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数学建模之回归分析

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    发表于 2020-1-8 09:11 |只看该作者 |倒序浏览
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    应用场景
    6 ]8 F3 E2 L& j/ F4 g/ s( k7 V/ H; x: P0 I) \, e. ^' C
    简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
    4 i0 t) o0 N- p1 {" nP.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
    : ^& C; C* w7 S3 M; K1 _, ]
    % U# A1 i2 a) l具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:
    + D" [7 }. r  U0 ~! x
    / x. }* I5 Q* R9 c建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx 6 s7 ^' c) q4 [
    1
    ; V' `7 N5 H4 ]! q8 E% j( K​       
    . w. u8 C/ C* d$ h9 q ,x
    : D1 K, W" x* }) k& v2 a2
    ; [  C4 U- A4 C  C2 H9 W7 V& S​        5 G) L1 g3 u7 H, D
    ,...,x
    6 i- Y% U1 `# i7 G2 e" Y& um
    ) q, {/ e) J( Y  |4 s4 t​       
    & K9 h& Z! P$ p1 ^1 [ 之间的回归模型(经验公式);. Y6 B8 U: i  F) r0 H8 |
    对回归模型的可信度进行检验;
    - `4 a. ]$ J9 x7 d, P" g) @判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x " W$ O1 M. b) O, A9 H  _+ F
    i9 E. o4 c8 a' H
    ​        ! V( R( S# s( g7 }
    (i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;  `; F2 _! e( d3 H
    诊断回归模型是否适合这组数据;
    $ F/ Z% v* Q: m1 ]利用回归模型对y yy进行预报或控制。& m4 b) A- C: B1 H! i
    1. 建立回归模型. i' o4 N0 p3 \# l- v2 g& D3 \
    4 h* W) P" ~0 x: u$ R7 w- l; u5 \0 r
    1.1 筛选变量
    4 L0 y4 c& C0 B8 P! |3 g$ f; k8 V8 c
    1.1.1 确定样本空间
    $ O! S0 A0 Z: G+ x  M0 H; k& }- A3 E+ D) r2 L
    m mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点,
    9 C1 n" `8 B$ V" I4 `1 {(xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n  I( l; z" Q" h, R4 P' p
    (x % [( j6 s$ W) k
    i1. w' f7 k+ w; F  g
    ​       
    3 M+ k3 n* Q# Y1 e+ d2 B ,x 8 N" z1 n6 z& C: F3 }
    i20 `4 ~/ A+ }  b! L/ ]  @  c( x$ y
    ​       
    & G0 g/ ?1 H# u9 e0 p& O ,...,x ; G1 K) ]2 Y4 |; @1 L
    im* P/ V6 V! O' X3 g5 l+ p
    ​        * i5 q. @  s7 z
    ),i=1,2,...,n
    4 N0 {: [% y+ Z' F7 J
      P+ s0 j" c# I所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。5 ~4 O3 `0 P: V1 R8 z

    $ u3 @: l1 h! j2 f9 ~, z1.1.2 对数据进行标准化处理
    0 w7 @. y! K, |$ {# |) e0 l& g& c0 ?4 n: Y5 s
    (1)数据的中心化处理* n, D+ g# @8 s, ?1 ~
    实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx
    " a- [' c  W' H, b2 s; J, ]4 \/ gij$ a$ o& i6 b  q0 @
    ) I) m! H; _; W" U
    ​        : v3 d2 w4 _8 D  s% T2 \3 m
    =x
    ; f9 u7 ]# h2 Y) E7 e( @  e& ~* U9 Hij
    # E* p& m1 R$ }9 ?& T0 ]​       
    ) H8 c4 X" ]0 U  g+ z" r: t3 p; F
    x
    # z, G$ p, x. j7 N1 f" rj
    % A# o# }& N7 y6 i, ]- D. T​       
    " M$ K5 f0 ]$ t7 k, x) J! O, \  I- v# K+ `: i" I1 n* J; c  m
    ​       
    8 D; z& v3 r8 u9 V+ ?* I: X ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m2 @% G9 E' c" e. u( x9 s

