《生日悖论》是个延续了百年的谬误！

商与儒

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《生日悖论》是个延续了百年以上的谬误

发展非线性经济学的哲学漫谈

0 N% |; h& O; V! j9 }3 r

这是我在提议发展我国非线性经济学时，用自己的非线性哲学思维审视精确科学——数学的一篇哲学漫谈，我相信诸位很容易判断我的结论是否正确。欢迎各位批评和指正！

& K! r4 i- n+ Z& K$ V+ c. l3 D( H《概率理论》是《经济学》的重要分析工具，它真的是那么科学、那么完美、那么无暇可击吗？
我们先来看个例子：
& k7 a& N+ w1 W  D  一个袋子里有9个材质、形状、重量都一样的小球，它们分成3组，分别写着1-3的数字。我们随机摸3个小球，问：摸到3个数字相同的小球和摸到3个数字都不同的小球，哪个概率大？
显然数字相同的小球只有3个组合：111，222，333；而数字都不同的小球有6个排列（123，132，213，231，312，321），所以答案一定是摸到数字都不同的3个小球的概率大。
6 n; [& M8 U% p  Q$ d) S现在我们用三种不同的颜色分别代替三个不同的数字，给这些小球上涂上红兰棕三色，每种颜色涂3个小球。我们随机摸3个小球，问：摸到3个颜色相同的小球和3个颜色都不同的小球，哪个概率大？
! ^5 d; J! |( M# B0 e  颜色相同的3个小球只有三个组合——红红红、蓝蓝蓝、棕棕棕；颜色都不同的3个小球有6种不同排列（红蓝棕、红棕蓝、蓝红棕、蓝棕红、棕红蓝、棕蓝红），所以答案一定是摸到颜色都不同的3个小球的概率大。
现在我们再在三组颜色相同的小球上分别写上123三个不同的数字：
1 2 3
  o1 E( {4 i! \0 b$ {1 2 3
1 2 3
于是，如上图所示，9个小球中，颜色相同的小球，数字一定不同；数字相同的小球，颜色一定不同。
7 F- ^! Z6 T7 a$ h3 P! G$ p我们问：随机摸3个小球，概率最小的是哪一种情况时，就形成了一个“悖论”——回答“摸到3球颜色相同的概率最小”，那么这3球的数字一定不同（这是同时发生的必然事件，概率为1），摸到3球数字不同的概率一定不是最小；回答“摸到3球数字相同的概率最小”，那么这3球的颜色一定不同，摸到3球颜色不同的概率一定不是最小。
$ n, }% K1 u/ \8 ]' S9 o  @, |概率是门严密精确的数学，怎么会得到如此矛盾的结果呢？
  K- X6 [1 _8 T" ]3 w我们来分析其中的原因：
6 r$ T* R1 I4 t如上图所示，我们先来研究一下，这里颜色和数字的互相关系。取颜色相同就是取列，颜色相同数字一定不同；取数字相同就是取行，数字相同颜色一定不同，因而颜色和数字在这里的关系是“正交”，也是等价的（转90度就互相转换了）。
从哲学角度看，两个正交的特征，本身体现了一种对立与辩证的关系。
$ @# q/ z: w1 u3 X6 R4 C数学是严格遵守形式逻辑的科学，是以形式逻辑为生命（存在前提）的，因而绝对排斥辩证逻辑。所以在同一个题目里，它只能认定同时出现的两个正交特征中的一个，而将另一个排斥。
  我们以“数字”作为标识特征来具体论证上述结论：
我们随机摸3个小球，当3个球的数字都不同时，会出现六种排列（123，132，213，231，312，321）；而3个球数字相同时，却只有三个组合 ——111，222，333 ，不是排列，为什么不排列呢？我们很清楚的知道，这里的3个1（或3个2、3个3）肯定不是同一种球（看颜色就知道，3个1其实是三种不同颜色的小球），完全可以排列，也应该排列，但实际上你就是排列了，也没有用，因为排列后产生的各个项，会因为它们的数字相同而被压缩（同类项合并），原因在于形式逻辑在这里只认数字，数字相同的小球，虽然颜色不同，但无论你如何排列，它们都只是同一个数字，所以被合并（压缩）了！
以“颜色”作为标识特征，也能得到相类似的分析结果。
" ~* i* `, l# v! J这个现象显然与计算概率的理论相悖，根据概率的计算理论，任何一种可能出现的排列或组合，就是一种可能出现的基本事件，在计算概率时，都应该被包括进去，不能因为形式逻辑“识别能力”的局限，遗漏了不该遗漏的基本事件，因为这些排列客观上是存在差异的，并不是同类项！
1 W7 W  ~; m. C
1 2 3
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7 8 9

