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TA的每日心情 | 慵懒 2020-7-12 09:52 |
|---|
签到天数: 116 天 [LV.6]常住居民II 管理员
 群组: 2018教师培训(呼和浩 群组: 2017-05-04 量化投资实 群组: 2017“草原杯”夏令营 群组: 2018美赛冲刺培训 群组: 2017 田老师国赛冲刺课 |
应用场景1 Q( G; ^0 o) ]0 O% k3 l: s
# A( i/ p8 i% G6 K
简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。( A! [( M2 e9 Q6 h e
P.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
. m9 ^: @1 i4 P2 B \" {" a7 h" P
具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:
5 ^1 e& p8 C4 _' d2 X% w
' r* t# J& f0 x5 }5 B建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx
) P+ F1 t# @5 ^1+ o% f5 g% ?) q
6 a3 \7 O' l& W8 s
,x
+ x; s. I6 h' W: L2
5 H" t6 t$ u" f# y " Z+ a. e7 _+ j# `
,...,x ; P b# @4 I7 t5 t6 y# o B
m% H" H9 L, T+ y' r1 m
& J& Y( J3 u, A* \2 ?( o z
之间的回归模型(经验公式);. @: d. U" G; O
对回归模型的可信度进行检验;
' i1 x2 y. P" J, \2 b判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x {' b% l7 q' k5 q2 }5 ^- I5 d
i
: n" D2 r7 R3 f! }4 \
$ Z$ U% `+ e5 h2 P; K (i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;( H' U x2 i$ @ s& ?/ v2 K
诊断回归模型是否适合这组数据;
0 d8 U' O* O4 ~0 x3 A! G利用回归模型对y yy进行预报或控制。
; ^9 A: s/ g$ x2 d1. 建立回归模型
: l0 V; o1 f: v( F L; Q/ n0 q' k" T2 k& a1 ~; i3 d* X
1.1 筛选变量
: T1 x& M9 J: g( |# q* I
, [! q9 A' i1 Y. P1.1.1 确定样本空间% T2 |6 U: E8 q& c6 ?' Y
; ?% @8 u/ [+ E9 N
m mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点,* m& N2 @( U2 P. x
(xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n
& G- L/ f( K* b0 q+ `(x 8 i2 ?2 d8 S6 W; Z
i1/ Q) f# c$ l! S) ^* U# h
. }9 E& m% ~5 \9 K! l, _ ,x
$ J9 t! g7 ^8 l& ~, U+ M- Mi2% C3 v( v' b- X1 Y+ V# W" p- O8 n
2 ~6 G2 ]0 o6 X$ p0 l
,...,x + b2 }: S4 |" v7 ^# r
im
; F/ u1 M3 ? n7 F4 P
7 p! [7 j N: Y9 b2 I ),i=1,2,...,n7 f" @' q# r" a q$ |% Z6 c9 Q: t
( l7 Q, t, f1 A# f$ B% P
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
+ p1 L5 p% S( Q. _8 n v) |$ n! W( B( b( o2 N) A6 A. K
1.1.2 对数据进行标准化处理& m, H* ^4 E$ D6 i7 s' {
' V7 H6 [/ X+ I4 ?7 Q
(1)数据的中心化处理
# ^' a6 L7 f& J1 Q实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx E' i% B3 \, d5 }: U) t1 H
ij
6 f3 v0 j; a" T3 @8 Y/ S# Q∗7 A9 i* S) x/ }, _; W! v* @+ j' [
; m; L. h1 U/ O1 P6 g
=x ; M/ j# b8 H- Y0 N+ b* n( _/ F
ij
$ i$ H, g) U8 @7 \! u* }
) b+ M8 [7 |+ m − - Z2 T* n8 H; Y3 ]1 k6 g
x
+ s8 h3 v# s- {2 ^j
5 @8 S/ k) j v4 O8 A k2 c
2 g# q& Q, e- k
6 o3 u* J. ]0 l* ?0 Y g