    3 `% }2 ]. J6 O' n0 l这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。
    2 y, e" u0 r' w8 u+ f+ ~(2)数据的无量纲化处理
    # V: O  w& N$ B( ?$ y在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。9 e1 S, e' ]4 v% \& e
    为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1, O. M! x1 [, }9 y9 W
    即,
    ! y; ?# r8 e, xx∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}2 Y0 ^0 r- E! m( T
    x
    1 w4 ^. I7 L. z; X! F, ]; ^/ u# ~ij
    ; n9 ~% F( n2 g- L8 T% a) k  [2 @1 O" R, b6 e
    ​        , ~; v" t- s+ r& S; a) D6 k! J/ w
    =x 9 N9 Z" u& t1 p8 T3 n
    ij0 p; f0 D( S$ r, x0 \( V/ `
    ​       
    2 O) b9 w, Q- C% C+ z& D0 J. z/ i /s ' E6 a. B+ x. a& n9 ^" p# ]& c
    j
    ) |1 d3 g- k. [: \/ }) B5 C: F! _% s​       
      k# ?2 C3 G( {2 H; G ,其中,s ; w2 R! \& n) g' k  R6 k8 m9 b
    j
    - d  I  w0 r; M3 V7 j# H​        , f$ C" Q/ x+ O& W
    =
    4 [) q# P( e) j. q, yn−1
      A$ a, O1 a) h2 n, v1& m0 H# g- O6 T0 z- p# g# ~
    ​        3 G! w7 O2 M8 }5 v

    ) p* r3 ^  b: @i=1
    4 }4 H$ V5 g/ S1 g$ ?0 `
    # v* m* S$ X1 p' }9 T5 A* g4 Q" cn& |) z2 h: z1 C2 @$ M+ b
    ​       
    3 O* F& h. ^" B; t* c  Q (x
    $ j% K' h- ]4 u5 h. yij3 i3 e4 e- b1 f2 l3 R( L
    ​        6 {+ L2 V' }# `
    ! W* J9 Z. l; _& q- K
    x & T2 r5 E: L6 ^( Z
    j1 L$ G+ h# E! E" O: j
    ​       
    - Z7 c% ]/ n/ D! f+ N3 r$ i. }1 T
    $ F0 w4 y4 D# V& G# n​        & i( V# }3 m  g
    )
    # ^' X# H; _& s2 P( \- I* o# q/ ^2
    * l  F: H: ^8 m6 e9 V8 _+ ^4 j, S  ?
    ​       
    1 \+ c2 ~/ ]7 Z- }# s4 ~9 y0 `5 a7 c* b. m/ A
    4 q: [3 W5 N* A6 b/ [
    当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。3 S8 S- q3 `4 {3 Z- M
    (3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
    3 `+ n1 l/ }! S7 h' q即,
    - S# n, ^( I. C( lx∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m# B1 _# S/ G, h
    x ) H$ m  I; x+ Z  n6 T" I
    ij/ J1 I6 D+ E$ Y5 Y8 @6 o
    6 u5 s. t2 L$ z: Q0 N
    ​       
    2 e$ b& w. r* d1 q" F- u
    3 t. ]1 P, ^/ W; L( os 3 g9 b9 `% F; U% o6 r2 E
    j% j. H  X! a$ W5 K2 q
    ​       
    - a+ H1 w6 _, d5 q. q" z5 l8 f) U) ]) x" m+ }
    x
    - J8 j7 I- a  i1 l- ]ij
    - A2 k- c2 T( [; S- a1 ]4 y# B​        $ j9 V1 }5 m* c

