数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
8 P2 ]( F9 i' k$ c. P+ q! O1. 按模型的数学方法分：
; E" B0 H% }' f* H6 I5 q几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
4 Y3 D& M: H! H6 O1 T静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
/ |3 n( w! i- Q+ A' L人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
$ l. d" K8 ?- A% _8 t& K$ k0 Z一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
5 x8 z& K4 ]! O% Z比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
+ O! z- q' N; L1 D0 w数学建模十大算法
* d! C0 p6 M: w3 M# i* X' J+ e1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
  O# A" m4 M$ v, {比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
" {8 x1 _1 D; {' H3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
/ O- j% `+ N7 G3 `法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
/ a3 E4 E* ^( c& R6 s9 N4 、图论算法
" \1 ~& b; S) B% ]! ?( ?# r* ~. j这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
* ^# E9 n5 _' `+ y! p论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
* T% F0 W$ u2 l5 O5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 v% s8 U" u( P- b/ j" h* M6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
# W$ {4 y/ J. K" H很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
$ T( B# u+ m. k: G, V& e* \9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
+ D: ~4 ]) }8 r; Q, [赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
! V( }: p7 |. u& }- t/ t解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
! d* I6 e3 E" z) N个条件可用：
) D( n& |1 ^/ |$ z* ?' c①数据样本点个数 6 个以上
1 v1 C" A% B4 @) }1 }②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
6 C% M+ f1 G2 f6 B其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
* K' K* |& c1 B3 y找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
2 {& |* O/ S1 u0 l7 \9 v求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
5 I4 \2 S7 b' P  k6 f6 T# }, f) j一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5 j! J+ J6 ~6 a! i5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6 ~" t; P: h+ |/ |6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
7 y0 b* i8 l; M8 ]" M* G大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
3 ]) Z' q' ?' \  u! f办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
7 t3 h! b8 z3 \. z. ^9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. @: l2 I5 {% `# E; E评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
4 ]' F' Y) G8 n+ {. Q4 p- `作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
5 }' A" S" R, H3 T# g$ r  z12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
3 W6 O, Y& j6 m6 m4 V( g2 J- v' a9 L法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
, @2 I6 T- r, ~# s' Q9 x/ \似。
) K2 ~; m3 _$ W2 e( u& Q14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
, ?+ X; [9 }1 b) g7 f& ^评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
, s8 h' \# `* J可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
" I# [, C5 |- F! H+ {3 x来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
& N% `+ H  Y( O- D方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
! Z' I. C1 |# S/ K+ D) {% I素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
! A; t# I" d. Z1 q3 X" m模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
, r- A9 u/ n3 d; ?18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
) p7 C3 E2 r& F, V智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
$ W0 f1 A7 a4 C1 W" \& u" I- L" f算法、神经网络、粒子群等
) M. a$ l( I6 `" B0 m1 E( ~" @  S其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
' e: m$ e8 q% x2 K& V2 l! \19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
4 h9 g  Q: x# I/ ^即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
" t' y) ?4 `6 |% N: t2 c有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
2 c- j$ a  y# b- _. e* `$ R& g% L22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
# A9 j+ O. Z* r) u0 f, ]支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
7 p' r+ A$ B% A" A4 d  p23、 、 多元分析
1、聚类分析、
' N- m7 Y/ M0 ^- B: H2、因子分析
1 R4 D& x; d$ D3 }* d3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
' e* ?+ f/ c: ]$ u各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
+ J/ t' z3 r' p3 y( u5 ~# f9 [5、典型相关分析
7 V- P: H% l2 W6 k- o$ Q6、对应分析
1 K: g/ M. Z/ _. ^- H7、多维标度法（一般）
2 l) s7 W* V1 Y( y# V9 J) [6 o8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
+ ?- [( q! p' D% J主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
+ N" K" n) d: @2 b8 H1 d4、密度聚类
6 |# c0 E( k1 G8 N% Q5、其他聚类
9 b- i% b9 B3 n7 J# K+ q8 {$ i6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
6 g& d0 r. I2 r! r7 k2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
& `" I" }+ k$ ?7 B; U$ L" l4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
. x( a$ x$ |0 v! v5 n4 z9 M) V5、典型相关分析
6 w8 x; c9 \2 T（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
' _$ I" d% G4 T一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
2 }2 @' ]% ^0 q数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
6 i3 w+ m$ f3 H7 K9、优势分析
" C, G! M* e. z! H# Y0 V26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
# x, I$ t8 N. ?8 _5 C率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。