- 在线时间
- 661 小时
- 最后登录
- 2023-8-1
- 注册时间
- 2017-5-2
- 听众数
- 32
- 收听数
- 1
- 能力
- 10 分
- 体力
- 55507 点
- 威望
- 51 点
- 阅读权限
- 255
- 积分
- 17604
- 相册
- 0
- 日志
- 0
- 记录
- 0
- 帖子
- 447
- 主题
- 326
- 精华
- 1
- 分享
- 0
- 好友
- 79
TA的每日心情 | 慵懒 2020-7-12 09:52 |
---|
签到天数: 116 天 [LV.6]常住居民II 管理员
 群组: 2018教师培训(呼和浩 群组: 2017-05-04 量化投资实 群组: 2017“草原杯”夏令营 群组: 2018美赛冲刺培训 群组: 2017 田老师国赛冲刺课 |
应用场景
& z$ w6 D) d ^: K1 z, l
7 U' q$ e8 }' V/ K% y+ v简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
/ i6 d/ t% t. t+ R/ F: l' ^& O. QP.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
1 {% A, _; h# g, t8 Z$ ?2 V& @6 E4 [& u/ H4 J
具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:
! x) |3 k$ { C5 U5 Q c6 R7 o! x0 Y# |, _9 u9 R
建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx 3 c, r" l( {+ g
1
9 C# [6 {6 u0 v: t( E- {1 U
) v# V [* M$ l$ x2 t ,x . W: a& i( C, w" M+ n# J2 z5 ^
20 f1 S" M& l' q/ _% S! ^
2 @0 X7 ?$ U& [; P/ b ,...,x " \1 B" ~6 w: U$ L. S7 L
m5 N) u& o8 Q* g s6 t
, s' s: j4 _5 q/ M( M& p
之间的回归模型(经验公式);# A7 g. I* ] m. H. \8 [
对回归模型的可信度进行检验;" Y, I. {% e/ i7 K0 C
判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x
1 G% [% ?+ o Z' u# g3 w, Ti
3 I) s( b' i& q% a q* ] 2 V! L7 X e" `& ~; i, U
(i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;
# z ~! y% P; t. W. x5 E诊断回归模型是否适合这组数据;- R2 p! T4 }0 W6 u
利用回归模型对y yy进行预报或控制。
& G! M: U9 D' i2 Z9 g7 \1. 建立回归模型
8 b! `! v1 ~$ n' p3 {( J2 q6 n5 l9 _: J4 R, v( A: z5 t. R' Y
1.1 筛选变量4 _, M2 w6 x. h7 S/ L. }. R
" d6 Y2 T* y, c- r" t1.1.1 确定样本空间3 Z' J0 l, i7 a) E! E
; W( }3 M, k+ ?m mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点, W# f# s, r6 G2 L8 d& ?+ U0 {
(xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n! a e* s3 y' V4 v1 k1 _, J
(x
0 P7 H9 N/ X; m7 t0 @: Ii1
* U8 j# R g; t4 `% i' J4 p
+ R) ?9 a- M) D3 ]' |! S1 F' F" e ,x
- B( U% k. d) H4 h% p; {' g4 Si2
/ }( b# V3 v+ e, p
% ]) N* F3 o' y. |+ [ ,...,x
' ^3 V/ @4 d0 ^, c, N% o% j7 G" ]im
9 a' K% W! J, j4 t% O) x- l # W/ v6 S- k' \3 T3 W# u# O
),i=1,2,...,n
: t1 o8 r/ S/ C$ S* v
) I! o& @4 L* ` d8 T所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。; a1 i; G2 k, P6 b
, f5 K9 z& I% u, @( x
1.1.2 对数据进行标准化处理+ |' x' z1 }6 {5 J* o7 N m2 F' h3 f! e
" ^: s9 V" ^& z. R(1)数据的中心化处理8 S6 \( U$ l( D9 [
实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx
/ a- s3 t; b) x6 A9 nij
" p% T2 z7 O @! f( K) W$ p∗6 r; I$ i- w; U1 U* ]3 ]
/ S( L6 D+ ?" ~$ D* t1 n =x
# U8 w9 m# x+ Aij: W6 c* w8 h7 A
+ z1 y! e% }$ D0 B6 X
− 9 `8 Q P" }' b+ U4 s; s T* ?