    , i; Z9 y8 i% @8 _$ Ex 1 z* b% Y' J, ~6 ]2 I
    j7 X# T* b0 r2 O8 r: h, f/ H
    ​          a  [$ f7 K" {: i4 o- c
    0 o. e& x; x& o% A+ O, U
    ​       
    ! h# q7 J. Z! a- Q' ^' w* C3 {, y; u5 u# }7 y  l0 g2 W1 x
    ​       
    . O* n% }4 H6 N/ K ,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
    . [; \6 T* t0 ]) a9 _6 a4 z! f$ K% M" w& P
    1.1.3 变量筛选
    + ~1 l" C3 [4 L/ S) j2 S, D4 `% l1 B! Q( t3 e
    ——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
    8 }8 n- h4 s& W* G2 \+ {% T1 M7 ^8 V/ W% d0 q$ g
    一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量
    & O( q$ d! ~. m5 r一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少
    ( ?; e: Z2 c* C$ g. C! Q(1)穷举法
    ) ^5 J$ p. K# D0 B& X% H列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。* T) b0 j& A4 c- _3 U! U
    假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
    % q. [! K" e# W. g. {1 am: t7 X9 v- a+ C0 i1 ]; v& J5 R
    ​        / M1 k/ y. j' N9 o
    ——当m mm较大时不现实
    ; M/ `" A- w: x) P" z- A3 K9 o
    5 C! c7 w4 O; k: u3 A1 s5 I(2)向前选择变量法3 c4 v; I+ ?0 e# ~  i& w
    ; N# z  ~7 u7 Y* B  O4 d
    初始:模型中没有任何解释变量
    ! u4 y- h' a6 ]  F! p; ~分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型
    ' f2 D) T" G9 {! C对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量
    3 J$ L! u0 y0 j" D* V- _0 p对剩下的变量分别进行偏F检验# X3 o0 f+ ^0 v1 F7 V# k1 F8 c$ A  r
    至少有一个xi通过了偏F检验?4 n' ?8 B. U4 o; x% g/ L
    在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量
    2 L6 q! L3 `& }. H9 D/ V) z$ B结束1 n$ ^3 f; W+ G) T  }
    yes) B( T8 D) }$ p. h0 @" f% _  z
    no
    6 }4 k' t' d2 T7 U8 u1 H( ?缺点:
    " x; J3 k4 n1 b8 l7 x1 _1 {8 _一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。
    # f% t4 S1 I4 `2 X: ?* D  G: w- F/ x; c5 E# u( N% t+ F! `$ o
    (3)向后删除变量法  d' S) n3 P. p7 G/ r/ N* c0 b5 m- H
    3 _3 `% N# C/ |# S1 D9 E
    初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)
    " L( Q& K1 H3 _0 s4 w& e/ @# X分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型)
    # t1 P# z3 `% q% O所有的变量都通过了偏F检验?
    ; S4 L  L; z3 G选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除
    6 a7 ]( ~, [2 E' ?# S1 U# l结束; c9 W0 {9 T/ O5 f- @
    yes- y* ^4 P4 @8 }' r1 a5 ?% Z2 b
    no
    1 |0 \7 a) x; y( F( F缺点:* h$ H! `5 S$ u
    一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。
    ; @  f2 L& w/ x& r* P5 h0 p5 O3 j3 i
    (4)逐步回归法——最常用' k& p, }- @! S! Y# M* P/ R

    $ L2 J  l) }; d: W& s0 a! m综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:
    9 @- F7 `4 o4 z
    * ~1 D5 A; h8 ~- m1 u对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型; Q8 ?  ?" y  q1 W. G; w" w, w
    对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除
    ( b0 q& g* R4 C, Z  |; J3 e# t具体流程见书,此处不再赘述。
    ' Y" Q! O- v7 I+ d2 a3 d
    3 ?6 J7 q# K  I" b另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F
    8 @) }- i1 j7 P
    : t2 v6 s1 S/ ]$ g0 n6 H5 Z5 [​        9 A6 j7 o5 m6 X, L/ C- @: x% w0 \8 k
    >F 0 T+ o  G- U- r- j