8 t2 _% u: [1 p% v$ d: m+ q, f ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
" K" h5 j! v7 l# g3 }+ H- t# W3 O9 k2 b4 u, J; o- [
这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。# {* j3 i' P" Y! S
(2)数据的无量纲化处理
' L, C- f9 Y: @* u) O在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。. M6 G* Q6 [/ x0 G, u- W
为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
6 k, l& k# Y, h即,
, x$ `% ]6 A7 D$ s$ K, Z3 y1 k9 Mx∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}
& r$ l2 W* b- j4 E {' W- Ox
0 \9 n0 @* j, w% m; q Nij/ t. e; c$ a6 C6 |9 \
∗
: g! ^. M; \) [ x! X# S6 J
`8 u; R) r, e7 w7 e$ m# e =x 1 M! m3 _. e! {* J( Y$ E
ij
& O- T a* j2 K6 s ' ]" L& l+ n) I+ F% R
/s ! T" G% ^1 y* V$ D' c% `, h1 p
j+ S9 X9 o/ t; k( U. q6 m) U* e
0 u. k2 e: G/ L# M; W9 S
,其中,s
0 c# s6 m4 v( m8 ^+ M. I5 D' [5 ij
: v2 j2 N. i# S k/ {7 D$ X / F/ c% ?" J/ v% P+ _$ V ~
= ) W2 [1 `# t m' |4 D+ c% N$ j' V
n−17 k4 ?! o2 }7 N1 V) K
1
3 J4 V% m; d9 V* X6 J) w+ W
0 Q2 X2 j( f' n3 z7 u$ l, G; x
9 j) g( n9 c9 R. H7 e# E; L n; Zi=1& I8 G& d7 p/ i
∑
6 H9 I) f4 @& a5 A+ Vn- R5 a6 u2 o- w8 W/ D" z5 t
. b& k) w. J% I) l7 m5 A (x " x9 M6 ^# }$ b
ij
$ ^( X! w, q$ C/ [0 ~& U
( F- T2 |2 m4 g' ~3 A: ? − $ Z5 M4 {6 J% Z
x
; Y2 B# ^- P) k! C+ O( B5 o1 v Cj h9 |( V( K% L4 m$ h
# \3 C" U# q) h# u8 m
% }7 `6 l( r& E& R% i5 \ 1 @6 X& b7 G$ h
) # Q! F: o- T3 }- J
2& \0 I- W7 V' f6 i, ~
; ~7 S8 q( Q3 V1 O4 z) r2 u
0 e4 {' m- z* z' A+ v
# {% y1 k" t- l2 I9 l% o% p
, D* X) u3 D S1 k* c" ], f
当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。2 a+ L. n/ N8 R1 n
(3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
% G4 I9 U1 c: b3 T; o0 M: |即,
/ c; V3 h/ g& Tx∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m% B8 G/ o, a7 ?/ }; T
x ( v1 R$ w) P9 L) {
ij2 A; d+ I B5 B: r# s1 L0 z/ S
∗
8 |: n+ l8 z5 b* G S
) O s$ r' X0 Y& P3 t* @: g* { −
# K5 i2 N- ?9 b: K, e0 ^s
8 H6 G' M; b% z4 p2 `: V% mj; }% o. z! Z- Z" g1 o7 E
/ y9 ]$ i. D7 a; ^1 h" S1 }$ _( c2 Z P/ v$ j' I6 z2 c3 c+ j- u
x
9 K5 L3 m j/ ^7 L' Uij/ U) P' S5 w# Q Z. Z7 J
' W1 ]; O( I+ x R) W; Y5 N) R* C$ V' F
−
% c: c; H% I2 Y/ qx
) a U8 x$ y6 ^4 Bj
6 o$ |2 i: y- }9 J7 Z$ j$ |1 W! k
" T# G' g! U8 f( I, G
# W, }6 {9 W [7 [4 p; @
1 z3 U% }. j2 l- @' Q% a% q9 j& I7 c( N: ^
! q3 a) d! W: p7 o3 W ,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
/ f2 V5 \- t3 H' U6 ?' t( v, b; z