x
2 Z2 n! B- f4 q( n) f) q& e) oj* \: _" h, E& }2 A. J; ~. t
8 o1 c4 `. R6 l* }) U% h, ]
2 I7 M2 w, p3 g2 b+ @' F! h
9 T+ p. Z, b' p) a3 W: c' H ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
9 L, K+ a8 C& y% V$ P# u
, O4 E5 X `( l+ Y4 V% x# V$ w1 m这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。( p _# P3 U# e( \6 g; r8 L
(2)数据的无量纲化处理3 y( V1 w# V. E% d! F% b
在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。, d+ ?4 r! Z" y: c
为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
, ] G4 f/ r% |9 l. j即," A/ Q' Z- h6 h s, d) }4 E7 n
x∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}
/ L& o; t. ^' N* [2 c, c" yx
% R8 @: n! m! iij. ?8 j- F9 i( `1 b
∗$ X3 h8 F7 z3 H
# t6 y8 Z5 W. V =x ) i. S) f5 q8 l+ z8 X8 Y
ij' M' X( Z S3 U. t
/ b0 A/ v/ N. i! J L
/s . o- f: g1 n1 U& u# w9 G x& Z
j0 x! a" V9 z4 G; k" g( R; Y
5 {( u2 N# n, l3 T0 x7 a
,其中,s
- I4 f" T# f8 K& W0 }+ ?; y9 p7 _j
1 T. ~5 X0 l* K2 B/ I6 r
" g0 @+ V' D$ k' | = * n- i8 |; X0 |% w
n−1& G6 N. }5 @* u6 a8 L) J
15 h( X `- O$ D
# c. _$ m0 O; O5 U- l6 C( f2 |9 m5 E/ R8 { V+ v9 V
i=1
, Q8 |4 P1 O" D7 J: F7 i! H2 S& V9 q∑
7 {% |- s$ f5 v9 o6 F/ D Zn. N' c/ k& p0 q/ I$ s X4 E
. O. F8 ~4 {: A9 q (x % C+ h6 W5 J) |; Z+ E! `; M
ij
. H ^9 b$ H& g
* Y; P6 ]- j5 b" c7 I5 L: Y − 3 P% K- Q; Q) Q7 X; x# D
x
! N! y( g$ s0 y wj9 ]9 g- C% E# |8 ^2 U' W; `: j
. H# b. G/ y6 s, D$ z4 K8 f4 D" R1 A+ `) W4 g; O
' @# ~) c) |7 U, T5 e
)
/ K1 ^& T% H5 S* M0 N2
8 L9 _) Y) B# E8 }& q5 ?) e
! Y9 T) Z; C7 Q( B( w/ s( O; O
. }9 [7 ~% V+ P. p8 o$ o9 F* [" T; I$ Q j1 k. K5 {3 b
9 }5 K) [1 X0 J7 f
当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。( k% s" W! K0 N. y
(3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理2 z7 |! b5 Q( E# o5 k3 o
即,* U {1 r# F$ M' y. j& F8 w0 Z
x∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m$ a" k" t0 O1 H7 b5 n2 H* R
x
& d7 G/ ]6 a8 z! n' Z# eij
) _9 p u" x5 q. c∗
7 }9 P; P* y; f4 `; K
, l8 K, F E+ \* _' L& X − $ s$ |* H3 `' W+ U
s
- l) g* e E6 v8 qj
* c6 Q' S: N, N5 o# {6 q7 Q9 S . D' g3 w) S8 R$ K$ K# C