    1 o5 S# C7 i  G6 p0 H- D5 C4 W" ~​       
    $ j: k2 Y' X) f5 h: |" o8 G ,式中,F进 F_进F 3 j- R9 @) r; }+ y" }  X5 u2 ~3 {  h
    - q2 Z1 f/ _/ X! ~8 A. a! w1 j
    ​       
    2 _% F! [0 @3 Q 为选入变量时的临界值,F出 F_出F # ^7 r# z8 T, g+ r  R, p8 w
    $ r0 ]0 y) A3 x7 M
    ​       
    1 a& ^1 s* n0 s0 f 未删除变量时的临界值。
    4 H4 j5 g- X8 X+ I6 E6 q
    ' G, S* |0 F' }5 Q在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F
    $ ?+ k9 Z: a$ ?* K" `0 N% b: a  a* S8 }
    ​       
    - s" j+ k  Z! M& x: N+ G 和F出 F_出F * f( H) K* I" }0 e% A- D
    ! X" O6 |' A$ t' P
    ​       
    % |9 y, H' E/ P5 a 的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α
    0 J2 O2 b3 D4 g) W3 C- j* h6 @* N! E8 u( Z1 \& e
    ​       
    * X$ u) H# K0 |3 { =0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α
    " Z! F9 y6 l5 o% k! N
    / x2 `4 q2 x) a$ d- z. n* T​       
    * T0 h7 b1 `3 k2 _2 x# R =0.1
    8 ~/ b! l6 t/ }$ ]9 h
    & A+ ?2 y! p0 o9 _: N: k1.1.4 调整复判定系数8 N7 P. V( O0 v9 e
    : o) e9 P7 o4 s6 t2 O7 ?
    ——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R
    " K# a& }$ M: C0 {/ {+ m. U+ h2
    3 u( P, L  c$ O: i2 O$ U 和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
    6 ?' ~6 h. o8 x* w  L. }/ vR, r5 @1 S2 b& R  I0 [) r! @% ^7 u3 {
    3 L# g8 w" Y) n
    2
    9 }$ q9 `2 W! @; T+ S* _/ C ,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】
    $ \. a( ~2 d+ j1 J, s2 @. P# d8 n: {/ P2 {5 \# w$ _! e( W/ {3 l1 O
    统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R % [0 T- A* J4 u
    23 S* c) y, k2 U0 S5 ]1 _
    的提高。
    2 e' C: M0 s& i' J5 r1 |; M当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df
    " A* a& B/ t3 k- s9 K! z& t! WE
      y5 m4 K% M! y( T0 J$ o/ P- ]+ q​        6 k% q: g* C0 V! K! [. h
    =n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数:& F6 ~! s# g% r: a8 W' r" I9 N

    & y( B  Z% h4 S& f1 K& bRˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}
    & k! Z, M, H' X. h9 W; s" xR
    . [- K9 j' }- W( }5 W5 L( N: |
    : V0 Q  L& o* s. D4 _4 }" y2; e; d! o0 d* j/ ~% D
    =1− 0 `: }9 w2 h9 T+ T' T
    SST/(n−1)1 x7 c3 p: a% i5 B! N8 W- h
    Q/(n−m−1)2 Q& Q* @) V  q# ]$ \# [( [8 B
    ​       
      T# h6 _% s+ ]5 u' r
    4 X) l! c# w' ~( h6 h# n& a
    / }3 r0 v+ @. T- C4 L此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 ( _. f% E  [# r; G7 D0 H$ A7 O
    R' M8 E) ?# |- Z* Q

    : e3 U3 o6 U# W0 y2" g, d) X$ Y( u. L& V0 P. k- s: a
    还可以用于判断是否可以再增加新的变量:
    . s# K: B7 J8 _2 S5 F若增加一个变量,* S0 z+ g7 @! K+ p) h7 i

    3 y$ W8 w2 A/ u: G0 U( q3 s1 U% WRˉˉˉ2 \overline{R}^2 ) T% F" k4 b$ j; I. g1 J
    R
    ! E0 C: `8 z+ [+ h  v6 S( f! M& F/ e$ A; O7 Y' G
    2; w, S; [' r# Y; f% {
    明显增加,,可考虑增加此变量
    6 B0 `. k" K' Z7 g$ g# `, t. O4 pRˉˉˉ2 \overline{R}^2 7 i* c' n1 q$ x, I
    R% z: \- D; j& H- U; H

    3 M! r% H  e. ?% C2# s# j2 U1 U) }& ?
    无明显变化,不必增加此变量
    ! f* \: m+ a2 K1 ?4 y& |1.2 最小二乘估计6 ^2 k, s( `9 d

    7 [. Z3 m! Z1 R3 L4 [8 }) z一元线性回归、多元线性回归——略。
    + Q4 p6 s2 h9 G( Q2 V' T0 P1 s; l; ~# J. n2 o8 O. g* \* ^7 K# v1 W
    2. 回归模型假设检验
      o8 _; c4 N$ l# m6 |  n/ ?# _9 g
    ; C! O$ V6 L( g9 }! o% [# I7 H8 D——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
    6 Y. s4 Z! W* d# [* n; Y% m2 E4 Q. Z9 Q- w" u& F- D9 P
    具体检验方法见书,此处不再赘述。5 W* y2 k1 s/ w

