数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
! O( o9 ]9 U0 N; X几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
* j) m+ s+ Y$ F9 t, l' s+ [2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
) Y" `) y& c( z: R性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
, l% T; m3 b. _一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
  q0 H% j; x8 c  q+ ~, s& B& X* z有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
: K8 k7 ?: L4 P1 [* a; w+ J$ G+ Z比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
' P  V4 U3 d' m  o+ m国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
+ L! n7 m1 m( p0 E, z+ [$ J* G# a运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
4 t6 U; v6 K+ m) n2 i$ a该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
! y8 e- x0 I7 _: T; N7 t* U9 Q; E2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
. a/ m3 H6 d) V3 d% m通常使用 Matlab 作为工具
0 `0 s8 b/ o+ d( r5 G3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
0 V0 P# `) J. y+ q3 `+ ?* U$ [/ Y建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
; k- G& V, w: n3 \5 m4 B法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
6 \2 f3 v6 ?7 w; ?; D4 A论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
1 u- T" ]" y8 X5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
0 F* z/ a8 u/ B/ C! d! Z. s8 W( f这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
+ ?  @2 D: V# P) B) F! |6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
+ w$ I4 m$ ^5 U6 U( I* b这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
0 D) W: L+ ~6 G! G' }3 @6 x帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
3 Q5 a) c3 @/ e3 m3 [4 f. }9 i7 、网格算法和穷举法
" ^3 z4 b6 m3 {5 i当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
) r8 J' N4 t- P+ }7 ^6 R8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
; c! j5 M. \: E4 l+ v& J9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
" N3 H) A) p% k1 n如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
6 s8 K3 Y+ W8 D1 Y7 _$ P/ [* |& c10 、图象处理算法
( F7 I3 q  a1 F2 \赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
9 r% c( U* I$ B/ M9 n" o2 T的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
1 V9 p8 J9 u$ e6 U3 o# w算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
/ P& I: T" E3 _  G( \. ^1 r. M①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
- n( n5 F3 z' ]$ O- p' s, Y其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
# r4 d0 H$ }- g4 p$ D0 ]3 、回归分析预测 （ 一般） ）
( n0 w+ \# {" e- ?2 K1 O求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
# {+ d8 T3 `; t6 ]4 l: C1 J- C6 O②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
$ v$ `) H6 T; y2 N+ ]4 N+ A+ Z  s互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
! D, m8 C  s% H( K3 U% @5、 、 时间序列预测
8 ]/ m. A9 b. D$ Y- v预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
4 x" E# R* A. t( {) d# N! x数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
- U2 y4 h7 |2 r% I/ u( b2 ]预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
; i. A/ K! `- \) ?* }. O9 c大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
' h8 ~8 R( N- g/ B* E0 I适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
5 \0 F1 l" W5 f7 W! Y! ]拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
1 T; x5 W9 |% H9 k10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
& r2 g* n9 R3 j4 x% D评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
$ y1 d4 S* {8 {7 Y11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
! }$ |# v! H1 E- I" C  ^# N+ U秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
' t+ x$ w+ B# r法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
0 u. H8 U0 r) ^9 @似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
0 s: D  `. f% s: x评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
" ~7 l- ^. p5 N" B解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 A% F4 f3 A) E+ H* z7 B! L, O! X可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
# z2 X" U0 z2 x来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
% x  Z6 b" n1 q; l; u, G, e- S16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
. \& @! q: h+ {+ V1 _方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
  g3 i7 Z3 C: c, S7 Q协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
8 d: y9 v+ C' |* F8 c素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
$ y2 Z) B. E0 l. X/ Q此外还有灵敏度分析，稳定性分析
4 e9 j$ d( h) R9 h17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
; l" J$ Q% z6 Z. M0 w模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
! E8 a  H- q9 t优解。
& m; R1 v0 x& `; x# K# n18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
. `5 w, A+ O9 v智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
4 D* x* H" G+ u5 V3 N& z19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
  `& Z& \6 L2 x: ?20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
: E* A; s4 b/ s( \排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
# D% a. e) C5 z即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
' \8 e9 |. G+ N9 a- H" t+ H( E. h般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
; c; \" ?& o2 R' D, x21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
9 L3 u5 {' R7 A+ q* {/ }, W. \22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
0 U3 z$ V& x; x+ I8 Y8 x+ N) T9 Y  v8 G4 u射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
* R$ v+ h' Q; y$ S5 i% q) m23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
, E3 ^+ O% _) D  T5 l  u  {6 @3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
' Z0 v8 Q. S3 U9 U+ a各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
/ R; C/ _' f% f- z5 B/ H从而达到降维的目的。
' ~. b+ {/ l2 s  k' p; J4 {4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
* ^2 h" B* w# d( f+ {8 A24 、分类与判别
9 w) k" Z# \8 D/ t7 d# g( _, z主要包括以下几种方法，
8 F; `# H. X" K( d0 Z3 x1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
7 E! P. m3 a8 [' U1 c6、贝叶斯判别（较好）
! C$ c6 C9 N8 w6 n7、费舍尔判别（较好）
# X" H' @; E' D2 h8、模糊识别
25 、关联与因果
% f" A9 W* J) {4 V3 u! b8 v1、灰色关联分析方法
- T- \1 f: N' s  L2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
, v9 U: Z. {6 v- t. g8 v* g（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
+ k5 T! {3 {+ _! I若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
7 Z4 b0 {0 {# u数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
0 U3 U9 q( k4 {  S4 I4 \1 @. G8、格兰杰因果检验
+ d: }1 [2 R2 Z7 i- x) ~计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9 q+ O' E6 I2 b# d2 R9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
& F+ N5 S3 {; R+ b3 e量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

. Z  E* L; g3 Y2 ^, D
2 l" t0 P  T4 `# d