数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

( S# K; V+ y( D$ p4 N" Ua)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

) A0 n  ]- X0 K  Y  r4 e# U, e" r
, s" S) X/ Y7 L- S) T# N( i0 x; i# A3 L2.    双层玻璃窗的功效：
$ W& L1 \2 Z$ P* m7 |' K/ P
) X3 x+ a, n9 v1 o; Ua)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
" x9 {0 w0 F, C$ D6 w+ V4 A
2 ]. x/ g8 t; ~" W5 Xb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

+ S7 l! `9 @( {d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
3 y* f; o" v  l1 ^4 N
$ o- ~% C: P& d- Z/ \. t) I1 ye)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

' [" ?2 \2 R0 ?7 k8 s
3.    划艇比赛的成绩：
5 S% _1 \5 w( D1 n8 V
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
, F* K; v- B6 Z0 ~! u* |0 l
5 r9 G6 ]: F& [2 e. j2 X( t. Pb)     属于统计，数学模型拟合类型；

: _' ^5 y% i9 }% wc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
" [/ H4 k, L7 D. L; V& k% i
% u& ^0 F; L  K+ J5 A! |d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

' U8 B' F4 v' B& qe)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


  s2 c% H. u. u; a4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
- S, C6 E# n/ G: |/ _" z2 Y% j
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

: Y/ f% s  @2 f" z1 _5 n. cb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
' f* ^* h* _7 P
. n# a2 V' u7 \. Gc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

8 G$ l& h. c! |& D7 t! Bd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
4 X4 c4 H) v! [- o' |$ i, \' n
+ ^( ~2 @8 B! V& `& S9 A
5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
' P* \7 b1 o2 [- ^( o
c)      根据不同假设，进行不同建模处理。


6.    传送带的效率：物理实际模型
; }* h9 [: z2 H0 H' P, s# O7 W
$ r9 w% V# U9 v9 F. I  _9 na)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
3 A/ t- d/ x, c4 w2 R
1 {& ~7 B; ~4 x" n" rb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

4 d6 \1 s+ @3 ?& m8 C1 e9 r- f! N1 cc)      模型建立，提出提高效率的途径。
  j  ~6 f9 s  `3 s2 X, u0 R* C

/ I  `' u! |, M* Q3 U1 k7.    起帆远航：

; }( |5 W/ B# m7 {( Z2 ra)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

" |/ G1 Z5 U) A2 l* [b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
& m9 K) E- X) G+ `" a9 T

总结：
) H( m. _1 c3 k$ r2 z
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
7 W- y' P8 O- q" W% T
8 ?. C) O; l, R$ P! A1 _! E2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

5 V, H* {. f5 d; v* F5 _4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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4 B7 T5 S' O7 n8 [4 g! G6 L6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
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& {" @# U+ W' l4 _7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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