    : y+ H1 i7 t! L5 b( A3. 回归参数假设检验和区间估计5 k  [' m$ m) Y  V
    ; c) V0 Q$ `0 h* O3 g6 T
    ——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)
    ) C& X, C  j- Q0 u- |/ a8 Q1 [8 x9 c0 C/ q
    具体检验方法见书,此处不再赘述。
    ! `' P% x- r0 l$ {3 \
    ; J. o% W1 ^; ~9 Q/ D  M6 ~4. 拟合效果分析
    2 G0 u( \! O. @
    - q/ y0 w1 e% e0 x3 W, t4.1 残差的样本方差(MSE)
    " O2 g- {* ^& D. `$ P) f9 \# u. X* n- Y7 Y7 U: p% y- C: d# y/ ~' u) q
    MSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^2  ]/ h7 A7 Q5 m$ K0 f
    MSE= ; q9 e7 @8 K9 Q+ |4 c3 G* e
    n−2
    9 ~2 W; Z0 u. i9 x10 m9 j& k! [' m
    ​        7 a# H& l0 l+ b7 m+ S

    + |4 h. q' ]5 o  Q% z9 B: Y7 ]i=1
    , r9 C$ K* r$ A8 E1 J
    1 p9 U  Z3 Z' ]7 g  J, G0 Z$ g, yn1 r9 N# n. J$ o6 f: }
    ​       
    " ]- M$ u5 `  v% B/ D1 N (e ' @+ `& Z! W2 G$ C
    i
    0 s4 U9 E2 ]7 R# n( m. _" V7 Z​       
    9 |* U: G5 ]* M/ @4 q- N' }0 P/ ^, H' Q0 Q8 b/ y: B
    e
    / N  R! E: `$ A5 y% u4 f8 v ) ; ~! s' V, H8 N* \$ f4 v( J
    2
    8 t1 u1 z4 ?$ C
    4 y" [2 q" ^# k( M. [$ _0 l, K8 i. p+ t
    可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0 : F' Y2 C( n9 A
    e0 v) u+ y) s1 [, s" R' ~  S- r1 A
    =0
    2 E9 p3 I/ h+ d9 G# s4 ^记,
    ; @4 S: b# Z! n3 q4 ?' P4 cSe=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}
    , I& n. i8 Z8 o+ \& j$ J% NS
    # h3 T% G$ e: Be8 i% P% A1 X) B. H- @
    ​        2 R5 Q( X/ U! S/ X" S
    = 4 ?# ^1 i# Z; y3 J. F: `
    MSE
    $ Y  e; M* m* F' r​       
    : ^8 Q2 a1 b- K, {0 u; x1 y. } =
    5 @$ h/ }' u9 U& wn−2) n/ f+ r8 Z, w, f7 E- D
    1
    . [4 |/ E2 I: U) A​       
    # o! M) S  O3 @# \' t1 a$ }. m5 l! j! i8 B
    i=1
    $ F3 a. q9 S7 L# D' a. h' c& Q$ Q8 d
    9 B+ \5 @! c3 h. s; A& M​        4 ?4 e6 |- k% L& e0 r3 A5 c
    ne ! N1 z" l  U* G
    i  V# x5 G9 _6 _" b# K3 ?7 d/ N! U2 v
    ​       
    % z1 Q8 V- i$ |7 t5 c9 k0 ~* W6 e% n7 e# p5 \
    28 r1 B, U! r% |7 q6 Z) T% r

    , e! z& m; n( M​       
    ' H7 D7 c: w+ T- O# Z8 A. C* o1 u. O9 r2 h1 U
    + y# d5 f7 T' g7 h5 }
    Se S_eS
    0 i/ _. A0 |3 h: V" X2 v3 G* ke
    / x; b6 g5 {% d. O- J8 h( D8 }& Z​        5 X, t" p; K0 N, o
    越小,拟合效果越好4 q) c  U% k. h

