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数学建模之回归分析

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    发表于 2020-1-8 09:11 |只看该作者 |倒序浏览
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    应用场景
    4 a" e2 v, e  D- \* q  ]. l
    ' `% i$ ~/ B- O  M- p* h简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
    + ^0 E3 u# t( w- sP.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
    5 R& [! Y5 j# m7 F( w7 D, u7 \$ j+ L/ G! |
    具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:; T9 t) w9 l2 [+ _9 ?2 D

    8 L7 u1 ], U+ _; R: z4 ?3 n; m建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx 6 a6 O2 Y# V" n7 |/ u
    1
      ?2 m6 B( B5 X- b1 k/ p- b​        ) O" w0 o! _4 h! I+ U+ h
    ,x ; G7 P  @) ^6 F0 `6 P
    2' S' K9 w! `0 Z$ P) w% P6 h
    ​       
    # S/ N1 G6 k+ i8 A ,...,x
    + P4 D/ s' t  [2 p1 ym
    8 P0 F$ k: [8 G. D# k​        % h* @) P# f" l( A
    之间的回归模型(经验公式);
    % K% G, J5 @( q" F( Z5 d# R6 h对回归模型的可信度进行检验;. N( p( o' ^/ D: G( B: x
    判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x . u8 G2 ]3 w: s4 A( w( [
    i
    5 W* C/ r2 N( j3 j. R/ w+ `​        " `  s3 Z$ O6 [
    (i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;6 H+ {$ G5 u. C5 a/ n( ]
    诊断回归模型是否适合这组数据;' t% S; a! x, ]) i& q
    利用回归模型对y yy进行预报或控制。9 t% Z0 t1 @8 |# U8 [& F1 w
    1. 建立回归模型% f8 v! i: b4 B) X# R
    . I8 y0 v" \3 o  q8 V) H  Y! i
    1.1 筛选变量
    ! J% D4 s3 l( ?
    3 \, z8 {2 |6 v! `4 ~; G! L1.1.1 确定样本空间. i- c4 S7 I3 }2 X1 Y( \: U4 x; f

    3 \6 V1 K" c2 fm mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点,
    . \7 O/ N# B+ n2 f" A9 t7 [6 e(xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n1 k: O6 o; t% W1 X6 a
    (x
    % M! u3 s- p$ j1 l8 ]i1
    . X7 E* l9 y4 m) D​       
    ( g9 N5 V" b- `9 V/ e0 A: G/ ?4 C' P ,x 6 @* G) D) h3 `9 D3 y$ U$ N$ h+ x
    i24 g9 }: ~* N4 A* c4 m% ]" ]8 Q
    ​        & R7 x" c9 W: w4 v) V9 {
    ,...,x $ J0 y9 p( T. \: v" m
    im
    # K5 I3 C5 k5 D* w2 m​       
    ( X1 I1 }. X! J3 ]0 u9 c6 Z ),i=1,2,...,n$ a& Q) v; [5 A  J

