数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
5 E& {) `6 {5 }% U2 a1 {1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
8 o1 S% p$ g) `4 g( T8 ^静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
8 n7 U& C; B' c  N) L性模型和非线性模型等。
4 J1 k6 d6 @% i. [+ D3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
  O# u6 R, Q* Q' Z3 h* q% C4. 按建模的目的分： ：
3 t, W2 u3 d- w: Y3 }. u% U. m预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
, H$ H4 h1 U7 J  T1 @/ f  E. X一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
* v& q) [2 @* G& {; a9 U( p往也和建模的目的对应
( ?" i1 D$ X4 X& Q5 m5 |4 g9 ?5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
: n) T& x" O# q% N; N3 a' b国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
% s4 s/ G* o; K6 [4 i. s2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
. I: M8 I+ E) ^' ]& x4 v) J通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
: C2 e# P6 H$ q; O建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
& S9 G" H6 C. b5 z* O4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
. [: i8 V3 v* m* n# ^* j论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
! j  [; F, S5 ?# x& R7 ]5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
3 G. U/ m# N8 M这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
% J4 J2 X" U6 _( b9 h* x7 、网格算法和穷举法
$ A2 H* w$ i1 t: w2 `当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
( v- L1 @# Q( R- ~很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
! O4 U# V' v7 Q! r据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
3 y& V( x! Y3 K2 Z如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
2 [- E6 g. \4 g- H10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
4 i; ~5 Q0 _! J+ B1 A: C- a行处理
; Q, z( V, \3 e算法简介
* }3 d9 N" s. B( S7 [1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
& f  \9 `0 D4 E& f个条件可用：
4 f! M7 Z, u$ Y①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
0 p4 Z9 ^6 G$ H' x/ K8 {微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
2 Y7 q9 X0 F% P找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
+ P( n! n9 T5 }1 |4 Y# ^( v3 、回归分析预测 （ 一般） ）
6 t* M4 M' \% u5 Z& i0 b4 y求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
9 r; {$ j6 T1 Z②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
1 A) |- G/ z- p1 v: J- V0 T9 q4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
3 y3 ?: c6 N( g& N; n互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
0 X8 R) ^/ ?  d% Q, N概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
% S2 [4 d9 U% T) C1 A% A8 ?& O6、 、 小波分析预测（高大上）
# l) O4 }  }& O' K) n* l  g, j* U数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
  O4 {+ @; Z$ w$ X, @4 i4 _预测波动数据的函数。
3 \- i0 x& L/ R! \, N7、 、 神经网络 （ 较好） ）
0 W  D& E0 S  z- b4 @- M3 Y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
+ F" b, }  j& L5 R. @办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
3 J; u* d! B" j  m8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
( g: y) Q7 R+ n; I; N拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
7 f% A7 r2 E9 h# m) g( @逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 H  M" }: Y: {. T# U作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
1 a" z0 p/ T& z4 K! C12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
7 U1 j/ h' Z# m" T) F, I13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
" q9 J6 J; h1 q' J; h: m秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
3 S& @: R+ H3 U8 \% q8 e7 B法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
/ U4 l: ?; t& a4 R* b) p( _似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
8 ^# s2 [) \  b2 f4 u9 _3 c其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
$ O: z( r1 ]' H3 j解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
5 j* m, {- x3 s! h$ B的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
- e8 Y8 r- T9 n) b  D可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
7 V2 }- u& ^* L+ V( V来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
9 H2 s" r7 k3 @6 T! g/ X; o$ }该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
! H+ A9 `2 b2 g# Z4 U6 a量有无影响，差异量的多少
$ a; `" j  p, v7 n4 q协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
7 G; P$ [6 M/ O! q. R( X优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
- i( v% x+ x* l3 H非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
: @6 w2 N0 X! g$ [$ u9 _! N. j1 a/ B智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
6 {, N( L$ X) ~1 w; N( o计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
. r3 D' v- X: F! k/ F: A般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
) w. z- P, ^% A4 u射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
! T1 Q5 {1 n8 }. B& f' a" N5 b1、聚类分析、
& Y$ z1 J" W+ ^& v# H) o: l6 i4 W2、因子分析
3 \# x) T( v( E" G) @( ]3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
2 G: y7 A; {+ R/ ^/ `. O4 `; p9 ^$ i2 C+ t各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
$ ^1 r) g8 g0 ]7 W. s& B  u6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
% P2 @: u) Y3 Z# H24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
. d- U! j# |1 K, O% v( d2 z1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
8 d8 {$ Y5 n, S& X4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
( A% @0 l, u- [1 j7 j  Z$ ~9 v25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
$ N$ b8 t  R) @! W! D+ i" X3、Person 相关（样本点的个数比较多）
7 O: I8 C- \, Q8 f  ?* f4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
+ S; u5 s& a9 q4 K$ Q! ]若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
* s5 v( L/ u$ W4 E( T( A" l5 h* O  I' A7、生存分析（事件史分析）（较好）
+ E  j, N# P. k# V) E. O数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
- i& y! N8 w+ Y2 p* J8、格兰杰因果检验
& j6 C" o/ I" o- D9 L/ {- `, F$ B6 x* {计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
+ c4 x# N( Z( z  {" K8 G$ P

# p# I& |4 g: l- v9 G3 \, ?