4 q$ f0 i如果p|N，则
* I4 \- T5 l0 v0 }; j  z2 ]r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
4 y. X" H& B* \# O  n
& L6 ~0 J9 d7 U' v7 N( w& N0 O/ u* F