    * \5 d8 H9 O8 b' A1 v  A) N8 ]所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
    & k" e9 F' Y/ H: v3 V
    / ?/ b, @% D8 r5 o2 z& f: q* g2 q1.1.2 对数据进行标准化处理
    - z! ]- N8 ], I( E. U# @8 H# k
    2 W% e6 F9 X/ l" l6 B. t, d. V6 q(1)数据的中心化处理) ]0 ]9 e/ \( j3 L
    实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx
    * i& B! _! _" j- F7 W, h, t9 G- hij
    1 t! b6 n+ C, k9 G/ ~
    # H. M* [; X0 s/ M  n: }9 H​       
    " E+ r$ h0 H5 J% b) V, u) N =x
    5 c5 y; M- x& [  Q3 O6 @ij
    , B! u. S; L& h​       
    ( A' D  S1 z2 z" a8 F, h: _- F
    + L7 ^, J" J8 x! u. ^x % T8 z  o( V, `- I# n7 C* o  `# ~
    j4 k. J. T9 v: ]: w+ Q
    ​       
    : b: Q: Q6 V/ }
    3 l1 J2 y7 C+ q/ P' V​       
    & S* W) G  I: ]4 o' F' `# ^ ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m7 B( Q4 {3 c4 H6 x3 z+ R
    ) z! e- F: @6 q0 `2 }
    这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。, P! \2 w' Y8 R  i% O4 \8 C6 b9 T
    (2)数据的无量纲化处理' c& H$ n$ l, m; [
    在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。( _( I7 x/ Y; I6 {8 \7 ]
    为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1, `% o5 e) C8 D7 o3 v
    即,: R6 h7 @4 d; R  L: `
    x∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}
    5 q3 ~5 t6 F, O5 i( e. J2 gx
    0 K& H9 P- F2 q* I# gij# Y3 z% c& G2 l- z# q
    ) Q0 m( @' e* A$ _' |9 l- V
    ​       
    9 G" F' F, b' l  [! {, s =x , r! L- v' ?( H5 Y8 y% G
    ij; b3 n/ @1 k2 e. n+ {8 G& p
    ​        ) t0 X; @5 L& ]5 l8 w2 n
    /s
    6 e3 \3 }7 w9 k) x* C8 }$ nj
    % L5 y% i2 _  W( _, v7 f2 Z​       
    8 C' t3 d; Z2 E% h) f ,其中,s   o- ^  U8 c7 B" B" p5 x6 ~
    j
    , a0 P: Q0 D8 z​        # u7 T5 a# q# T& `6 p9 R/ m
    =
    0 _4 B$ J2 g. ^! b" j( Cn−1
    7 E6 p! f2 {- {8 h  t8 T1
    + ^. `$ m* `2 T3 @  ?) p​        3 Q# \/ I- [1 X0 H
    , Q! q1 I2 z- w/ r) Q2 X
    i=1
    7 u7 ~) \% w; r. i7 e# J" P- K3 H$ v
    n
    0 c  P" Y2 V. {2 A& H7 s​        / V: @+ y1 S( `) O0 F' ]/ i
    (x
    & M! G2 X0 X1 Bij
    1 K) a, ]  I# V2 ^8 _0 _​        ( I" p( h% T+ T& v! g3 d* T- M
    . y- s9 S3 |, Q) b: c
    x 0 y0 L5 E; z( n$ K9 H
    j6 A9 }- R/ n6 R
    ​        , k* ]: L. ^( g* S: F7 X
    : e$ N4 j/ d! }' F5 J2 G
    ​        0 j4 d5 q2 u9 H% G; l
    ) % Q1 u  O/ Z" `/ t' T5 o
    2
    1 d) _1 X7 m" S% t7 u& m' U3 ~9 }  ^0 o% f& g
    ​       
    : {3 A7 U* g6 M6 V) p0 R# O2 E
    ; t6 q) ~5 B. x
    ' X7 G8 Y9 i3 f5 o( n" p当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。
    , b% J9 i& s1 c6 K7 s. u* ~- d(3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理/ X: H3 x! n# ^' ]4 _+ h3 O& x7 b* g
    即,' ^1 Y; g- G4 {. X/ I0 Z6 p
    x∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m
    & u* h' r4 M1 W; ux
    0 I7 o2 z( j' P( Z9 gij; g; P# d# S/ k7 e$ Q6 |/ n, m. W
    + I2 o, w, d/ h7 {, j( _4 P8 H) O
    ​        3 R# b. w, L& y( I5 u% w' T1 ]- Z
    ; X8 l, Z5 a8 `! o
    s
    1 U1 v/ j3 h" s6 m* a+ D) w. ?+ mj
    , b+ e$ Y2 M# w7 G5 t: P5 X' _* v​       
    ( _' Q. @( L4 z
    ! {5 v6 \5 \: F3 @/ K' {+ jx & m* L! S/ r+ t% J) t
    ij
    ' N/ a, L2 R  N9 m# ~​        ) U$ q. D8 ^' ^; A! e+ `

