机器学习笔记十：各种熵总结（一）

重光兰衣

机器学习笔记十：各种熵总结（一）
一.什么是熵
8 w1 p+ E+ b/ O+ VⅠ.信息量
# v+ ^3 b( [( E# Z4 O) S/ a; ]首先考虑一个离散的随机变量x,当我们观察到这个变量的一个具体值的时候,我们接收到多少信息呢?
我们暂时把信息看做在学习x的值时候的”惊讶程度”(这样非常便于理解且有意义).当我们知道一件必然会发生的事情发生了,比如往下掉的苹果.我们并不惊讶,因为反正这件事情会发生,因此可以认为我们没有接收到信息.但是要是一件平时觉得不可能发生的事情发生了,那么我们接收到的信息要大得多.因此,我们对于信息内容的度量就将依赖于概率分布p(x).
因此,我们想要寻找一个函数h(x)来表示信息的多少且是关于概率分布的单调函数.我们定义:
* m- D  b0 S' A

: }3 F. M. n+ b8 Y; V) {8 ]& A) K我们把这个公式叫做信息量的公式，前面的负号确保了信息一定是正数或者是0.(低概率事件带来高的信息量).
函数如下图所示

有时候有人也叫做自信息（self-information），一个意思啦。可以推广一下下。
联合自信息量：
条件自信息量：
. g1 _: k) `' |. V+ P& q通俗一点来说的话，就是概率论中很简单的推广就行了。有概率基础的话，这个很容易理解。这里因为实际上面使用二维的更多一点就以二维为例子，推广到多维的话也是可以的。

/ f$ ~7 S' W! `% a7 i4 J! v: x9 e3 i  XⅡ.熵
- o* o% X, V8 r' G" Q- m: \熵(entropy):上面的Ⅰ(x)是指在某个概率分布之下,某个概率值对应的信息量的公式.那么我们要知道这整个概率分布对应的信息量的平均值.这个平均值就叫做随机变量x的熵
  N  j5 D( Y% |9 s. ?8 G7 l如下面公式：
( z2 Q/ X) o  r6 v* c9 X  p
这个公式的意思就是，随机变量x是服从p这个分布的，也就是在在p分布下面的平均自信息。也就得到了信息熵。信息熵的本质可以看做是某个分布的自信息的期望。
; u9 q8 e9 p3 y, y# p% _这里举个例子感受一下:设X服从0-1分布,即
# D; k) A$ |5 N! o" k则熵为：
上面的计算是对于一个离散型的随机变量（分布）来做的，无非就是把所有的概率都得到，分别求出自信息然后相加就行了。很简单，别想得太多。
代码：
结果为：
+ V7 `" B# M  i1 l

从图中可以知道：

1.当p=0或者p=1的时候,随机变量可以认为是没有不确定性.
2.当p=0.5的时候,H(p)=1,随机变量的不确定性最大.
那么“仿照”之前的信息量的公式，可以推广一下下啦。
假设一个概率分布有两个随机变量决定。其中x有n种取值，y有m种取值。那么可以得到一个nxm的联合概率分布的表。那么有：
% a" K$ B# E: |& D. }6 x* M: \8 G复合熵（联合熵）：

同样，复合熵的公式还可以推广到连续变量和多个变量的情况。这里就不写了。

条件熵：

& D" k, a1 U: n9 {4 K! N
% p. O% }, |+ L5 h0 O上面这个公式可能有点难以理解，不知道这个公式是怎么来的。举一个例子来说明一下：
如果以x表示学生体重，以y表示身高，以 p(x∣y)表示身高为某个特定的y时的体重为x的概率，把熵公式用到这个特殊情况得到是熵显然应当是
0 L# c2 {+ o5 ~% ?8 L5 x6 Q5 n上面得到的计算公式是针对y为一个特殊值y时求得的熵。考虑到y会出现各种可能值，如果问已知学生身高时（不特指某一身高，而是泛指身高已经知道）的体重的熵（不确定程度），它应当是把前面的公式依各种y的出现概率做加权平均，那么就可以得到上面的条件熵的公式。
4 o7 v- F1 p, G6 w3 F
- N/ D  u" I& M: R. p) v& S: ]Ⅲ.变形总结
进过上面的之后，应该对于信息量和信息熵的几个公式有了了解。然后那几个公式还可以变形为一些常用的公式。这里总结一下
首先要先介绍一下条件分布的乘法定理：
! O. E; z; \% W& V/ i

6 ~- U8 L- d2 d! p/ R然后把之前条件熵式子使用上面这个公式改写一下，可以写为：

当熵和条件熵中的概率由数据估计(特别是极大似然估计)得到的时候,所对应的熵与条件熵分别称为经验熵(empirical entropy)和经验条件熵(empirical conditional entropy)

7 Z/ R! u* `7 q' N上面的式子表明，只要你能够得到联合分布和y的分布就能够求出条件熵了。事实上，还能够更加简化成为常见的形式：
这里利用上面的公式（以离散型为例子）直接推导，有


/ Y1 N" U! K. [$ X, U证明：
8 i% A( E8 ~9 F+ w3 b0 _这个公式把复合熵、条件熵以及熵联系到一起了。它们也显示了熵的对称性。