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    发表于 2018-10-29 09:58 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学模型的分类6 m0 d# x, d5 B% c8 @
    1. 按模型的数学方法分:. j, N$ @9 L0 Z' q2 x# C
    几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模3 F) b* Z: F& _3 G* ?) j
    型、马氏链模型等。1 b5 E* |% M8 }6 A( ?
    2. 按模型的特征分:
    ! X7 r/ {* j" N* Q( ^) V& n3 Y静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
    2 W0 C8 x: t  j  i9 ?性模型和非线性模型等。- V" g& `) n* g5 a8 D
    3. 按模型的应用领域分:1 I$ @" R1 A! H8 o( r9 o7 P
    人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
    8 ^$ C9 O7 ?0 I; Y0 ^6 u6 j4. 按建模的目的分: :9 M9 a5 Q- `9 c  u
    预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。/ r! C2 ^2 x9 c% @
    一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往
    $ ~$ T/ Q$ X7 m8 _0 y5 o3 S2 D2 f往也和建模的目的对应( ]  j) m$ _7 B0 H8 x& f
    5. 按对模型结构的了解程度分: :
      q9 R3 Z+ X6 G; s  C% B有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
    + _5 k) t- Z3 A) B* m" c$ q比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。8 H# A# o  Q- u3 k- h* R
    6. 按比赛命题方向分:
    & p% X' s7 a# U- a4 e0 n* m. G国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、  u9 |2 U7 m9 u' O3 Q! ^
    运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
    8 D5 U9 F& Q* a4 t( ^6 p/ }% N1 I数学建模十大算法
    . o; C7 W7 l; t. F( D8 K7 e1 、蒙特卡罗算法+ i. K/ |! i3 h, @- K8 ^
    该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可
    * ~; V( D8 ~- M. m5 S. |% p/ P& ?以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法
    ) N* q, J2 v  P8 `2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
    # @! D5 v: k; G0 L比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,: _- w/ W- ]0 O
    通常使用 Matlab 作为工具1 o+ Q9 A# k/ N3 k4 Z4 y9 {! c% N
    3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
    4 j# k3 J1 ~# u: L3 {  }3 f建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算
    ; {! U* Q) b* i. m9 X) b法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现1 F* R6 Y0 G! n7 g# i' d+ ^; f; c
    4 、图论算法! ^) ?8 b; A: q7 R+ P; {/ Z% p
    这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图5 A1 d+ y' y5 A3 t! U& L- t
    论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备
    * G/ x9 x3 Q  `' @9 \5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    * s" S4 p# v( z这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中) H. M$ g. E8 _' w) X
    6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
      d/ V$ Y9 V: B8 O; a这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有8 C( m" E# Z) G/ R" b2 ]
    帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用% d6 A7 U9 o  Y0 R8 W" B  c; [
    7 、网格算法和穷举法
    $ V, A3 F$ }; J* S! e8 B当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用
      o) M: J) p- }- U& V9 o9 j1 ~一些高级语言作为编程工具" y! I/ z! S  t# p
    8 、一些连续离散化方法* G5 y3 _$ E0 s! H" c
    很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数
    % M" S# C$ N' k9 I0 {3 Q6 z/ \据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的, O% b* F9 y) ^  z" X
    9 、数值分析算法- X! a7 D3 N/ j+ l( ~
    如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比
    ' r$ ]0 b# x! f如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
    . @. L, p* L5 Y2 J  k  U10 、图象处理算法1 N5 j  h8 |: U3 l, m
    赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片0 y( H1 F3 s0 {/ E5 }, i! Q6 j
    的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进
    " ?  D4 t- D2 l/ Y行处理. b; `% [. s8 H2 b& A9 O3 r5 J
    算法简介4 |$ H7 Y8 z. ^' s4 s
    1 、灰色预测模型 ( 一般) )4 \5 K8 ~- P! z  T
    解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两
    ( {. k9 t/ [1 ~0 n7 @1 k+ R; Y5 w9 h) N个条件可用:" Y6 l* P4 [: c) i4 l
    ①数据样本点个数 6 个以上
    8 a$ @6 ?" j4 y6 g/ f) c2 ]$ Q; D  O②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大
    6 E/ Q" ?! _" B% V2 、微分方程 模型 ( 一般) )& Z% x9 }. K$ K3 b7 p# }