    ( k8 p0 S# M" Bx
    / a( y! _# V6 Q0 H4 Ej- V) d8 V" E8 P5 D
    ​       
    7 \0 m6 J" W# o8 @6 i
    3 g' T, s8 B" K# g5 e​       
      k8 N" Y, z. z, I. d5 X
    # r& N5 O5 y( k6 P& l​       
    * K0 r; R! X) E! j9 e0 P ,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
    * O; Y% ~" Q/ z( }
    9 G4 m4 a1 s: B, A3 e8 q1.1.3 变量筛选+ C# C. d* K* D
    - e4 C& A) c, ?/ |
    ——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
    # C3 a# _* H  Y# x' e. s
    9 q+ B/ }0 @; n% I( u  T一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量& T0 g. r# x$ {* @& j# C7 S+ X
    一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少, W! E. H6 G+ F
    (1)穷举法+ g" X9 u0 t) `8 M
    列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。+ D9 W; H& z* i& Y
    假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2 4 D+ ^5 v" g# y8 s1 O$ [+ j5 b
    m
    # c2 F' J2 E; m- O" f' x# t# {​        / y+ u0 ?* _. h5 c; O7 p( P
    ——当m mm较大时不现实
    9 H6 H2 W; s4 d
    8 w7 {8 M& {2 b' `1 [2 x(2)向前选择变量法
    . y0 F6 A3 ]8 q9 ?' ]
    7 w% I6 d5 N  k- m7 _3 \: h8 B初始:模型中没有任何解释变量
    - o5 ^+ U6 }/ F+ b3 F分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型, r8 e9 l) L9 t' z. r' ~
    对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量9 F- z' W8 P6 z4 `, _
    对剩下的变量分别进行偏F检验
    2 j8 K( z5 e8 m至少有一个xi通过了偏F检验?# a! V+ V" C, M9 D, q# O- I( ?
    在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量9 T6 G2 f. h5 j- l! _* Y, R
    结束
    . c% Z" R+ ]7 c9 x; \yes
    ) L. Y0 F+ ?/ q5 L5 [& [; Vno
    * Y2 V; V' p* h缺点:& [  D2 o. X/ P- R' U7 n/ a+ q
    一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。. p+ e: N$ i+ K$ y4 c0 K

    $ ?9 R1 b8 k3 {  \; x5 I(3)向后删除变量法
    / I/ ^3 p3 y, K: p' y2 Z5 q* x' d) g: G7 ~* T, p1 V8 K+ I* p+ w/ e  U
    初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)3 O6 ]# n4 R# G+ V5 a0 z# k
    分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型)# j* A& u: z) I; q( w# D
    所有的变量都通过了偏F检验?( ^) Z! |, n& H6 `- s; `
    选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除
    ) {7 x$ y6 @% E8 n" g8 x结束
    ; Y9 I( S+ @; n+ x! j8 t2 h6 }, t, xyes
      c: w# J" h" ^: Ono
    ) L( _* J& T! v3 s4 t9 P0 x缺点:
    1 p/ T5 N* v. v! f& L( K, \一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。
    ; M' @  X8 l) m$ P4 ?& U8 \- t3 d% z1 w  o
    (4)逐步回归法——最常用0 F% B( L6 L  h

    ; M: G+ M$ h- ]7 `综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:& A) X7 Z& p% r* a, r5 Y
    / B! @( `  w: V& V+ \8 P
    对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型
    4 H- m# c$ a3 j- s对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除
    3 P) R' ^' C1 w  c( K具体流程见书,此处不再赘述。- B7 B0 l( h; s, H6 W) J, [4 e
    & f& q& }; H8 ~
    另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F
    5 E, Q5 P& J' j& t3 `6 w0 n% \% X6 P! \  K  x% y
    ​       
    , i$ L- Q; G2 ^  E9 m$ S >F + h( V3 ~  w" n% a

