数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
( Y+ O3 W: C: o$ ^几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
- ]; O! @7 {/ t; ^静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
2 x" U! ~! g' W  s: ~2 H7 u3. 按模型的应用领域分：
  G; R+ l! D( {/ ?# }8 Y/ i人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
3 n& z0 {0 }* `- g4. 按建模的目的分： ：
. k+ l+ o; U) l3 s/ w预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
7 p; `6 \4 a$ m) p5 L4 ?2 n往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
5 L& H1 S3 Z: p1 I0 Y  A' D比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
3 w- N' h8 C, D: p3 Q0 ^  `- T! b6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
* R' g) G$ |2 D- i' [) u5 {数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
3 i) K$ F  y$ Y9 f该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
! D0 n% l& F  P- G3 U/ @2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ {7 H1 X% G& s% Z! v: E" j( s比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
1 x- E8 f1 p* I  T5 [通常使用 Matlab 作为工具
. l) V8 q) U% W1 p  u' _' f3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
- E8 e4 S: ~+ v9 J/ v' r# |9 q6 v这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
0 u$ p' T! [, y7 X3 d3 C5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
8 i$ ~+ w7 y- H( X. V0 y! A5 u" l这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
" U6 r' n$ `3 E1 X1 S8 h  h6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
, P1 b0 H: }3 V5 ~7 、网格算法和穷举法
$ B8 }; S+ u1 S7 R/ d当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
5 }+ l6 E& t& d/ A3 R8 f" A如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
3 p( m! O0 y9 w$ z赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
  ]1 U5 p$ G7 M% I1 b( y算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
. m" R0 ]: r, @解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
6 Q5 T2 r( P+ z* }, e①数据样本点个数 6 个以上
( z$ A5 z! g; `7 q" \+ Q9 e②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
7 {9 Y) Z" g. x7 P& i* u' u# O5 g微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
/ G/ p( j2 [/ R3 、回归分析预测 （ 一般） ）
' s& B" p# @0 m求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
; p  P3 P" T/ S" [化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
: i* u/ {$ k: b; t一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
0 B6 B, f3 r: }2 L+ i) n互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
; R2 A! v1 J# U/ X5 X0 h( o6 G预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
5 e& u% A$ x& l9 Z  R! I预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
1 k( X: D' t, Z% r1 e大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
4 C' x9 R$ q- M' k8、 、 混沌序列预测（高大上）
& q0 k( K6 {8 q" K5 K# \7 {% ~适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
* x# X- C* V/ |11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 B- b3 |2 j7 H- r- A8 r作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
( [: A+ Z" V" P8 t9 N- W7 O优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
4 A0 H" t$ ~) E" ]! a似。
8 \8 Z5 q4 D0 X9 W14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
1 o( B, L0 y/ Z其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
2 A% F$ C3 ]5 Q; ~% S的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
! w! L' b4 S: Q% g' T- G  S! ?该方法做评价比一般的方法好。
2 |& J. @& l# R- V% y# \16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
3 W# \, Y- [( `) r7 z量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
( s6 ^  i; f3 R# ?5 h17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
% Q  F  ?0 }4 W6 l. _模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
4 h6 _: \5 Q5 Z- r- q  I5 E# q0 |2 _4 _优解。
; X2 x1 N/ ]8 @- G! U. d: y18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
5 y; c- ~7 s0 e* b# \9 G  p9 V非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
% ^; u8 g( C% W! L其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
0 S2 v% x" C* {$ M7 w排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; S% w& P( n4 N- K# I4 q/ v$ _. R. T即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
3 M, M' e1 v5 B% F21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
5 q' L5 o0 O5 [, p0 `4 \7 P0 ^- [例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
; D1 B: T8 y# |$ p( i/ S支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
* Q0 l! O9 x$ |7 ]射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
1 P/ b5 h4 s4 I  z8 X: E7 w23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
: v3 `- D9 ?; q/ [各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
, V9 [$ Z* ~  x% E- K! K" O. [6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
) Z9 B( V8 G7 k( `# k* o* B24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1 G: @" x; `1 L$ D1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
" j! ~8 ^' Z5 N( p% q, a5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
) c& }4 Q2 M2 j8 G& l: P25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
  J' F& D1 Y) r' W3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
/ Y: k' p4 e5 ^- f* K5、典型相关分析
3 x+ l& \' P0 k0 q' d/ m（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
1 V- b  D& x. I- f" a一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
( ?9 I* P% a0 Q( Y! F若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
# v7 ?1 _6 Q, f3 \. \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
* D: ~. Q0 c9 E; P0 z8 m% w. U9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


, d" }8 U7 X% c1 V