倍立方求作探索

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（一）分割一倍体
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
先分割一倍体。
' B3 i* ^/ ~; D将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。

' g3 B2 x$ K, q1 M6 A（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
1 P* Z- R1 J4 Q先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
$ ?( M& b( q" N2 B" m8 E& b如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
! N' S  z2 a' A5 x+ T' m; d图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
& ^+ O: P8 c+ C) i图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。

按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
% ?1 K  p' Y' U& d, G% m棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
% w& o7 W4 g) A5 ~3 e; X& C0 b. w128 a3-125 a3=3a3
* v" b% i3 d+ ~3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
( }$ _% `( d$ I. F/ \- A% J/ T& i6 t下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
3 O6 |& S; _6 ]  Q方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
) A- R% Y' t* N0 Z因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
3 W! p0 r/ g* u' j6 u但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
过剩原因是长条厚度过剩。
. T. c, J! Z7 ^7 L% I（三）用自然数检验二倍体
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
先设a=1cm
2 Z: F, A, h( O- a* }/ Q由（4a+1a+0.04a）3
+ k  M6 g8 L  @7 Y0 ^0 n5 z得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
+ O# ?/ @0 H" L/ L再设a=2cm
: K7 d4 j% A: v由（4a+1a+0.04a）3
得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
2 l( N8 q+ Q7 m* e  t=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
/ a! r3 u4 o" c6 X: S6 T以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
（2）为什么要用去尾法取值？
- _0 a5 N$ |! ?; K下面讨论这类问题
% o; P* y6 Y2 L+ p5 i0 c+ P  h（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
S2= S1+  S1+  S1
6 ~% A1 y; _' z' H$ q- M上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
0 t$ S/ ^- A! s* S, ~& Z; Q) J解：由S2= S1+  S1+  S1
得：S2=4cm+1cm+0.04cm
1 ~8 R" V1 S' i; B, d& X) ]4 M     =5.04cm
其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
用去尾法取值得二倍方为128cm3
$ n! I4 q) R. r: b（2）为什么要用去尾法取值？
因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
, w) z" q4 }& F, ?4 [( K- R（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
3 @( k1 Z5 y; T) \回顾前文所述实例：
; }( |" r8 H+ b: S3 h: j; _其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
0 ^# h3 s3 f3 M1 L6 G舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
2 K9 W( n, q  v- D0 j（四）倍立方求作简化
  r' Z+ ?& c, `5 [4 E4 D0 T如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
S2=10.08m
' S" j6 o, ~$ J二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
. H" {3 c: J" ]' Z8 |# @1 W舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
2 b7 w% X+ s* r5 O7 x5 ]1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
7 |2 n2 r/ E% W( ~: E/ o2 N误差同样是十万分之19，少于万分之二
5 e% k$ N$ P! v2 i如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
5 t% L2 A4 E3 S% ~# i. v  f利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
（五）说明：
3 P4 G9 ]2 H( ^当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
( d9 B5 O+ x& q9 E3 \8 `例：已知一倍体S1=16cm
由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
过剩1cm3。
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
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                                袁锡煌
2012年7月31日定稿
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