    ) k( f6 i4 O, }* J​       
    $ u  x& p7 L- u$ t6 u' p ,式中,F进 F_进F
    " _! L3 Z* w' \0 a" [  p! t5 i+ u+ @. ^/ S$ W) B
    ​       
    7 t  n4 A0 Y( K 为选入变量时的临界值,F出 F_出F
    ' z, F6 L2 [$ ^0 B/ f" @8 b+ Q- t3 `7 h/ M) V) N" V" h
    ​        9 d1 b7 m$ }0 U7 i) E: d2 i
    未删除变量时的临界值。
    ; q+ A/ e* ^' }: ^1 f
    8 M) z2 \5 r- s在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F 4 d: Y4 ^6 `" I* s: c$ ^" @

    2 U- k5 V: a" m# z​        0 ~" m$ Q& |  l* |
    和F出 F_出F 7 t1 i/ B5 r% W  O9 R

    6 ]2 h3 @! T3 k: j/ E​       
    ! _  w- x& s- h 的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α
    * D  q: J! X6 G" A0 V
    % y" r% W- @) n2 f: I​       
    ! Z) U5 Z6 r& h =0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α # Y( M. g# x% O1 D; t; H+ k
    ' P8 ^- N) `8 M2 A
    ​        1 t5 E5 Z5 u4 l. [5 D$ D4 |
    =0.1
    # @5 L  x+ z; B+ m) N- G( _& D  h9 `+ }% M: }# o
    1.1.4 调整复判定系数3 ~! z1 M5 ]3 _0 F

    ) r9 ]' N4 t* u——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R 3 u& C( P0 Q& Q
    24 y2 l  V  ~: `; T5 c
    和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 ' Z5 C4 D5 S' t6 }$ S8 x- o
    R
    : Z  z% l% U& U
    # _& i+ T' @5 D( Z6 Y2
    * ]# Y1 l4 Y+ f# @2 p, m' @ ,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】, d# L( Z" m0 q* I/ o2 C" ]: G0 f

    / ]6 ?; T3 p) t, h8 n4 V统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R 5 @: ~( v! Z/ r- f: r5 q
    27 I8 ?& F" x7 v& t3 L) t! z
    的提高。
    0 w. E* [" ~. B; s. R% i8 a当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df
    ) b* ~3 B0 A0 ^- x1 _E
    % I, S, {6 q0 a* f​        ' q7 W' ^% X# E( j3 Q
    =n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数:
    " z) @' x0 U" O/ z7 a
    / X* E  @! c: w5 tRˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}
    : o  n6 _; l2 lR* T( X( s, y* T$ K* h
    : I  }2 @( u7 h( q# w4 r) |# `
    2
    + B; @0 N9 m; r2 {# j' n =1− + t3 g4 S  I' ^% Y; k5 V& ?
    SST/(n−1)
    ( [* Y4 r, d& a. T( v# t3 mQ/(n−m−1)3 l7 v! [0 ~: K! _1 }, L7 ^! d
    ​       
    9 L& Y* T  }9 d5 v, m9 D, K/ C+ d
    7 A2 T6 {( k* B; `/ W! @# `& c: O- X) Y: N0 d" u$ a# W
    此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 ( P5 n2 Z3 I+ q/ @$ ?8 q
    R
    . `0 q$ Q; m+ o4 n4 P. A% V6 G3 u) ~  U/ M2 m
    2
    . a7 u6 j8 j6 E3 H7 _% V* E 还可以用于判断是否可以再增加新的变量:
    % i8 G+ v! K. `若增加一个变量,  M: y( x7 k4 e" j$ [, F
    - h/ T) q4 i! a* z. S
    Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
    % D5 x4 C  C0 x0 y& CR
    7 E+ u$ ?; @6 a
    3 ?- s( U- j5 t& H- {( F$ W2
    # B- W  o9 Z# ]0 T' l7 ^( \ 明显增加,,可考虑增加此变量" y' e9 |- C% Z" K8 _: X
    Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
    % o7 \  K5 M7 x% `' a& C4 j. VR( T2 R8 e7 {: [0 S( R+ {6 r