    1 t% n$ s8 U3 K. n  p4.2 判定系数(拟合优度)
    ' ^* {8 h) ?9 V4 }( @
    9 i1 [4 D, ^0 U" R; F4 F——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R 1 d% H( w7 d; y; c
    2
    # k  S1 p3 D+ P3 z0 ]" n8 X9 J& k5 d 表示
    , ^* {+ C+ S. x2 KR2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
    ( }( }9 f, e& HR + B7 [8 L- l, i! G9 ]+ J
    2- U/ o- K. K& f  @) h; J
    =
    9 Q% ~7 j  O5 Q1 m6 LSST: o0 \" Y- p5 f4 j
    SSR  P& ^# x# i, |9 _8 v4 R
    ​        7 e! R2 J* b$ M' B* m0 Q0 W, z5 I
    =1− 5 U  P9 a" x# T
    SST: T0 z/ }& A+ m9 Z
    SSE
    6 c8 x3 ~) }9 B9 G​        % E9 c3 A# `8 S( [3 [  L9 U

    7 k! K; k2 d1 ?% u" g* x# E6 t9 l' C) C9 ~
    其中,( E; P8 h. M# v" `
    SST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-1
    2 X7 ~. N: l# v! K( XSST=
    ; `5 I  ]+ w- d2 B4 L' Q% Pi=1) P) S& U  u. m" k
    % e* ~& S. [* v) x: r" P# z
    n
    % `. ^9 w$ O% F# y, a; R​        5 @3 }+ W- {, c7 C
    (y
    + g2 L( _% o+ S& ki
    ) H; L& \) a2 \: L$ o1 k2 `2 E​       
    0 v" ~6 h1 F8 ?- l3 b/ A8 s. N2 x  f
    y
    3 q% a8 r' V* w5 a​       
    # T' c6 T* J! M1 x- L. V% ] ) & G* B0 f7 F3 S( W, T- H, `
    2! Y3 p2 j' i: p) ]
    ,原始数据y 2 B) g8 V. B( O* T/ p" M
    i4 l- p5 [' a& Z
    ​        " I5 B7 a! e( n
    的总变异平方和,df % p  L2 l& a, I  J: B
    T
    / x4 i, v  ^# |- w/ b9 A. H! Y​        , ^9 D7 u) J3 |0 i7 C8 O
    =n−1% T/ ^  f3 d- {/ t
    ( ^% F8 v$ v5 g
    SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 1
    4 ]( G1 K4 J5 T5 gSSR=
    ; Z  D; o3 R. T  n6 u$ j5 hi=16 w$ c1 |: x- f  C) ~- l1 C

    & a! ?3 Y( j  d% S3 Jn
    9 d$ O" N3 B# O​       
    # d9 r& i* H1 O) } (
    + I2 P9 a( c; g7 F( ey
    7 K+ ^4 w" F+ V9 {) Ki
    ' ^: X3 q) n+ A​       
    ; c. r( B: R& |; ?
    3 a" O7 E$ V# P3 s) Z^3 Q9 r. I2 v8 I  j4 l
    ​       
    9 h* \" o) K% E: k# P
    % k6 z! r7 B. e1 b/ N) _5 Hy
    . d1 B: L5 k4 n1 ~  L​       
    " h/ ?" t1 ~, \) d )
    7 b) e4 `, y9 T/ P+ P2( V4 c( p2 t8 V  O* r+ H
    ,用拟合直线可解释的变异平方和,df
      n: s, y; F5 d0 aR
    1 _( `# a4 K/ o7 L) x​       
    " X  n; x9 l) v4 ?7 @2 k =1
    , l$ _, Z* y0 Z: `' @/ _
    ) m, o' P5 C+ J, y( U- ISSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-20 l' M( f0 F1 i% w" E
    SSE= ( r7 K4 s& s; K
    i=1
    9 k1 D. o, y6 U& X7 }( l2 J( Q% y, T
    n
    % O9 A5 R4 v1 R* A- _. h" c​       
    . k' k1 H# o6 e' Q& Z (y + \' z6 F$ l$ D: _
    i$ u. D# s& V" K8 Y2 E7 v1 K
    ​       
    9 q: I+ n% z7 C
    " B# U& Q# {7 z) C# by . X$ l+ q$ A6 W" F6 ~2 R# i
    i
    # S! l) P: S3 P3 w​       
    " ?1 y  h) T: \! E# L: H% W! \3 m) W" [0 B0 Q& Z- `8 b& X* X" l6 F% W8 }
    ^5 ^8 A% D  U. h3 E' s" z
    ​        + U6 v' @1 J: e, G) I; z
    )
    5 s% i, E6 i( p2
    0 k8 S  [6 K. \5 N" [ ,残差平方和,df , D; N! [& A1 s9 C
    E
    6 I4 ~- z/ O  v- A# s​        1 D5 l+ ]1 C2 t9 p8 {! I1 @; Z6 z
    =n−29 x8 Q2 t, f$ Z; Z  z6 t
    , Q% p7 X* i$ Q  N- X
    SST=SSR+SSE SST = SSR + SSE  X) x) i! ?; |0 I3 O# K' H& j
    SST=SSR+SSE
    " e% Q+ M0 S7 T+ O
    3 c& Z8 {3 a" ]$ |3 W  T- fR2 R^2R
    9 |2 M* D" h# e4 z: J& h# }9 U2
    " j# x) _7 v- C6 w0 @( E9 d 越接近1,拟合点与原数据越吻合5 _/ S" s- f- h" Y
    ' S% y7 R; Z2 a8 z& t& C3 v; j
    另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2}
    & |( {3 A7 ~' ]: r1 jR ; E9 M6 t8 C$ J) @
    28 D9 e- @9 ~6 d