1.1.3 变量筛选& Y; Z0 q* u8 o) |. k. P) M( Y- }
' D0 a9 n0 V7 k! D+ ]9 Z
——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
* }; p9 ]7 @( r$ h- ?# c. h% y; M: {$ w8 \( p6 N
一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量
. c( ?% I" [/ j2 c2 |一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少' F3 s6 z! [% w# Q' j
(1)穷举法
5 X+ d. _6 \( X4 S7 Q列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。
. T- q2 z6 B& E# b, c& L) c+ `假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2 e- ?9 V- D K: L; w
m
. v7 {3 c+ q/ b r( h+ R2 T6 K; @
3 J5 E' r/ K2 b4 g, ^" J; J ——当m mm较大时不现实
: P8 D5 K2 h* n" d) V- L4 a4 T2 |- t( P- l, T1 T% N H
(2)向前选择变量法
8 _7 y y& x& Y! H" E9 h# x6 o; Y, |& X+ }6 q' a- y
初始:模型中没有任何解释变量
; g+ a" ]; [: f, O分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型+ e* A9 q' ]0 l1 [8 a& L% ]. \
对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量
4 y. }8 K1 ?# N! b6 u/ F6 {: C2 e对剩下的变量分别进行偏F检验
2 c7 ?6 l3 Y; {: e4 o至少有一个xi通过了偏F检验?
4 T. x9 i5 s3 a, b1 H在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量* |3 q* u! ?8 |* K* t; q# `0 x
结束
, D, h. d3 @4 E) h; Y0 yyes* T) Y7 o9 Q# D r
no
+ e. z: X4 |8 y# f缺点:
1 r1 Q s7 z, f/ }- N/ q! B# f& Z" M一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。
* |0 W5 q! M: ]
% u2 g# I( D4 Q X) f, U$ o0 `(3)向后删除变量法" ]; C0 d. J8 h) ~
5 e8 u4 Y6 o9 ] Y! a4 K- }
初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)# y; |3 x) ^& {4 v' ]9 a
分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型)
7 @) V; ^8 Q) Y) d3 W/ a所有的变量都通过了偏F检验?+ s* F- Q8 a! V
选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除% }; m7 h) { n6 h C+ j2 [$ D: m
结束
X; i. b0 X8 R& eyes' G+ t7 n( G% ^; f$ ]4 g
no
& x- [% s- @# p- I缺点:
4 p6 Z" u) I* S1 A3 w4 E一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。6 B; l0 D8 z- C; {; Z) j
7 g. N& v L4 V# y
(4)逐步回归法——最常用
* t. T: w* p2 l( ?( u2 ~" P% E% o/ j8 \0 X& S# B) P" t
综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:
, @/ C) o( ]! `; ^- C3 B
: t5 A; b; ?0 \/ \对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型
6 T2 V3 u) o6 ^5 ~5 a+ M对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除
' B- k S) m! ^具体流程见书,此处不再赘述。0 l3 E I) K. D g/ f) P
& G9 |' x; z' B' r
另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F . o3 M0 P6 A: j8 T
进$ M F1 _+ z+ ]* E1 ~8 ]5 u- W0 o. m
* Y& j% p3 i$ q# G, W. n >F