    5 U2 N3 M, c5 I' R9 R4 G! S8 N21 f& z3 U1 @" g2 E8 \- R
    无明显变化,不必增加此变量" N9 c  X/ B, \2 m
    1.2 最小二乘估计
    1 p/ H. a' Q* O: E$ r3 x$ I0 F) b+ a0 a! W* |2 x1 S
    一元线性回归、多元线性回归——略。6 w- }! L) z; M7 X' b6 F

    " `# s$ G! q* D) B; U; p2. 回归模型假设检验$ |3 W% G5 x) l) S0 V3 v  w% {. t- o( ]/ c
    ' ]/ h, {( X! k
    ——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
    ! k, x: q  D8 D% _6 Q1 h* l6 O6 I2 _
    & X4 i; O9 |' |具体检验方法见书,此处不再赘述。& s0 a$ `, @% k) K! f! p
    8 T. j; D9 y* @8 K0 Y- y% M
    3. 回归参数假设检验和区间估计
    3 |. H* T  {" U3 x0 _/ k2 K$ w* N8 j& U# r$ L% }9 s
    ——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)
    / t) ?3 O+ l- V4 z: |4 f
    0 L& L( T5 n2 r. L; i8 o4 W具体检验方法见书,此处不再赘述。0 b% }; o7 ]: j2 @% E6 e

    7 M  B' }0 Y) e7 k' e% ]1 D4. 拟合效果分析4 d1 u- e9 t- ^! O% J
    7 y1 o0 U& _9 b' z# y+ i
    4.1 残差的样本方差(MSE). o. p* T. l- V% Q3 ~

    % A  \" T1 e  ?, U0 |: A9 j8 tMSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^2. T! M+ ?2 A% P
    MSE= % N2 j# `+ W, s9 r/ j0 q4 v
    n−2
    + h2 u. f% |4 u$ T" o) e+ i17 X2 Y# B# u" R; o) i
    ​       
    . b2 J6 e" I6 y
    : `- [' o& O8 A; Ni=1
    . D. ]" r2 `: R/ H2 A* f
    7 p7 g6 `: N: h3 g" Ln
    * k  v4 y0 I9 _% s​       
    ; F* ~, e# {4 h  Z (e % `: I8 n- s  `) l3 U
    i, E6 S3 ^0 h! X# E, Q" w7 [
    ​        , L- S+ b- L) v6 [* c: H) h+ H# f' S7 `
    2 a. g5 s/ y: P( h  o- U
    e
    / f! P( I! ?* Q! | )
    : l0 k- c  _. Q" W3 }2
    9 K: |9 U2 k5 R  U7 S' a8 b
    / Y' D: D6 Q/ |% V- g: O
    9 @* V6 I  Q. O  J可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0
    5 M& n6 y# G- O/ qe" T# k1 S# x, e% R1 B% {4 H. D1 F
    =0
    ; L5 K! S4 N/ x( M记,9 F  E! \1 O) B
    Se=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}+ m8 q, Q$ _7 S8 @+ o! x
    S / l8 f, {4 i1 |2 h/ h
    e* z, c- {  c$ n3 g1 {/ m
    ​        ' p! `. x7 E, z9 E& v2 J
    =
    3 l8 N0 \+ J! S. A. XMSE2 e. z  D* _+ Q; P) y) c* o1 N
    ​        ) q1 N4 D  l, n! X
    =
    ( o5 S3 ~, W; _9 S6 q% y3 z9 Bn−2* v# s2 i2 H7 T0 U  r
    1
    2 w6 N9 K, o+ L0 l% L( x​        / t5 R  J9 Z; ]. i' s7 \

    9 ?1 }5 K/ h, s+ d$ oi=1
    9 ~4 q2 I7 ]/ C; z1 ?1 g
    + \; ~( i% v( m# z/ b​        8 x! ^  Q- \2 u$ E) A9 ~
    ne 0 E9 e* P3 f; ~# J$ Z( o
    i
    ; c4 p) ~* M% e; L( M6 b  J# V5 V6 C​        0 d1 |3 C; @5 b5 q3 ?
    / k, K, E& `" g
    2- G5 |3 y0 F4 o! W7 t% E3 i

