数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
3 E1 V! j6 e) O% p4 P% _/ W% N
1.    席位分配：
' ^7 [6 \9 T8 i: [! u; Q
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

$ y) @, W; [2 Q) @8 Tb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

* k# s* r, C; {* R; A$ `c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

+ H$ v& r4 c8 A" J! x, P
2.    双层玻璃窗的功效：

' y6 H" {8 K1 \# u- Q0 Y# Q  Ka)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
9 u6 H5 v: S" E( m* T# m. D. O/ P3 [
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

* c9 H6 ^4 t! _7 G8 w0 gc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

& ^; _6 G& b9 E* b0 m9 Od)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
4 M6 X4 R. b+ S, n. {
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
5 j' M6 k: ^7 ?) i0 H" }
; j" t/ i1 t0 N6 p3 \' A+ {
+ T. M3 T+ J0 p$ J0 y; `  c3.    划艇比赛的成绩：

5 f/ G- i; \+ t0 S" N' W; M+ r7 Ra)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

0 C4 n) u( P5 w3 _b)     属于统计，数学模型拟合类型；

2 {! m3 w+ P# Z/ ^' q: Wc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

% T" N( F' \+ ]  ^: Md)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
) P* i/ O! b! q& Z
+ V: A; O9 ~( d# ]7 ne)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


2 s  Q- J& O# \' f% P% Y4.    录像机计数器的用途：机理分析
* m6 P+ G* V9 f. T+ Y+ x% `
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

; H) d) H4 _# F/ Cc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

' q- `/ k5 L5 H( e" J# K! T: [d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


6 I  i, e, d9 ]% v3 ?5.    实物交换：
# E2 `; H+ |8 V1 J" q
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
2 V! r: K. {0 o, E- l
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

  Z/ h# u: ~7 i9 `c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
0 X  U2 J1 C/ n, q  K% w9 B. y4 D

6.    传送带的效率：物理实际模型

& F' e, Q  `9 X9 y& u1 r" G+ Ya)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
+ R+ i6 A  L/ ~0 ~  p  P$ Q
2 A" u. \/ Y4 I* m* X3 V* j$ a3 zb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。
9 r/ d7 i& C8 J2 u

5 M9 {% V1 W' n8 Y2 Z7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
( C! W. b+ t' k% [
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
& A& X1 d( B0 _7 c
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


0 Q+ q! u" ~; t1 o. w6 o总结：
) n3 U4 s5 x) p. d/ d
" R6 ]2 M2 @: X1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
( C( @( y4 D8 D8 C: l" w1 v
: Y. T8 X) O( s2 r) W' J, m5 r2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
7 Q8 a0 k* c. H; ^& N; e2 H3 i4 B4 A
3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
- O8 A) ~4 m0 s+ g) W
& ?7 V8 Y5 O% l- o" I3 {' ~: G5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

& Z5 N* Y  ]* d, F以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。


% K/ ~: L/ [) D" X. I5 M8 u! C