, g9 Y# P2 g$ `' l' h
x
+ K9 ~, l$ p1 |. j, t2 _ij
- n- L+ v$ _: C$ I; P2 B ) s; ], S* S0 D% ~1 h
− 0 j4 B9 d8 u0 @5 o5 D7 p$ R" Y
x
$ X. K. f4 D# L: Z4 p' r7 I2 jj
1 |/ \$ K) d, |0 n4 \6 e$ v; ^ 1 _- x! ~5 n# z( I
# Z7 f5 N5 W8 V. v
& I0 ?% w4 O# K7 [; `4 |, D, ^+ M) w
7 [5 u: A/ {5 E, V% f ,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
T V, |2 L1 b" b7 o$ r3 D# p6 L
1.1.3 变量筛选
- Q( x' z8 M" p! W
7 S; l5 |8 A7 f& P——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
6 s" \. S. w* P" ]1 n( n3 l8 ?8 J6 p/ j2 \3 }: ?: E! u
一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量2 [" O2 c* D( P2 e3 _$ o
一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少
! i7 C! v" N) ^- [(1)穷举法
: L; x, |$ J: ~列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。/ d: k: t9 S: J/ s+ ?! ]& S
假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2 1 W0 f7 e) ]0 [7 ~5 @) y7 B4 e/ K
m8 ?2 T+ w, ]5 m0 }8 U
8 v) Q$ i* O$ I6 y ——当m mm较大时不现实) w8 {$ Z5 Y4 ]3 @# y6 y6 Q
3 b& I- h0 z0 K0 z" L
(2)向前选择变量法0 r# q( L; R0 i+ w& x/ ]; o
6 R" H }# n, x6 Y4 g8 X7 r初始:模型中没有任何解释变量
/ R3 {) I, _9 V. o- f% @4 G# v, L分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型0 t. `; k- A- E- @9 T$ m
对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量
- c! f. e% {- i- l对剩下的变量分别进行偏F检验" m% g! s! d# m# q
至少有一个xi通过了偏F检验?/ @' D$ {8 j6 K4 Y% E4 b C
在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量
; _7 z+ t) r3 T结束
e" X5 P+ e t+ oyes
; D6 T& x: I+ p* p/ uno
9 J: ~1 e9 w; x% V& u% Q* t缺点:
! s) ^9 B% o( J8 a* Y0 ]一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。
9 K6 ~; B' F: d7 \9 V6 b# F1 P
" Q2 e" F+ G' W+ y; h: L0 I% E(3)向后删除变量法
/ ~4 O* d, z$ V# f1 w& Z1 k9 O Q
初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)
5 C" {1 `- P$ y/ D1 v% Y分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型), O+ P7 K: O; d) M0 U
所有的变量都通过了偏F检验?, S. M3 ^9 {$ Z* S
选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除3 G, w9 s' y* b L k% f$ I
结束9 n! @6 Q1 P# o3 s
yes
; _9 s! T3 z6 S5 m: x3 Ono
$ | z2 x8 z8 v缺点:
