数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! X7 r/ {* j" N* Q( ^) V& n3 Y静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
2 W0 C8 x: t  j  i9 ?性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
8 ^$ C9 O7 ?0 I; Y0 ^6 u6 j4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
$ ~$ T/ Q$ X7 m8 _0 y5 o3 S2 D2 f往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
  q9 R3 Z+ X6 G; s  C% B有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
+ _5 k) t- Z3 A) B* m" c$ q比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
& p% X' s7 a# U- a4 e0 n* m. G国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
8 D5 U9 F& Q* a4 t( ^6 p/ }% N1 I数学建模十大算法
. o; C7 W7 l; t. F( D8 K7 e1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
* ~; V( D8 ~- M. m5 S. |% p/ P& ?以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
) N* q, J2 v  P8 `2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
# @! D5 v: k; G0 L比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
4 j# k3 J1 ~# u: L3 {  }3 f建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
; {! U* Q) b* i. m9 X) b法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
* G/ x9 x3 Q  `' @9 \5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
* s" S4 p# v( z这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
  d/ V$ Y9 V: B8 O; a这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
$ V, A3 F$ }; J* S! e8 B当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  o) M: J) p- }- U& V9 o9 j1 ~一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
% M" S# C$ N' k9 I0 {3 Q6 z/ \据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
' r$ ]0 b# x! f如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
. @. L, p* L5 Y2 J  k  U10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
" ?  D4 t- D2 l/ Y行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
( {. k9 t/ [1 ~0 n7 @1 k+ R; Y5 w9 h) N个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
8 a$ @6 ?" j4 y6 g/ f) c2 ]$ Q; D  O②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 E/ Q" ?! _" B% V2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
$ C- g* v& ^0 N: G% ~2 r其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
' W! w6 g7 d) b% O1 B+ G找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
- k# k) ]/ |- c6 e; x化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
& F; x3 K$ Q# o0 w" N9 t; A一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
( k# i9 K3 v% n4 s. _概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
6 ?% W7 [. j2 g预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
- s$ s  f; x' f1 I2 F: Q$ _) g数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
* E& {. C9 H' M. _) n9 W; g预测波动数据的函数。
) Y$ K+ u  y- e4 g) [7、 、 神经网络 （ 较好） ）
/ S# T, ^: f! W( m. a/ @: A- g2 J大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
3 d' J- H  O$ y* q: s; p  j: U办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
) v5 \. i" _- {- z8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
7 ^: H' T2 e/ ~  L' s  X9 @. P9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
+ u; i) J# L1 L" N& q拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
* P& Y' ?1 }4 @9 P7 _! ~# U在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* @4 ~. ]: O" _- @4 M" K) E逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
% K. s% f6 J- @: y& d# ?9 s11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
+ v. p3 W9 Y4 C) k似。
) t: W1 m( z. N14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
; Q* K, b7 q  r. D其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
& p  p* c" n% q评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
1 O. F/ f/ M; `  p( `# s. N8 n; l解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
  c4 g) w+ j3 w# |* ]$ [7 q方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
2 h; T* \. `6 g2 |# f协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
6 x9 ]* V, k- X( \. y$ b+ j素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
0 Y8 h; E& O: d/ g# Z此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
, T+ D/ [5 b' B0 o$ l/ p4 w& W模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
  `, f: P6 P) d8 M3 c; K优解。
3 f1 i( j8 y3 B" ?18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
4 f, l; c# a  b7 P2 I& o其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
  }8 c! c) e) ^8 b$ r8 h19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
- g+ x; h3 }6 ?7 c, t20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
) s% m4 W' J2 H8 v  O排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
- t; \7 t9 `9 s+ s6 _% z2 `( D即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
! R# `" N4 X  V! y& d) t/ }' n计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
3 w9 ~3 X, {* }4 P/ }21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
% d( f$ d4 K. b& v( Q% F! |22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
- S! z, P! |  Z) ?支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
2 b9 ^5 T2 t; Z" S射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
8 [# X3 \1 T% Q8 V! B3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
" k: z: b6 q4 ~0 n. |) ?0 C- F  u8 X$ F从而达到降维的目的。
8 [- p7 }1 C2 n/ h1 ^/ g4、判别分析
5、典型相关分析
: v( K: I/ t5 D% E3 J2 u: @6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
4 L0 k" r* u' z# C24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
: Z9 ~3 r$ H2 ^! s1、距离聚类（系统聚类）（一般）
/ _# j4 D4 I( u5 |! A2、关联性聚类
" z! `2 `. I% t* K7 ~8 A: z3、层次聚类
4 }7 F8 b6 R! a: x! n$ h/ i; B) y4、密度聚类
' y' P. [& \" B- c5 |5、其他聚类
( }/ F! _+ z4 ^4 {" g# {6、贝叶斯判别（较好）
6 q1 H6 Y6 l  ~$ M( {4 s8 v7、费舍尔判别（较好）
; [) w7 M8 h4 \- q8、模糊识别
: D. T( Y0 t8 ?3 D: g- e25 、关联与因果
* G7 i' B/ H2 U( `; [" K8 E& e1、灰色关联分析方法
& V) V$ U& F9 N! i' k( y3 K; q7 X2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
6 V6 G4 n' B/ Z3 Q& ]（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
$ W0 v; B" o+ R$ Z/ O6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
1 X! \, H: b9 E( o7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
/ t/ |/ O& [; x; j率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

6 F8 E) a/ a- J/ f* x# v