数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

2 a# X* r6 w" P1.    席位分配：

+ D. W/ y+ W  t7 ]: L# w" |a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
6 ]2 Z3 z- w3 L. r2 X- d; {& s
! F- J, K- F) g, p+ Nb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
; M% p5 k+ ^& d  h
3 E; |, n! c1 D! j. m6 b$ Sc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
  _2 ^0 Q/ u/ e0 r

4 t3 x! I: j( s! s6 B8 Q5 D2.    双层玻璃窗的功效：
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$ I( H" t0 l, b9 Wa)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

& ~5 A. Y6 q, N* g; tb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

5 O7 C! [/ [% [2 H. u+ Q$ \( kc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
% J/ P4 k( s& Z& f
0 N+ W* \1 Q5 L" m7 P- x" y  _; Ie)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


3.    划艇比赛的成绩：
9 U" `$ o0 \7 I( N. Q
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
1 ?/ M1 j4 R4 B
b)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
+ W7 M* s5 n- z( K/ N& c8 S/ f# H1 T
" \1 I. F- f1 K- k3 f. yd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
, y4 j# n) a. p2 ]
! m2 J3 K  \. y2 m! b, v! s* ne)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
: Y0 d! I* K$ E5 F' K+ ?) F: y

4.    录像机计数器的用途：机理分析

( [4 H- q8 b% b# Wa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

* ~; K# e" J$ W4 r问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
1 B8 t6 ?! X( x; s8 q8 o
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
" t6 B) r) O3 A. C, }' @
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
3 U$ _% C7 u& _! `- ]2 Z7 `

1 Y' f# k( Y4 t1 O5.    实物交换：
! t. Y) |4 Z2 \5 R
( c1 e( K1 c% w! k- r" X- h# k9 Ta)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
3 ~8 d  Y; g3 `- t: y/ W/ R
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。


6 i: y9 f( Q& m8 v7 y6.    传送带的效率：物理实际模型
! q- u  t  I" `4 [, `
) w- Y- _8 f7 Y: U* Sa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
: n0 t& M9 d" Z6 R5 l$ E) r: I
% S# E2 y# Q. n' Xb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
; Q- G1 P& f3 Q' |( f  p
% W6 i9 U1 z" X2 V; }$ C6 W2 @c)      模型建立，提出提高效率的途径。

+ D: ]' {; |' g8 h3 c9 d4 T( t
; I2 v8 A* n0 J) Q5 u7.    起帆远航：

' ^3 n! Q) s. F6 K. fa)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
8 y7 j, p9 _: U% B4 W7 u, c
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
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: J* U( i! v( f" c+ {" e/ g
总结：

: l1 e# Z6 q8 w9 ^2 }/ B! t1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
2 ~, v6 d# o1 E  {& Z
2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

- q8 F) f1 P6 R: n; y; M4 H7 b3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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+ E% U& p  ]- d0 N/ Q4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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7 C- A5 p" S9 m8 G1 A1 A1 Q6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
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+ c$ a) Y  ?' E) Q/ K, c4 G* v" n7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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