    & T+ L! V+ o+ x9 `​        8 p$ g& v; c$ u7 n+ V6 p0 }
    等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1} ' C+ M7 E2 P6 D+ i
    β 3 Z1 D" Z- d. _
    1
    6 m7 O& b+ n- o+ M- Z( P5 g0 r​       
    ' t1 d- Q" C5 ?" t1 x! Z
    ! M( F  o! ?" H) L. m( g/ }* w; J^) p( B/ ?% C  b8 A
    ​       
    4 P3 J4 N% ]- Y+ w4 ~+ ?7 C# g 的符号相同
    : X# O( r4 K9 w9 M% D3 n$ Q% L% b) L/ o8 F* T& R! m& m' |$ n
    5. 利用回归模型进行预测( o7 n; o7 E! x
    9 C, X; k4 t7 C6 v$ Y3 n1 ~5 i

    * w4 O% {: u/ G0 j9 A7 ]( N7 D: F
    % [6 d* ]% Z3 |! b6 E+ O1 b: s其他
    3 ~" j+ ^0 K& r  J0 \8 V: Z3 b1 ?0 p8 }" R9 C3 c! l8 h7 ~
    偏相关系数(净相关系数)
    / Q. g, a5 [* y) u+ ?. l, z, f* t& w) ^# |, O8 W* N# V
    在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。
    * V# F# [- B# R
    4 \* z" v7 B9 s! \复共线性和有偏估计方法) n* e7 r  j4 c

    3 u. t  k9 b; a在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
    + s" P4 w6 c0 t) M3 S
    - }0 B5 [' N) o! n/ M8 [. I解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性
    - S, {8 }# x# L: I9 c# M! ^* i例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。
    8 G' m# d2 {) L(P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差): R; h5 \6 p( Q5 }
    " ^2 x/ {( v7 t# N
    再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性
    ; X5 f3 a% D8 Z
    % p, E! p( t  j9 S# W, c小结
    , k' I) s( T8 @7 b# }
    + v/ C* j6 B% o' B采用回归模型进行建模的可取步骤如下:
    " H: i! C6 y- Z- W* N5 h. r: ^* G  y$ C
    建立回归模型! k# I, y9 t2 Y3 S. J8 \
    确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量1 ?  n( W/ _  l, K  d
    ————————————————
    , E0 [' C7 U5 q( T( B版权声明:本文为CSDN博主「鱼板: RE」的原创文章。
    6 |2 Y0 r: M$ X# n原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
    * z% m$ M* |& U: Z  }. Z; V) T0 I" o# d; j: U/ f, q/ l  ^
    7 |/ R9 P6 U6 E; u
    zan
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