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微分方程在数学建模中的应用举例 数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁,随着计算机技术的快速发展,数学的应用日益广泛,数学建模的作用越来越重要,而且已经应用到各个领域。用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。这首先要根据实际问题所提供的条件,选择确定模型的变量,再根据有关学科,如物理、化学、生物、经济等学科理论,找到这些变量遵循的规律,用微分方程的形式将其表示出来。' I9 ]# g" K! {8 ?; E
一、交通红绿灯模型( o( n* h( S/ @+ Y, R! u
在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮一段时间的黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意,告诉他们红灯即将亮起,假如你能够停住,应当马上刹车,以免冲红灯违反交通规则。这里我们不妨想一下:黄灯应当亮多久才比较合适?# @9 B$ U% V* E8 m
停车线的确定,要确定停车线位置应当考虑到两点:一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 ,在这段时间里,驾驶员尚未刹车。二是驾驶员刹车后,车还需要继续行驶一段距离,我们把这段距离称为刹车距离。驾驶员的反应时间(实际为平均反应时间) 较易得到,可以根据经验或者统计数据求出,交通部门对驾驶员也有一个统一的要求(在考驾照时都必须经过测试)。例如,不失一般性,我们可以假设它为1秒,(反应时间的长短并不影响到计算方法)。停车时,驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,该摩擦力使汽车减速并最终停下。设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f,x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离,更久刹车规律,可假设刹车制动力为fmg(g为重力加速度)。由牛顿第二定律,刹车过程中车辆应满足下列运动方程:4 R0 \, g2 C& q# }# M( w
md2xdt2=-fmg
# m- B: V* u: K; u x(0)=0, dxdtt=0=v0
9 P5 A5 Y7 o! [' v! j( u/ y; l (1)
5 x8 k9 e" u3 k 在方程(1)两边同除以 并积分一次,并注意到当t=0时dxdt=V0,得到
- @4 |6 ]! U& ?8 w9 n, G dxdt=-fgt+v0
0 M, Y# i. {0 y5 r( m1 [ (2)
9 _4 @9 }8 o0 G3 E3 @ 刹车时间t2可这样求得,当t=t2时,dxdt=0,故
7 S9 F7 o2 b, `) M# c% E t2=v0fg
# B0 V1 Q8 R) ~' Y+ g 将(2)再积分一次,得& P$ y$ |; ]5 @8 G' k% b9 |
x(t)=-12fgt2+v0t- E3 k3 u- [: F( U$ U) D& W
将t2=v0fg代入,即可求得停车距离为3 F# e2 ~* f! L! j" v
x(t2)=1v202fg
) V9 \8 L4 C8 J% C9 x( w 据此可知,停车线到路口的距离应为:
. A5 j4 Q) F( c+ u L=v0t1+12v20fg
3 y. J; b1 c4 E0 @ 等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程,第二项为刹车距离。
; _0 c9 M0 R% Y5 n 黄灯时间的计算,现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。在黄灯转为红灯的这段时间里,应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口,记街道的宽度为D(D很容易测得),平均车身长度为 ,这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l,因而,为保证过线的车辆全部顺利通过,黄灯持续时间至少应当为:6 ]# N- j% q% o/ Q
T=L+D+lv0
& ?5 I# y* ?4 d$ f 二、市场价格调整模型' N2 y! ~- y7 o+ u0 O+ l6 s) I
对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为(静态)均衡价格。也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程。' P$ G; _6 `# R$ ^# ~* ~5 q
如果设某商品在时刻t的售价为P,社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P),S(P),则在时刻t的价格p(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比,即有微分方程
" H/ ]1 z, i1 I" l' g* l dPdt=k[D(P)-S(P)] (k>0)
/ L! o3 D- Z- s! l% _4 \% K (3)
/ T& T( S4 Y" l( Y 在D(P)和S(P)确定情况下,可解出本文由论文联盟http://wWw.LWlm.cOm收集整理价格与t的函数关系,这就是商品的价格调整模型。
: b5 P+ ?# C: c0 ~1 t 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。一般情况下,商品供给量 是价格 的单调递增函数,商品需求量Q是价格P的单调递减函数,为简单起见,分别设该商品的供给函数与需求函数分别为/ W( E: d3 W+ D
S(P)=a+bP,Q(p)=α-βP
7 L1 J9 p- ?9 ?7 N (4)
+ r( D, \, D% V* T) R 其中a,d,α,β均为常数,且b>0,β>0。- Q' V( a9 t; N( D8 V. x* T( \4 _3 S8 u
当供给量与需求量相等时, 由(4)可得供求平衡时的价格
+ V" ]6 s U! O3 e( x k: F Pe=α-aβ+b
1 z" e) C; _( X2 J 并称Pe为均衡价格。2 u U- S1 W. P
一般地说,当某种商品供不应求,即S<Q时,该商品价格要涨,当供大于求,即S>Q时,该商品价格要落。因此,假设t时刻的价格P(t)的变化率与超额需求量Q-S成正比,于是有方程 dPdt=k[Q(P)-S(P)]3 o( [) m- D5 |9 w
其中k>0,用来反映价格的调整速度。. B3 G- l$ k; L% |2 X
将(4)代入方程,可得
9 ~( d1 i( p/ S; l; |4 | dPdt=λ(pe-P). Y7 ^; \! j7 g
(5)
" D3 V. Y/ e2 p5 ]2 V 其中常数λ=(b+β)k>0,方程(5)的通解为
$ Z8 @% i: Z" |5 Q0 [/ F, G2 r P(t)=Pe+Ce-λt
$ b* x( C7 {! N- D% i 假设初始价格P(0)=P0,代入上式,得C=P0-Pe,于是上述价格调整模型的解为
0 e; a9 T6 k0 F9 z$ g* B# W1 O P(t)=Pe+(P0-Pe)eλt" ^, s9 t+ c# _- D' o7 ^8 T
由于λ>0知,t→+∞时,P(t)→Pe。# v; K/ y# }" V) b" F; V
说明随着时间不断推延,实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe。这符合我们实际生活中具体事实。
- ^& W) [" t8 y: S5 T# c0 \$ m' h
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