1 O% X% T# ~4 O/ X+ R一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。7 Y$ j/ v' l* _ U- R
# j2 G/ |4 a B, W: l(4)逐步回归法——最常用
. f% I8 h0 a" A; ~% @" I9 v6 R0 s8 `# O. e
综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:( E# K1 s8 M+ K6 p: @
9 A- A: a. v% [) r. H+ r对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型* }/ o" c W) _: a( ?
对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除! [$ I( L- q3 H. R5 W
具体流程见书,此处不再赘述。, `+ M! L8 |7 f- V; G$ g9 K
( z" L+ n R7 F
另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F
. ^# R; C$ R ^; p/ K进+ z7 x( y# {4 f( C
: @! w, e' C$ c3 P8 M; c# L >F
$ w" v3 E3 I5 X7 [7 X+ C# x# w出4 P5 }0 A& V7 n! ~# N
4 c0 C" E: D2 T' |" n; Y: Y ` ,式中,F进 F_进F ' U6 @ m' A3 f7 ~3 z: I
进) h n( }0 y% J" M- m0 U( x
, L5 x: C# i7 o% `( {5 f9 ]) o. E6 ` 为选入变量时的临界值,F出 F_出F
7 X& D3 g( b0 u3 s, s4 I" n出6 M( E/ S8 U: H6 Y; ?% |2 N2 n% @
# K8 P0 W6 O: y0 W5 v' @( o
未删除变量时的临界值。$ o0 O" ? l$ g8 b/ N
6 {2 w' F% S, e: _- H
在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F
4 \/ O) D; A2 ]5 ?% s. r进" S$ d* A+ C: J2 E# G
8 I* X L& V3 g& w" X. ]* N 和F出 F_出F 9 x( K; s+ |8 {5 z$ @( B0 [
出
7 \& d' @5 R! i. u
1 h/ _* K; m2 _* R( ~ 的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α
5 V' W' V2 P0 |" {% W进5 ?9 G0 l9 G/ ]
7 m' N, P5 X. _: C2 S
=0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α # L6 M) g8 D6 a/ Q+ [1 B) _/ i" a/ K
出
8 \! U/ _- B, ? o
& B& J+ {- v% N) ]9 z =0.1+ h3 l; |' Q1 c5 b
" d7 H' V k: ]7 y% M/ I: w1.1.4 调整复判定系数
% j. x7 @) p n! c) A( V6 z
. @1 [1 U2 J' ?* V——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R ~/ R" ?! ~/ J0 n
2
& ~$ u% `! e: R! ` 和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 4 J0 _" i& H' ^$ F; M
R8 R, o9 q6 }. A5 F
" w3 [* I4 Q3 w, {: S2* X. `' K' r G( G" a: Z
,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】
( d s% r. n3 ^6 r, G1 F( p9 \5 a1 ?8 J! v* ~. M6 [* D. M c
统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R 9 E9 k1 V; m1 F; r! I, _
2" Y% M$ Y, f8 y
的提高。
$ m- x; [/ \: a当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df ' \4 ~$ y) i% N& y
E
% h- D2 n4 i% q0 N$ B. X% _3 o" J. l
& Q& A$ W- Z+ z! |. T =n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数: V6 Z0 \; |5 P& v1 {' J( q1 z1 I! X
8 p1 |1 r6 O) E! A3 \
Rˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}
* K5 r- c* L9 V0 C9 [# JR
6 }7 E4 T( y4 R' N7 |" x" P( [% i) F# N4 S; n- w
2
7 G" @ g6 x: ]9 S) a =1−
+ \; q1 J! A4 BSST/(n−1)
# s/ \- f2 v3 q' E1 cQ/(n−m−1)
" |1 P) N: e# V1 z5 s. _2 S $ ]" L1 N) s* u8 Y7 g
1 {' w A9 q4 Y