$ ^; |: S1 F+ O4 S: ^出" o4 R+ G; {4 q5 t" p5 M6 p0 i
! R1 [) T2 s& f$ ?( I; l3 r
,式中,F进 F_进F
' W/ z2 O- C5 T: i' c9 ]进8 g, p( u/ C8 N( A. M' {
* s- z& r9 b5 j9 J3 j
为选入变量时的临界值,F出 F_出F 7 k9 e( B. U5 [- x7 u
出, [9 B; c9 \1 M4 ]6 i5 w
2 m2 F, x" Q7 V5 C+ @0 u4 v
未删除变量时的临界值。9 R3 D, }6 ]. k, x* V& z
. I1 v/ j6 z" `7 ^- J8 v0 N
在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F ) B3 g7 c! t- p& S' c
进
/ `4 Z( l% w' G+ R" q
- _* n- ]4 d# u1 G; ?1 M 和F出 F_出F * m2 n( n0 o6 c7 n. p8 N- i+ q
出( A9 X) n* `8 k9 f- X
8 [' Y `: a8 H" K" I8 ^2 X* U 的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α
% [0 R2 _, D/ Y8 y& }1 @进 o# q8 ?8 T+ {5 J& y1 J' p {; O2 j
4 ^0 {! U' a; v( r' W =0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α
+ L3 `- K, X% M/ e1 k出
1 F ^: o% |+ `3 Z6 R$ u
8 L# R* }5 ^+ q0 X =0.13 c% Y i) v! A1 ?& f
. x6 e3 t. m8 s
1.1.4 调整复判定系数
* K& e/ V+ \/ H
3 e+ @5 `( T! y( F" I4 v! A# q——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R
1 L8 P0 o: j1 e* s3 p3 e" \24 E3 }( K2 J" ~- c: p6 N& z0 Y
和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
9 H- \! q7 q9 ^; q( i. U' KR/ U) {- H- z2 r: `
4 t# J* v1 n3 }9 H7 e7 {0 y
2
! i0 e A4 o S& } ,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】
/ B) X7 K. o% y( N& U1 M' w% ]) a9 g
/ H: n, z, o* H6 G/ g) m/ A统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R
" n) B6 V0 I4 E& I* z1 R3 b2
# }8 d$ K; I0 a, A 的提高。
. ~( E9 W& h/ x7 a8 f- S当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df 1 E0 j) G/ O7 L" f& ]- E
E l; `- S2 z3 _0 [, ]8 \7 ?9 u/ \, S
$ e7 b/ W# F3 F
=n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数:) L' ]0 T, k5 R* d4 D2 l W
4 y2 m3 |& ?- s2 y- n. B9 U
Rˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}% h0 c `0 w: Y0 Q N( x1 G# I
R
, y1 W( ]3 K: G5 F$ c# c- q; k
4 x/ R; m5 q7 `2& n, Y& S3 Q1 l& v0 f
=1− 2 A M$ T7 w9 P
SST/(n−1)4 b- a# @" k% ^6 z2 i( H
Q/(n−m−1)
5 H6 E1 U: X7 N7 | G+ T7 X) d8 ~. \# U7 c , ~0 Z0 E+ Y8 H" _
! F( _. m+ q0 Z, C2 q
. u+ U. e' b9 h7 W6 L- g此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 2 R+ F" @5 q/ K+ X
R$ D( Z& s: R# U2 X. o
. u S9 [+ x M2 K2 m- o; q26 i" W* C. R4 I! v" o" ?; c% `
还可以用于判断是否可以再增加新的变量:- O1 y: Y. v8 T7 m$ ?8 S
若增加一个变量,
: S9 D- p9 p+ z" {
$ ^8 ~! b8 T+ A9 W( L) X9 iRˉˉˉ2 \overline{R}^2
$ P; c* G8 k; D6 UR
) i# ^" n; Y: Z1 \9 f4 F ?+ H& z8 @* U
2( M6 j, A, i$ I7 R
明显增加,,可考虑增加此变量