    微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但
    $ C- g* v& ^0 N: G% ~2 r其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以
    ' W! w6 g7 d) b% O1 B+ G找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。, T6 B) S7 ?* o, j' Z- a( d$ X* K% Q( g
    3 、回归分析预测 ( 一般) )* g* V) i8 y( G1 V
    求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变
    - k# k) ]/ |- c6 e; x化; 样本点的个数有要求:" \. c* u  d0 g8 y: v; m4 t
    ①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;$ G2 _- w, ~2 H- _& {* @5 i
    ②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;; X+ X  \% d# ?+ x& k" r; y
    4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )
    & F; x3 K$ Q# o0 w" N9 t; A一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相0 @, L; b- A" ^6 e3 o4 M  C. r
    互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的
    ( k# i9 K3 v% n4 s. _概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。3 q! E3 r0 P; }) W
    5、 、 时间序列预测
    6 ?% W7 [. j2 g预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA4 k& {* z6 l: e" Z0 t
    (较好)。" F2 G& ~6 O6 \+ `- E& }  O9 O. _
    6、 、 小波分析预测(高大上)
    - s$ s  f; x' f1 I2 F: Q$ _) g数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其5 l* S6 R" R! {6 o
    预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
    * E& {. C9 H' M. _) n9 W; g预测波动数据的函数。
    ) Y$ K+ u  y- e4 g) [7、 、 神经网络 ( 较好) )
    / S# T, ^: f! W( m. a/ @: A- g2 J大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的
    3 d' J- H  O$ y* q: s; p  j: U办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。
    ) v5 \. i" _- {- z8、 、 混沌序列预测(高大上)5 F5 A1 Q, |' K8 U- P
    适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。
    7 ^: H' T2 e/ ~  L' s  X9 @. P9、 、 插值与拟合 ( 一般) )
    + u; i) J# L1 L" N& q拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别
    * P& Y' ?1 }4 @9 P7 _! ~# U在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;
    * @4 ~. ]: O" _- @4 M" K) E逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。! y- \! H) ]  ]# }7 _
    10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用7 b* t: l  M  \" W/ e/ B3 c' X. L
    评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
    % K. s% f6 J- @: y& d# ?9 s11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用' e3 |: A; K6 y7 t/ R. R
    作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策: ?: j' `7 [5 i' M7 ?
    12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )9 p5 M+ w5 r% I3 G" k; a
    优化问题,对各省发展状况进行评判0 }5 _* u, o9 i
    13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )( u0 M9 w( a" e6 `3 p
    秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权/ B: c* @4 L$ V* E, l2 U' n4 o
    法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
    + v. p3 W9 Y4 C) k似。
    ) t: W1 m( z. N14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) (备用)
    ; Q* K, b7 q  r. D其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
    & p  p* c" n% q评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优
    1 O. F/ f/ M; `  p( `# s. N8 n; l解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标; }0 H* F- V8 m' |% G
    的最差值。4 I- n4 {7 [7 b
    15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) ): y# z7 S/ A: p6 k1 A; f, M2 ]
    可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出8 g" w1 V5 f9 t/ _2 _
    来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。& c: b3 M4 g) R" V$ [
    该方法做评价比一般的方法好。2 k, W. Q' U5 v
    16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )
      c4 g) w+ j3 w# |* ]$ [7 q方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产& d! U$ G" C1 E, _! u) }
    量有无影响,差异量的多少
    2 h; T* \. `6 g2 |# f协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因
    6 x9 ]* V, k- X( \. y$ b+ j素,但注意初始数据的量纲及初始情况。
    0 Y8 h; E& O: d/ g# Z此外还有灵敏度分析,稳定性分析" `7 _) j4 S5 H1 l5 O* Z