8 X, n4 t1 m! ?此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
0 a5 i, U3 k+ e; ER8 [# A+ q/ v$ o% G2 z) v. t: {6 L
: H9 x# p: t" a; a
2
6 n: P0 z# w+ t0 V# B) a5 Q 还可以用于判断是否可以再增加新的变量:! f4 U9 y* g4 j, e+ a: n, ~
若增加一个变量,
% v! f0 v6 G" ]3 V
& E. F$ l& i% t5 c) wRˉˉˉ2 \overline{R}^2 ) Y9 c9 X2 C5 K/ @
R
- F/ _- Q; o( b. L5 ^% }
! q5 J( ]2 a& v. z8 H2
B( y" F% N6 N% v. K: P 明显增加,,可考虑增加此变量% w" o+ V8 a/ v4 a
Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 - h5 \+ q; h9 O: z
R5 G% E+ j" h; b5 I @
& D C' I O3 l* I+ j. t/ g3 }9 `6 v
2
! H" [0 A( O/ i6 P3 r 无明显变化,不必增加此变量
4 k/ h% m4 `& L" v, `- Z1.2 最小二乘估计7 S9 T: {/ V( f1 i
2 B: k D+ W6 p3 Q7 f
一元线性回归、多元线性回归——略。: n( p2 L: D( y) R, t, z- S
1 O! }8 ?1 u) g' w5 m
2. 回归模型假设检验$ n" q: @/ w8 F! c6 A7 ?% j
1 c) g2 c4 [1 \* k; Y3 }
——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
* S2 [8 e1 ]) }9 m, @; Z
( k; _8 v# `7 ]+ w8 Q2 C8 C, [7 d具体检验方法见书,此处不再赘述。
. e0 x2 S B. a( V1 \1 _* c
; H# K. N/ a# T7 E% @5 A$ \- Z3. 回归参数假设检验和区间估计5 Q |! X+ D& s2 Z: W5 _% h3 g
* I" [9 I6 \% _& L9 {; R
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)* g. ?3 i) u( H: b% z7 |2 p3 F
* \6 Z) S: E+ g+ u% g5 T3 Y
具体检验方法见书,此处不再赘述。' V- n: I. P# w5 e$ e+ ^" Q
# y: p1 D8 [/ D( `" F7 ~4. 拟合效果分析5 p$ \$ P1 }9 L/ m6 q# H
2 f% x) o/ v; T1 h+ D. g4 A/ x3 _4.1 残差的样本方差(MSE)# S- m7 z8 c) [6 A8 E' s
% O( Z! J+ j9 x& w1 \MSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^2
M$ O6 f& m, B! Z5 bMSE= ; O" Y' i' S5 M4 L8 y
n−2
7 z# _! j* s5 h18 N6 k6 E5 @& @ A) k6 i! e
( |" |9 Y( L; H; g& T5 b9 U
3 W1 D5 P7 K3 V/ ^$ Q
i=1
& u7 S1 _ V+ b+ C9 Q∑
' A2 `7 \. j- u4 ]* }n3 @$ p7 G' _; U, L
# q6 G) U* L x0 }
(e + a6 n7 K7 e1 G/ L; _
i) I& n* Q1 ~7 e! f3 s% {: k# c
- l# N# @9 v. f' [, U
−
! S' \- S+ F6 S3 y- H9 `9 d5 We
% I g' ~! ^) ?5 I W% o+ H7 u$ N# ]6 x )
! Z, ~' d/ s; F1 |# A2
2 I5 ?/ Z. B& W& |3 L6 {: z) `$ g8 _/ Y: o4 t
9 x4 f: ^' `+ G- s# c. F
可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0 0 T. |1 N$ y" l; v3 C9 M- v" b* l
e
, s8 ~% ]* M$ I =00 L2 q+ K& y; V+ x1 g
记,
& z; W3 V4 f5 C* a, WSe=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}
- F. v- f, ?; u' g4 }S
8 S D( O6 Q5 \e
0 `# e8 ~& N. E& O * w0 s- a9 N5 P- n2 ]+ c9 u: J
= ) R$ u, {: T( w5 c9 Q D
MSE. h' Y0 P& X0 U4 z
6 B3 b, z# `0 d# S; O
=
$ j; m: d. d- p" g$ f, un−29 J' ^+ L' ]1 i; l# v/ i
1* Y a% ?* h( P1 d" o
" @( F( B/ }' T1 N9 k: x! N
- X, F0 h: s0 v/ c$ L8 a" `2 xi=1" t; |, f" R% X# L
∑
+ U0 D q8 {9 t' D/ `7 R7 k) Z
, ^$ _& f! D8 H) } ne r. H) M2 _$ X" \* C
i; t' S& r3 I, u( _3 y
$ }9 y5 M" p1 p; Z. v0 C$ B