: v& D, h: |1 kRˉˉˉ2 \overline{R}^2
d: O' e% X6 a% q& _R: X7 m' u4 H% N$ Z w$ a# {# v
# [6 u0 w% z0 u" P2
1 Y+ G# u. D9 q" F7 a! m8 D9 y 无明显变化,不必增加此变量. |# B# X3 K+ r' \8 e- N1 d
1.2 最小二乘估计( E( Z5 V1 z3 }# s; y" ]
" z# T" V4 Z' f" B+ N6 R/ A" j
一元线性回归、多元线性回归——略。! D+ v- V H1 n7 _+ l: A3 l3 i
9 @, w" O) c2 G4 q& a! R* r7 Y: T
2. 回归模型假设检验
) [0 d3 _& Z/ i9 {. K, L" k
' q+ d9 T/ o* u/ b——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
; @3 N9 P/ t$ w4 j& D/ D3 ~# }0 O, A
; P: H! t$ m" k1 T具体检验方法见书,此处不再赘述。
1 B' c" O9 O7 @ G8 o
* u4 I2 M, v9 Y0 z. D3. 回归参数假设检验和区间估计
4 m L' O: u! a$ N, Q, m3 t6 v* T$ j8 N0 t% r( j0 {
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)' I1 x8 }- N3 E9 M! L, C; K* b
. B2 O g1 u# m9 }$ Z$ S0 H具体检验方法见书,此处不再赘述。
) M- b- \+ i; k6 H, c0 n8 H
* j H' {0 q( R3 h9 [4. 拟合效果分析 |% D: o/ g* `$ R- Y2 w4 u" L
4 F8 ?+ s3 a) y! d# M9 K( ]4.1 残差的样本方差(MSE)" w, R; }4 p: Y" Y$ @/ n1 e
( _/ L9 u, a+ A# ?3 I8 o
MSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^24 O8 U7 Y9 V5 {4 v, N4 k& g6 o
MSE=
0 `8 f. B! b. a% }0 ln−27 ^6 S9 F% U0 M
1% L9 W3 W! P1 {3 M
# I. Z/ Q3 {( ^6 W. e
& I2 K' M5 J3 K" `i=1
( v1 @! Q0 x- ]( X8 l∑
a& d7 |, z0 H( I6 In+ Z( m+ M" R6 C6 B
0 ^) }1 Y H L3 ?5 _8 R (e - ]. u2 V5 N$ s/ v, r) G7 O
i i# @, j; W+ P' B
5 I1 n7 E% k! |$ T. I8 F
−
# L% C# _3 |# ]% W; R! f: I" ce
/ @- F( _1 l" A i3 s3 @ ) 8 M8 L) O; k4 _# V8 `* I: L( `
2+ a+ y/ t ]9 k: \# S4 ~8 @) c& Y9 b
; g, w6 s0 a% A9 s6 R+ I {" a" T
0 O' |" \- I9 N) Y5 i( ?, N
可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0 , K- G2 f5 K( J: ?; z4 l9 U' [" z
e
6 @4 ]% }. |8 y; A% W4 H6 L =0* Y( h! ]0 j4 v
记,
3 H; f: E9 ]$ a ISe=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}
( x k3 o# }. t6 a2 c, l3 D3 ]S
" C: a* D1 o% X* a# |" n7 A& ~e
8 |* |' Y" b. \/ `# y* N 9 t6 t! {& R' | C9 h
= : s' t# N$ M- W, L0 t3 P
MSE
1 \1 R, o: Z C/ Q9 ~ * K }/ ?) t2 E ^( e& E- I* p
=
' [9 [4 U$ W9 F4 l Q: Fn−2
3 `# \ P/ D* h1 q7 y2 }1: e) c) a( i- r
( r. h6 R# a; A% Q
4 | J& E% p I! }i=1
, D0 ~* a# a* D( J# h∑
9 m% E4 t" M/ I" [3 o
; e! d3 Y. J- e5 r) I ne
( @. t* S+ C, o' w7 Ti
2 Y9 C# w$ B( M. P1 t + e3 E, ?1 {# K# E
7 H# f/ D x% x3 Q2" @/ S% ?+ A, k
* u2 ^6 E6 I2 W& Q& M/ q6 t
+ v, q. R$ l; Y, }
" D( N6 c7 Y* w- P9 X1 q" k
$ k4 k/ h7 x! USe S_eS $ Z# Z1 \2 y% m% t* X% g6 v
e
7 q* \* ?/ z" v( v 3 s3 k! }7 b* p( \( j9 r+ ?