    ) A1 O: w7 U1 K9 {& U​        ( z6 V( \& z! n" @

    " B  b! J; z) A1 p2 n
    5 ?( q0 p' r9 O1 }& A$ x7 CSe S_eS % K2 S( x* d9 e- O- f/ \  C
    e
    9 T- r7 P5 m# ?% _& M​       
    " m+ V$ _5 l. K. ~/ F" a 越小,拟合效果越好. Z0 r. e* ]9 q% _  m* T7 R" N1 D/ v
      d1 G# P6 ?7 I+ \5 ?( k
    4.2 判定系数(拟合优度)
    ( V) _+ F0 h8 O3 ^1 W. f# i; G6 o
    7 X" V; T) e0 P( k& P8 W* ]5 ?——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R 1 V* Y# _: _' W/ d9 H, P( T# r
    2+ G, O+ w: w8 ]4 p: [7 J
    表示
    * [/ ]9 x7 T7 b/ C, y, L" [% LR2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
    # j0 K' w- q; c- u! d- Q; _2 U1 g: [R 4 p9 b& E% K' s4 u. E
    23 e* \: Z5 l1 @; B, c+ {
    = 7 q" }- e+ L' z1 }/ R& M* r
    SST
    2 V2 G" z* W) r! e% M/ Y7 q: _SSR6 N" P# X5 D5 j
    ​        * F' Q; H: v1 p% `8 {3 m) ^0 p0 I5 {- Y
    =1− . v3 E) b+ P# N% d
    SST
    # h) S$ ^7 y& `9 mSSE& ]7 ^0 b0 ~- z+ L+ J, P4 p" S& E/ @
    ​        / j( Q3 M! y9 ]$ J4 C! ]

    " s6 r5 ^' A% c- G0 g8 z' L% H  W. W: \
    其中,
    ; y6 O- m$ H1 [2 v$ ESST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-1# v: B! w8 U, L  \& Z
    SST=
    2 l# h) B- B' [7 e4 {; Ii=1% s5 I; _; u$ i% R
    ( {. O2 |8 R: Q! C5 C
    n
    ) [% e2 z: G+ o$ v7 b* ?​        ( I# u7 p9 F/ V; p9 y, E
    (y
    " B" w; q$ i- K5 B) D: V: ai
    9 w9 q& f* V. e​        5 Q! F" E: S1 M* v& L4 O$ U9 ~' {( ]0 S
    0 C8 I1 L7 r. [9 ~$ e+ f% {
    y/ ?% q" p5 r/ r% A
    ​        4 m9 Y7 D% [& m. @' b  F
    )
      A0 q5 }: d# n8 p! E0 D2; @  [7 l! L# S8 L: ~
    ,原始数据y ; E$ [& o5 Q* ~0 h: K- @% O( T
    i
    ) `* V; Y9 t7 |& P; J" e​        2 e: {; N# m7 T0 u" r2 I+ [
    的总变异平方和,df
    ; g  M* d& s" g0 E8 lT# L2 B. ?1 {% Q3 e
    ​        % J% m& j, v. d# @. {3 z! F+ P: j
    =n−1$ \+ p3 Y- P8 \1 y
    . A$ H7 Z5 c3 _' R0 S+ s8 J
    SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 1
    8 _. c( p- U+ R* Y6 P( ?SSR=
    ; n3 z4 K) o* D1 F1 a; l0 [i=1: c! d; F8 O* ^7 }4 k- G$ Z
    + m8 e  M" [5 X. r7 Z8 S) @
    n$ f6 e4 R. r: ^
    ​       
    - Y: ~( }' z# f (
    ' f# [; P4 U2 D+ ~" Q2 {y % N) \1 g" N/ l1 {
    i5 V1 w( Y) D' p3 o
    ​        / @7 R, d4 M- R. B! W