& Z9 j7 [5 |9 i+ t" g5 [4 g; C
2
2 b) Z: T0 [. U( N q. e. z: f# D' x9 M6 f8 A0 ]9 W! T
1 ?0 }; m2 N0 R0 l) N
& I0 o+ L5 v! q+ Q( v3 h) w" o& l- J2 y
Se S_eS
! }' p8 g4 P% S" r; V ze/ T# Q- i9 t: \( q1 L# U, E) H- W5 q$ R
1 a5 P* Q% n+ x/ d7 X. @- g
越小,拟合效果越好% b! ]% I0 ?# S; Q- j& s5 B+ O
- z, d* Y5 q; n' A1 M% q1 i4.2 判定系数(拟合优度)3 S# R' K: r8 f$ Y
( P7 z! c% e& m/ \ X. a
——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R 6 M; D4 M6 }" m; x; b
2% Q) }2 ~6 F- f0 L- ^% M! a
表示
7 g, R9 e/ Z U6 |3 j( FR2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
- o9 v8 w" m) T0 h% Q! LR # C3 \5 U2 O3 V( V2 e" @
2
9 ~" o Q; @& y. W- l+ V = E1 W) y, i8 E/ y
SST
* _8 n- b! U9 gSSR
; |4 x* u: {- j. K8 G
2 w+ D# P0 s0 `& ?8 f3 x =1−
# j2 Q# p/ U# O9 d6 ZSST1 K/ d M, u- @2 ~: X
SSE) b4 c% C+ u) k+ a
3 A4 q c2 e& |; V6 P
! A" e8 `/ B1 J- u; y7 z, A7 F
, G3 o3 P, s0 U" V; X% d/ X) u$ p8 y其中,# T$ {0 X7 C* \! s2 l% F
SST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-17 ^7 A) Y8 y( C) q
SST= 6 e$ G. U" s6 L6 r T( v9 l7 s
i=17 H P) Q4 i: w8 f/ {2 y3 Y
∑
7 L. ^& ^& m# j9 ^* Y. K; p+ An
0 T+ Q7 Y8 z/ }9 d
# Z; [. r5 ` _7 S+ N (y
1 l Q6 i& t1 zi
3 N' B; v3 K1 Y- l1 i1 V' N# H! @ 7 i# N) o2 q) ^) I
−
/ V" n+ \) B# r* G: X, g5 ly
2 S8 C! e& @ D3 o " q# P$ @8 W9 v
) . k0 \. b [' ?8 g/ m6 n
28 n! t( C$ w- M$ R' s3 j. d( V4 }6 x g/ A
,原始数据y . Y, A* Q' d4 _3 s
i3 v0 k: l" h) R- V% v
% h& ] A, s, k' F7 m
的总变异平方和,df
1 }8 J- L8 @9 V4 A4 @* `& ST! S9 l( F" \- [/ \" ]
! W9 z1 r4 P# R; ^1 v& @ =n−1
$ Y0 M5 \- L: ]/ a- F. l3 i* B" g/ w* k- R4 \3 G( Z" ?
SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 1
1 f, }1 ~' s5 j' i$ xSSR=
, b- d/ X- {$ d- E+ Ui=1
6 Z: z" t: k9 x* z" d0 a" b∑
, M- k5 f U# y* V1 n1 F# Un" Y h. O5 T; ~ f
+ e. @" } C, R6 ^ (
i1 h- n4 A6 L% T+ n1 Py
- L0 M8 f3 I" g) O5 p0 {4 {i' a" D& V! A% E( l4 e
2 \) C9 A+ x+ y/ c6 q5 D+ o/ P
' W1 ?. r3 U' O2 ~ v2 m^) u# g4 r7 C* \# C* [
: `2 A3 O$ o% O( o −
5 h- @/ c7 n x1 h. ^y* L8 s1 _) d. e) X5 x- v$ Z
! W6 t( |5 B& l& H
)
4 ?, M1 X; r) E0 `* p2* p9 p: g, r8 `: c
,用拟合直线可解释的变异平方和,df
" _& o6 y+ w& KR
3 \. a4 J" b2 T6 \7 F s2 l
' z1 |5 N/ v8 M3 C8 x; N- s9 W8 Y G =12 q, u0 J1 W; `9 j7 _% }7 |
+ k$ Z6 g# g4 g/ O# ISSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-2
, u7 d8 _/ P- _) o' c& f" hSSE= % a7 l; C; M7 @7 u4 }, l
i=1- R% x4 n& B5 R" \% y* e
∑
2 F; r* L; K0 C1 S) w) V* E& gn
. L) p% P9 Z/ V. L
9 b' o8 f+ k3 J _- x4 j6 M9 r (y 4 D p+ o7 F: O$ }2 O9 G* P) w
i7 L% c& m* m# c7 q
4 K6 B# } R% \
− 4 X e, {( V: F% ^! k
y ! _& E: V3 |8 G8 c
i
: G, u0 T1 ?, R3 U9 K. I2 N4 ?