越小,拟合效果越好
0 J; a! s! t3 X" M7 H8 O) U" r- n( o. m" p: o4 q
4.2 判定系数(拟合优度)
: l% Q$ \' u B1 a) L$ i8 }' V. O7 K4 Y" V
——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R
( B9 {) R1 X2 ?6 H T, P2 u2
8 ~/ D2 @3 a; k9 | ]& W+ Z/ n! i 表示, w# I) m q3 S: Z: o# C
R2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
/ d: E0 K& @1 [- N. a1 uR 4 B% V! z" h2 G S) ~: w$ X9 i
2
$ z L& X9 \6 t3 a; z: i! x$ P6 \ = $ F- `+ ?5 o# `- h
SST
) ~" E, ?/ i2 |1 D k8 O# Z. YSSR! t, y. K4 F' a- w6 j! ]6 `5 `
3 H- o. t2 C. a; }( ^. _ =1− " {! I! f& ~8 @3 X, u, s* \& Y- r
SST
0 E* z& c$ E4 aSSE1 x h8 ]9 Z$ J, c7 K" x
( j# a/ Z5 ~5 x9 ^& B
. J4 g" q6 T5 W. R. I: y5 s
& A/ P! U' M5 p) O( s& Y其中,
% R% l b: N$ K0 i# V' FSST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-1
9 Q7 |: i0 k1 _, NSST=
. `1 Q! z$ F6 ~9 mi=1
9 C; C8 q/ q5 y9 C( D! K∑
( a0 Q- F0 a$ k) G( X! P5 }n% Z; \; N: h& ]. j* c/ `
) D/ M. }: j$ S5 F9 D (y
4 c9 d) [5 l2 q" K+ d! n- ] xi* e" Q" k+ ]1 t
/ }& R# _/ U" a6 G/ \! ? −
8 H5 ?2 ^% e j! l* X1 d. }y6 G+ e% K! N: R& k4 D+ D
( Z6 m6 I2 P0 A6 F
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1 \$ P* d3 c W9 M) V$ j2
% }0 Q0 E; r( A/ X( w n ,原始数据y % ~' E- q0 v$ y. B. L4 v$ B' M
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, i# f) j, C, `* k9 o+ U. m
- V' U" V( S# _6 I0 l: t% r" P 的总变异平方和,df % a4 h u1 d- ~
T! T$ V* j, C) [9 x( u$ b1 x' [
0 e% O3 X/ M- z5 a+ h, z% v =n−11 I0 o( f+ S1 Z+ g$ l1 [
. j9 d0 s; j, n* `& h7 }
SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 1
0 f: c* o; M/ ~# x% `SSR= " U# I `% X2 l" G& E- n
i=1
, p3 u" p" ]6 F/ z& F∑
( F, C B4 ~2 L9 A# `# g( H' _n# @, V8 K( p: y: ^2 d1 ~. V
6 F! r, \: o0 C8 \2 K9 ` ( * i- h4 |5 G& P: O: k: g1 W
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9 |/ g# l4 K: {
+ X l$ W( |5 A0 @; K# T# o5 g: k
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- J% C; z# g2 @/ M
6 P p" V, Z$ W j& d" c* Z0 U −
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' E% R4 q' K; z" n; _5 H+ _ ) % t9 w# J$ B! Z5 G! y! P, h
2
3 v4 @- R w7 f$ S+ ^; L# r ,用拟合直线可解释的变异平方和,df * e1 u" k( f9 {- n
R8 I: W9 \: H# ~' g; o# c3 O- I2 f
" r( ]* Y5 j) t
=1. \6 s! m! B, j+ p
6 R! C5 \" F) S3 y1 G0 _0 L
SSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-2
1 O \( R, h# R/ V7 oSSE=
% m! _$ a* Y9 ~+ b4 C1 @" ii=1
, j( ?3 @: r0 ], Y% b% R∑9 l* B' f1 ]# Z2 S
n/ E8 @0 M6 e5 E( z( ~6 _ \: G |- i
