数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

) \1 p2 [8 _* d1.    席位分配：
, L  E# W% G6 A% G6 Q$ E
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
8 o' k& x& N! r& o9 q0 Q
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
! n* J1 M0 E# y0 K0 J2 o& d9 L( |: n
1 G" L% B" @; Tc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

8 Y3 M2 Y1 z! D& F9 _
2.    双层玻璃窗的功效：
' C8 i) H. q$ v" L+ T( J- W
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
/ @' i8 g9 {9 U! E" j8 i
4 e7 |! p5 G" tc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
% r! @" g! {4 }2 Z+ d8 {6 B5 N
6 D, a! w/ C* z# t, K" \% we)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


* u1 [" g* e' u: r: s8 B! A- L3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
" b3 i# e+ ?# W, N
$ w3 ?! W; }8 q4 Yb)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
* k; H+ K7 I# O% b
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
8 U/ M$ i6 l* J8 Z$ c. k! G
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

" Q0 W' k. ^/ S. _( b3 h/ w
4.    录像机计数器的用途：机理分析

6 U: C7 {. h$ Y" G& s( X$ sa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
" H+ K( u8 x$ o! n0 U  V
+ \- J4 B+ G; f7 N0 @b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
! l3 i  I3 {6 j; R& R
  s9 t0 w$ F+ |2 Qc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
) d0 z9 e7 N7 V6 i! U
7 @7 R: R2 \* z& {d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


1 X' V; U( z1 W! N5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
7 C8 r0 p- S, A. k7 S* F2 X
& v. z1 m- W  \, x7 F9 F% Hb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

1 N' p# _9 ~9 {; jc)      根据不同假设，进行不同建模处理。
6 G$ U4 k# x$ H+ a+ t

6.    传送带的效率：物理实际模型
% c+ k' ^" C, q1 W
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
" s9 \. Z" [/ ~* t  W9 F/ R# R
, H) g# n: t8 o& j5 |b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
! d% T$ j# k' l
c)      模型建立，提出提高效率的途径。

  J3 P: R3 v, J% T
7 ]8 w/ w2 h% {7.    起帆远航：

9 Q+ }* p/ o  H+ |" `; qa)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
$ C5 {! f" p7 K
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
' e9 A+ v  r7 y) G: `
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
7 k* F+ c3 _; Y
) Z9 d# r& J$ v
- K( X2 }8 @6 Q4 V7 j总结：
. C+ \, w& E: w' r6 `+ S
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
% |$ e5 x# Q; i: D) d+ h
- Z! T, T3 e# `- T: B% S- S3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

5 Z) E$ n' n5 c) x4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
5 y! b+ B& Q1 a* b% i7 y! X
5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
8 O. K+ t) }3 m+ k
6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
6 s5 m. S3 i  n6 \6 [+ {- f- k
/ v! E% I/ y$ \! j以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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