) [2 \6 @5 p, e6 `0 a' E
7 y+ _0 C6 D3 [+ D^
- Y$ d9 Z( C9 \+ c: n7 {
( x0 n5 \. O$ O* F3 K P( S ) ; M+ {/ e4 z6 x+ P
2
/ ~4 P& r9 W( e( r5 j0 E$ [) q ,残差平方和,df
: t% l" H( h0 P) Q# G8 uE' W' H/ E i$ ~" Z* a
& X5 m, X" @3 S =n−2
T; k: m4 G" a3 T
6 i# a1 d' F9 S! w: ZSST=SSR+SSE SST = SSR + SSE6 p; p- _. E7 K* [2 b
SST=SSR+SSE
9 }! R, u4 b) g/ l% z; f
c# s2 P' @7 QR2 R^2R
! V8 ~0 J& C4 n" F3 P, K2, }; r2 U# \7 ~: Y: T
越接近1,拟合点与原数据越吻合4 t U, T, R8 H5 e
9 Q- l8 w6 j: |6 l) p1 n m
另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2}
% G" u; u1 Q) e; _: QR & X" a/ f1 M0 P$ v
2
/ P- {5 P6 k4 Y) F, f R, S% J+ i4 W# ~4 H3 {& p
* n! E: s' |) ]0 p/ L
等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1}
! |" F* w1 W9 Hβ ) C$ o4 o% \& u3 [( A: n x
1; Q, Z7 i) j& U1 `
( t. |9 C7 C9 w4 N% P O
& l0 `$ B, F, s& Q0 U6 j' c/ n
^. a3 q6 R. F8 P: G P- W9 g
% u f% z O* U; e 的符号相同
U6 z" p- h, S5 i) s, e# t( l( Z+ ?$ x0 L
5. 利用回归模型进行预测
h* z" P/ B7 p. l
; W& ^4 J0 G _3 ?8 ~8 [% W3 I: f& X, w# Z) `+ `% l( i
; `% l' o: E7 F6 F6 t( U+ Y
其他) a! Y* U$ U- r8 K, x! e( J
0 u0 C, o3 ~* {+ v# _7 m6 ^5 ^
偏相关系数(净相关系数)9 E' J5 G: N* m1 h, e
& v# i" b! f0 `; V在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。
7 ?) T, I" f6 u, }, @5 h1 E% y* |# s# Q( e/ F2 k$ ^
复共线性和有偏估计方法+ B0 G6 W0 a% B7 g. h
) J0 [# i( C5 W/ Q& s4 y. y- I
在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
; o" ]2 u6 `' o/ ^
; ?0 ^3 i! O' P3 i: |; W G$ @# ]- X解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性7 X& c9 p/ Z% {* b. c" \$ z
例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。- O9 o. b: @" v& H r) |5 B, k2 C
(P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)) v: L, A* U8 b( l, c& x" v
5 N3 _1 ?6 F& n% u! w6 t
再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性# a4 z8 b2 S8 x& h
1 ?! n$ Q4 r" M5 w/ a, {小结
) @7 d+ G( w9 I; {, z6 ?. T. _6 x
; ?- y" h; A6 J/ Z+ E* f采用回归模型进行建模的可取步骤如下:' \1 P4 Z9 Z* L/ A% \
* L5 C4 M7 W9 D" P6 ~0 Q$ z; J
建立回归模型
" z- C7 R$ X- _3 i, [; k% _确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量3 l5 t4 \5 z$ v* ]
————————————————
. P3 m% n6 } P$ q版权声明:本文为CSDN博主「鱼板: RE」的原创文章。
5 d, p6 i+ @& C原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451* ~9 v7 S' b; u5 Y9 ? {& m# x
8 Y" b6 }6 F" ?9 l% l
% j, U, V+ S! ~3 \4 J9 b/ S v |
zan
|