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(y , H% b. v& c! C A0 d# _' u: T
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y - X; o p' B& j
i5 M# ~( V- d6 R6 U
+ j% |" u" _, G8 V9 s
2 C- L5 Q; N9 X& c/ B% e3 g^6 `0 V( q p* `7 L0 O9 \; P* e
0 `1 I' ^, t [6 A% b" f# y )
/ P' V8 B, }2 t% X# e L( v2) ~: q7 _8 H& P/ u& l
,残差平方和,df ! D+ z X+ I( Q2 e
E* J. H" n+ `' j6 |
" @7 z* g2 D* j* ] =n−2) D |1 r7 V9 H$ |& O% u
; b. r% S# J6 I% E ]$ b: s
SST=SSR+SSE SST = SSR + SSE
) X9 C n9 w) m, Y' k. jSST=SSR+SSE
7 \. y1 u2 e: T0 u/ {$ m' a- Y" c5 q# f$ m' n: E E
R2 R^2R 4 i/ U1 ]& D; L- C) y5 n! k
2- t. A# B, v' Q* m Z- q/ e
越接近1,拟合点与原数据越吻合
! u/ _' O" U6 `
/ b5 E& Q; e6 H! S另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2}
; V4 L, G$ `, |2 GR 5 O+ b+ ~4 B9 y
2
& s4 k S" i4 u/ d
. O; V& \+ W) h5 G A7 M; p* U# i3 ^
等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1} 3 V" W. s0 S0 l8 I9 {
β
# v0 h0 Q% ]( N8 g+ P$ U- q) }1
% R0 }8 a. I! h% i9 k3 {. z+ U0 ^4 l
P+ b' ]; _1 c* }' H9 U( o( c7 [" @* H6 L( |2 O. d
^
5 r+ l5 b, ~+ g& t6 K8 [
3 g' z1 i; H, u5 c( f; B 的符号相同' b, W; U, j O1 p7 E/ _* _
4 P" m4 T; D; o6 g. N8 Q }+ _0 h
5. 利用回归模型进行预测
4 G3 j; V& t! S' y! j) R5 J8 M i7 e- r6 h
: b' h. x' P4 t- J1 h2 L
" U( z! i: b' E7 {3 y2 g其他2 W9 X2 o% _# Y1 T% \
' Z" S, V# V f( I* _, P9 }
偏相关系数(净相关系数)+ c: m: |: v4 n: P
7 F& v: H, a/ I. ^, n$ S: P
在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。
3 B1 n/ u, i4 y/ l' q- K8 a% C5 y9 o8 P% \3 P, M
复共线性和有偏估计方法8 z# U# B% [( ^( v3 I% c1 i
7 [) }/ w2 [; `% ^, ^; r8 `( | N4 j
在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)/ z( \) V0 h; t9 s W9 v
1 R+ x. O5 P+ G解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性& B! S0 |* x0 K: g
例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。
. G7 P& X0 g% k2 S(P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)
) P {1 J8 w5 A. o
- ]# [ ~1 R9 G# n. H1 o. \, ^再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性
/ j6 V3 e6 J, d: n2 u5 p, \. m$ c# x
小结. C$ i6 _7 d- U2 ]; }1 ]
% R4 X5 L1 {+ Q# A4 C8 [1 ]采用回归模型进行建模的可取步骤如下:
& i. R t7 ~5 q& U& [' R) o+ y$ e# d& _* n
建立回归模型4 \( L7 a, M/ t! G) t# k. ]5 Q
确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量8 a6 R" W0 V- H0 h& ^! J+ ^
————————————————( p, T) a8 L, F
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, y7 S' N5 n6 U% B- X
$ ?0 A; [! }5 M7 u) r7 {0 Q |
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