数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
0 D4 ?( A% g  F' R1. 按模型的数学方法分：
; g' f$ u, O5 H几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
8 E) }8 e' ?8 D+ h2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
+ a2 P  k4 }. W0 M0 ^3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
+ P# H! h9 n6 A0 M4. 按建模的目的分： ：
' B3 c( s# Z+ C+ g预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
* {* p4 i$ S: Y" F7 S有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6 b( s6 D8 v; y; `, k+ s9 u6. 按比赛命题方向分：
. Z) g; W0 Y6 g! w3 c0 M) e( X# u国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
$ V* k% o: Q: V5 ^. @数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
/ V+ }. P' a) |8 e- }" t" t该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
/ i/ \9 B2 ^) Z以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
, u/ L  C- t! C% ~2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 L+ c& _7 {1 T% w$ Q& V5 r/ v建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
/ l! x' |: Y5 ?. E' k4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
: x- l; P& P$ q4 }9 z论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
7 o# [! ^5 N6 X# p7 c5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
; F7 x/ h+ v( J" K- M, R+ d6 f帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
& ?  R0 E! H& ~! b5 F  ~当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
$ F- f# V) D6 w9 L! a% K# y- ~; J很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
: C4 m4 L8 u: a- i据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
2 _, |& n4 }. r5 b7 |# A3 P- U9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
% s* I6 I- d" I& A如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
+ C8 T' F; F8 ]# i* u$ f赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
& [, A( Z9 ?+ |1 I的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
. A2 H# L3 _' Z! [9 q算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
$ v( g2 q) S! @3 i' Z+ b9 K解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
) ~% v4 Y- [# S/ `% n& v' b. s②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
) K! B$ B4 K# }, x) h% m" A微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
4 k* v! V" X$ h, n8 L, {其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
% P+ w- B: M9 [% m* f. z2 H找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
. i0 h( a+ N: }, @+ D. W3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
3 i" c6 M' a* f1 i, L3 U. `①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
2 K, M' ]& Y/ v" \  ~& M2 x②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
" s0 ~3 p; A- I/ ]: B5 N& Y5 m: `4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
* Y& o( \/ `$ z4 \% Z一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
, f+ ^+ X- M$ z8 H" h# j# M5、 、 时间序列预测
  T$ n' D# Q8 l# K% D" Y3 `预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
) g% q$ ]9 z& j4 L6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
, P0 S. m  q6 A3 V6 f6 p9 f0 \9 b预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
6 b  F; u7 _0 G! |  h' g) |8 y* s' k4 R预测波动数据的函数。
; J6 N( V1 I! W4 p7、 、 神经网络 （ 较好） ）
5 X  i, {9 ?3 f* }. l3 E大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
5 u/ }& t0 @5 \0 [( A办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
8 ?# ?* ?: Y) b适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
+ n' h3 `: o$ o) s' r9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
" a! J' e6 O  x在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
1 S5 Q% G4 R% X. u4 X# C逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
8 M. u3 r" o8 N5 h; X8 w0 R* V10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 P5 @( G/ n( s# ^评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 t7 D! T: X1 p" v* |; n/ h+ j作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
5 X8 n. V" F5 L$ o优化问题，对各省发展状况进行评判
8 {5 z8 H! D1 ?& e+ |13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
6 o) _/ B) e8 G0 J秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
0 J2 d8 J" x- k8 x5 [; v& W法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ k5 w. H. O- L( ?0 w# }/ Z/ b评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
+ o0 L( G# g  f6 T# l7 D/ q$ e/ }0 o  G可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
1 D/ g" V0 J6 U: M来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
. ]4 k( |: M0 P  P16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
. ?) A& F3 N+ b+ p7 B! o17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
; Z8 f9 q: h2 c% F- T# p% y模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
: m" A1 x( D2 D8 y& B18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
; T% k3 x9 I( C  N非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
' b. k4 b7 i5 A9 c2 h- J算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
" c+ g( u* H* s/ a19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
! f) w. m& G8 k1 ]  L20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
- U  J' b3 W* D; C% @7 L即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
2 Y% j1 S  }7 d0 l& ~/ J有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
8 s2 Q+ D; a* o& n2 C8 L21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
9 E! |# _7 \. }& |4 ?* f: s例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
7 ]* d- N) ^  A- Q23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
% u* u9 X5 L1 o1 l* c各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
) V4 x' d/ Z6 g4 @8 N4、判别分析
5、典型相关分析
1 g! [) Q# K- k$ K3 C' D6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
0 p5 X' n7 m3 w4 K2 c% [24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
3 o+ ^: M# Y; w8 Y5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
5 w  m: R" p4 I2 R" q1 t) v! S8、模糊识别
! g, U0 x4 d: F4 {25 、关联与因果
9 d) v. i" N' T& r; ]7 k* B6 d( C1、灰色关联分析方法
5 n! d% X2 }( }" `! G0 c5 A2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
  a' |2 e7 T" H0 T) l8 p$ x3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
6 V. E- Z; y! H% w5 ?5、典型相关分析
, ^  [0 }! G' O. ?* u1 W（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
" k2 u6 i: t2 x# F  B一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6 w: K5 m/ [5 g; |6、标准化回归分析
5 z' X. ^# `! x* p若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
- |% |+ H1 Q; ^4 w$ X6 ]* [8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
7 f! F! o6 x5 _$ H; w* _8 t9、优势分析
; D3 v: b0 X9 ^6 E$ R. i* L26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
& n. d/ m) |: t量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
  C9 H! i# R  m" w率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
  y* ]; C0 z6 B% N
* ^# F; k$ Z8 Q8 |( _
: P  M7 `& f. B& u3 v# U- Q