    17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 ( 一般) )
    , T+ D/ [5 b' B0 o$ l/ p4 w& W模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最
      `, f: P6 P) d8 M3 c; K优解。
    3 f1 i( j8 y3 B" ?18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)* p7 H! x5 H" B, O+ J  u  p
    非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题2 B8 c, f. I5 W* _6 ^: g' f
    智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索2 }$ j3 b8 K/ s% W
    算法、神经网络、粒子群等
    4 f, l; c# a  b7 P2 I& o其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
      }8 c! c) e) ^8 b$ r8 h19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )! B, ^1 N& ]7 H* w/ Z
    离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
    - g+ x; h3 }6 ?7 c, t20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )
    ) s% m4 W' J2 H8 v  O排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,
    - t; \7 t9 `9 s+ s6 _% z2 `( D即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和2 t9 H$ p' r2 Q5 R: L' B& ~
    有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
    ! R# `" N4 X  V! y& d) t/ }' n计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一$ T5 P5 H  ~* I' a
    般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。
    3 w9 ~3 X, {* }4 P/ }21 、图像处理 ( 较好) )2 }( J: Q8 d7 w4 X, n
    MATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。9 r. [( |: Q. B
    例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。
    % d( f$ d4 K. b& v( Q% F! |22、 、 支持向量机 ( 高大上) )
    - S! z, P! |  Z) ?支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映
    2 b9 ^5 T2 t; Z" S射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。4 _+ A8 s! H; I( E# R' }* H. _8 C
    23、 、 多元分析2 [! y% _* ^9 y/ e
    1、聚类分析、# p9 B4 @: A$ a5 |! I
    2、因子分析
    8 [# X3 \1 T% Q8 V! B3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析9 n" p8 T6 {8 o% ^6 @# n8 L
    各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,
    " k: z: b6 q4 ~0 n. |) ?0 C- F  u8 X$ F从而达到降维的目的。
    8 [- p7 }1 C2 n/ h1 ^/ g4、判别分析" |4 \( e0 v$ n& W1 s4 t; J) t& A. @8 @
    5、典型相关分析
    : v( K: I/ t5 D% E3 J2 u: @6、对应分析! Y( [' X  _0 n0 }9 K) i# b9 p8 f1 o
    7、多维标度法(一般)) G" M! v* y" N& m
    8、偏最小二乘回归分析(较好)
    4 L0 k" r* u' z# C24 、分类与判别5 I4 o) c! `9 L
    主要包括以下几种方法,
    : Z9 ~3 r$ H2 ^! s1、距离聚类(系统聚类)(一般)
    / _# j4 D4 I( u5 |! A2、关联性聚类
    " z! `2 `. I% t* K7 ~8 A: z3、层次聚类
    4 }7 F8 b6 R! a: x! n$ h/ i; B) y4、密度聚类
    ' y' P. [& \" B- c5 |5、其他聚类
    ( }/ F! _+ z4 ^4 {" g# {6、贝叶斯判别(较好)
    6 q1 H6 Y6 l  ~$ M( {4 s8 v7、费舍尔判别(较好)
    ; [) w7 M8 h4 \- q8、模糊识别
    : D. T( Y0 t8 ?3 D: g- e25 、关联与因果
    * G7 i' B/ H2 U( `; [" K8 E& e1、灰色关联分析方法
    & V) V$ U& F9 N! i' k( y3 K; q7 X2、Sperman 或 kendall 等级相关分析5 ~0 Z3 l% b% L$ c* e
    3、Person 相关(样本点的个数比较多)8 @1 a9 E- F" b: ?5 s
    4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)& x  P* `7 c+ B& y4 u
    5、典型相关分析
    6 V6 G4 n' B/ Z3 Q& ](例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪2 M/ w) _4 i% J
    一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)
    $ W0 v; B" o+ R$ Z/ O6、标准化回归分析, `! J5 v3 S/ p& e
    若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
    1 X! \, H: b9 E( o7、生存分析(事件史分析)(较好)' ^; z: c8 ], I: H7 `" b
    数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响! Z5 N8 C2 x- N; d1 s
    8、格兰杰因果检验- A  x- d  H+ l7 g; B! X
    计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响9 w: F: R' J3 n1 H! B$ P8 n  ?
    9、优势分析2 P9 _+ ^3 J! U' ^" j# W, t
    26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) ). x. L$ V) Z- _: \% }
    量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速
    / t/ |/ O& [; x; j率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。6 D8 M! J0 l) }# b: _/ [

    6 F8 E) a/ a- J/ f* x# v! q! \7 X+ K; h6 i
    zan
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