假定我们如上图所示，给三种颜色的小球分别标上1-9的数字后，我们发现，随机摸3个小球，假定我们按小球的颜色排列组合，只能得到27个基本事件。假定我们按数字排列组合(这次不会有任何遗漏)，我们居然得到了504个基本事件！原来，“正交”特征的被排斥，不仅排斥了同色小球的排列，也排斥了不同色小球的组合！
形式逻辑排斥辩证逻辑——这就是《概率理论》在这里出现问题的根本原因！
' M6 r- n1 H* {$ Z0 M《概率理论》的问题仅仅于此吗？
: `; y# `! o, i$ G& X) [- u不是！
* _5 z5 n* E1 P, A; H& n从哲学角度看，真实世界是模拟和辨证的，是连续结构系统；形式逻辑是人造的，是离散结构，凡是严格遵守形式逻辑的科学，一定是“线性科学”，是离散结构系统，它对真实世界连续结构系统的描述只能是一种“逼近和近似”，在系统的标度、维度、精度、速度、温度……等变化时，这种描述的“误差（矛盾）”一定会显现。离散结构（线性系统）与连续结构（真实世界）之间的矛盾，本质上就是形式逻辑与辩证逻辑之间的矛盾、是数字量与模拟量之间的矛盾。用线性系统去逼近和近似的分析真实世界，矛盾是一定会显现的！
- O$ M4 {! _1 D1 U& o, m8 @还是用上面的例子，来具体看看概率理论的线性局限性：
0 K1 B% }& P" S# h9 ]3 l一、 维度变化：我们给这些小球增加一个正交的特征，就是增加了维度，上面的分析已经告诉我们，概率理论在维度增加时，就会得出自相矛盾的结论。
6 g7 V7 Q3 e! y* S二、 精度变化：我们给3色的9个小球标上1-9的数字，就是提高了对小球的识别精度。对于同样的9个三色小球，我们随机摸3球，假定要计算3球都为红色的概率，在精度没有提高时，小球只有颜色作为标识，这个概率为 1/21=4.76%。提高精度后（用数字做标识），基本事件变成了504个，这个概率变成1/84=1.19%了！按理我们不改变小球的颜色、仅仅给小球加上数字标识，是不应该改变摸到3球都为红色的概率的，但是概率理论却明明白白的算出来，两者的概率是不同的，而且差异很大（差了3倍多！）！这个结论显然与真实世界的真实情况是相悖的。
* r$ W! |& C0 p7 Q% k' }5 y3 m三、 标度的变化：我们扩大3色小球的标度——再增加9个同样3色的小球，这次用1-18的数字来标定这18个3色小球，还是随机摸3个小球，基本事件就变成了4896个，3球都为红色的概率变成5/204=2.45%。如果再增加9个同样3色的小球，用1-27的数字来标定这27个小球，还是随机摸3个小球，基本事件变成了 17550个，3球同为红色的概率变成了28/975=2.87%。《概率理论》在这里用这些不同的数字明确告诉我们，即使3种颜色的小球同比例增加，随机摸3球都为红色的概率是会变化的。可是我们如果不给这些小球标上数字的话，《概率理论》却会告诉我们，不管可供取样的小球增加多少，只要3种颜色的小球同比例增加，随机摸3球都为红色的概率是不变的，始终是1/21！——难道在颜色球上标不标数字会影响摸颜色球时发生的概率吗？显然不会！
/ P: F2 ~1 @: P* I" e所以我说，线性理论在维度、精度、标度变化时，它的误差会显现——《概率理论》是线性的，一定有它的局限性。
/ J! k( [7 B' k8 o& ~在实际运用概率理论时，人们的线性理解，也会产生错误。譬如《生日悖论》，就是一个延续了百年以上的谬误！而且至今还在继续误导全世界的下一代！
受帖子字数限制，这个帖子先到这里。
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' m3 V9 n$ ~) C1 I
4 U, Q0 s- a3 T+ y  o* ~# E7 G/ @谢谢！
3 K. q4 z, Y. z

3 }( q3 z4 P! ]: G! V6 T8 G商与儒（余季方）

songdragon

回复 2# 商与儒

3 S3 S7 Q9 ~' w( D; O% \
( R; p+ u& ]+ A    你的第一种解法，从N=3时就开始出错。生日悖论计算的是N个人中至少两个人生日相同的概率。
' x, r4 n* A; j    再看你的解法
* E: z$ H2 B- H2 r% t9 U0 f1 F    N=3，设3人为A，B，C，三个人之间有三个“任意两个人生日相同”的可能（三人及三人以上生日都相同的不是基本事件，被排除）：; A5 AB，AC，BC，因为“任意两个人生日相同”的概率为 1/365；所以三人之间发生两两生日相同的概率为3*（1/365）=3/365。
! u" [  X0 `  x0 Y' G) X+ v9 \4 J   首先，将三人及三人以上生日相同的情况排出是错误的，你所计算的概率仅为3人有两人生日相同的概率。
   其次，计算方法，并不能直接使用N=2的情况。正如后文中提到的，“一年的365个生日，就像365个席位，本身是严格排序的，它们之间不存在“两两相同”的可能（也就是不存在互相比对的需要）。我们一旦取样N个人，这N个人每个人占据的席位就是确定的，不会再变动，不是同一个席位的任何人之间，根本就不存在互相比对生日相同的必要（或者说比对生日是否相同的概率是确定的0）。”，所以在用古典概率计算时，要正确运用排列组合。
   N=3时，3人生日情况有3^N种组合，任意两人生日相同的情况有C(3,2)*365*364种，所以三人之间发生两两生日相同的概率为3*365*364/365^3=3*364/(365*365)
6 t) ~6 o; G$ F/ ]0 [  F5 i  r1 ^  e   同理，楼主之后第一种解法都应相应的修改，重新计算一下。并不是概率理论出了错，而是楼主计算错误

cylcjy009

谢谢楼主。！！！挺好的。呵呵～

kmkjwjf

N=4 ；A，B，C，D$ I1 b" [/ Z. k& g+ [
4 O% @4 @# s2 w% X$ v& pAB，AC，AD；
* T7 V4 s. W1 B- @BC，BD；6 E6 m' _: R) ~# W: N
# a# |0 l* V6 D8 iCD/ {$ H6 i& H! \4 n' D
4 J: D; @- z5 Y8 i这里有六个“任意两人生日相同”的可能，所以P=6/365；

: K! n7 M+ k; O6 B3 c" g你还要减去ABC,ABD,ACD,BCD的概率，然后加上ABCD的概率

cherry_deluxe

学习中~~~~~

mistyriverr

学习学习 呵呵 厉害

商与儒

对于你说的小球那个悖论，我有个小疑问
1.对于问题“哪种现象的概率最小”，这理解应该是一个现象，换句话说，应该是这个现象的其中一个特征。
举例说明，在你的例子里面提到了，颜色和数字，但任何随即取出现象里 ...
+ f1 B0 I6 n7 k- Yfwjun840308 发表于 2009-6-18 23:45

$ J. j9 H* g6 a5 C  u$ G$ E
谢谢先生的回帖！

" a" K5 T2 R! O; W% S) h“偷换概念”是诡辩的一种方法，指在辩论中“偷偷的、在对方不注意的时候悄悄的把其中一个概念偷换成另一个不同的概念”。我这里是很公开的说清楚，颜色和数字是正交（对立和辨证的）关系，正是这种内在的关系，使得线性的概率理论陷入困境，因为形式逻辑无法包容辨证逻辑。
: s+ g9 Z7 v+ ~# b, Y: X: m) T
" e2 B9 m/ N  R% s$ E$ Z* \限于时间和精力，我不在这里详细与先生讨论。能否麻烦先生移步《数学中国》论坛，查看或参与我在那里与几个网友的探讨？
; p: Q, ]5 F$ c2 S9 G7 q
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=6621&start=12&show=0

# r9 L! e( y9 o9 `3 ~6 V如有不便和得罪，还请先生原谅和海涵！

( I! g; l5 h8 @1 ]; X再次感谢先生的回帖！
# k5 f: c2 e% o2 w% f& |  Y* _. T) N
- {0 y* f1 x; [2 a  l3 u% g6 b商与儒（余季方）

fwjun840308

对于你说的小球那个悖论，我有个小疑问
5 N2 I5 \  j- P7 G1.对于问题“哪种现象的概率最小”，这理解应该是一个现象，换句话说，应该是这个现象的其中一个特征。
举例说明，在你的例子里面提到了，颜色和数字，但任何随即取出现象里面都包含两个特征就是，颜色和数字，但是对于概率计算来说，只能就其中的一个特征来计算，要么数字要么颜色，就是在比较的时候也是数字和数字比较，颜色和颜色比较，但是你这里确实数字和颜色比较，这里我觉得有点偷换概念的嫌疑，如果考虑一个现象的两个特征，这个计算方法应该不是和这个样的

, t& d  J9 f) q7 R6 I  以上是个人的观点，望多指教，谢谢

p31415

有意思。。。。。。。。

sea_star666

呵呵