    4 E: }% K% J1 H% e^* L" e+ X* a$ ~7 P
    ​        7 U! Z: c! l* `, ]% n+ g
    " {! c8 [3 t8 a6 _& H, x( Z
    y6 Q1 B6 g& a3 W& l5 d
    ​          w+ u. u, ~% H# j5 G2 M# X
    )
    $ H/ K/ f# ^2 m& A; l2
    1 X- F/ O% O- E& t1 a* F9 o8 @ ,用拟合直线可解释的变异平方和,df
    9 D& d$ j; o( g1 A2 IR. J0 z/ n8 m# Z1 A% e2 n/ X
    ​        ' u! \0 j( ]1 x5 r3 Y6 E! ]
    =1
    . V$ N/ ]  `: x3 z. ~
    ; Z2 t7 Y& ?0 z# c: F& xSSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-2; N2 r5 |, G! Z7 a6 g( c8 U
    SSE=
    . k/ f* o. W$ l4 E/ ki=18 \! N5 r) O  s- }+ E) }
    / Q& ^5 A' e' B* i" s
    n
    5 A/ N9 l- y! y5 U0 M7 V' m; q' K7 r​       
    6 O3 [3 o, Y$ W1 }! w9 @: L# U (y
    ! V: Y3 {; s5 e1 w8 G; ci
    3 A/ F1 q& \0 n, H% |​        6 R1 a9 Y! ?7 @- {+ [, S9 [# Y

    9 z; z% R8 m* p3 T/ Uy ! r1 x. }8 d4 ]0 D; I
    i
    $ {, N" k. y% f! p  |- u, x5 S; q/ y% }​       
    ; e! i9 P9 @# i; @  [! \  M
    , z- g6 K+ @5 f+ F0 m^
    & r/ X: U8 \5 D" \$ U​       
    ; `: L# p6 J& L- P1 y$ y ) 7 K; B2 i5 q7 a& D# ]8 r" {* O6 r# k
    21 N7 L: K% L; R( `
    ,残差平方和,df 7 Z& X$ a3 @" t" a) u, }8 L9 ~
    E
    ( [# A& Z6 ^! {​       
    ; t" p4 m& Z) V$ u7 h  R =n−2& B7 N8 e7 p, y' Z/ \
    7 F6 ^0 M+ j3 G: J% h
    SST=SSR+SSE SST = SSR + SSE+ [' q9 X8 Y9 u) N7 m' |& ~6 G2 i
    SST=SSR+SSE
    * f. G" r% y% x
    % i3 @' ~" s$ P9 B6 U( _" cR2 R^2R " u& p# |6 D0 ]9 P' v, g
    2
    ( R) d( S& [) {8 [) T 越接近1,拟合点与原数据越吻合
    + w1 K/ T$ y. t6 M% h' z& g( v1 F: _
    另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2} . [/ v- C) A4 c  x
    R + @% O! Y, k+ v0 u3 g2 P$ N# o
    2) H$ X- [; n4 d2 k" S' g3 J

    / W4 K& K0 J# b/ H% v; `# s​       
    3 u  m! W  Y' ~# { 等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1}
      e2 O5 g% G& c% K8 |4 _  Z! Z. sβ
    % x0 Z8 Y: N4 i" s- Z% ]1& T$ m* {. u2 @5 J. k. r" s. U
    ​        + H) C& `0 n. S3 l# L: f8 y1 _4 Y
    1 G) E1 ?' @) r* x' @7 V& {0 s
    ^) ~3 m" Z" b4 z4 {. q% i
    ​       
    & d% C! x  O4 O& N" w( Z6 j  M 的符号相同& m) K$ d7 r0 T7 h' r

    ! x0 H6 R# o  o5. 利用回归模型进行预测5 Z8 c" w3 n6 u- k/ p7 L9 F- P5 K

      d' q) N' s6 P9 T1 C2 i
    ( A% f2 E- ^% o2 p) I3 _7 A$ L- e# T# ?. B( D* S5 B/ p/ R  U
    其他* {% p$ o0 n; r2 @
    # A, p0 U& ]6 f% `- x
    偏相关系数(净相关系数)# o: E8 M5 p* {0 S  Q9 Y  [9 L

    - i5 R# j. Z7 M2 V. t, w在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。
    ; t; a1 P1 S7 m" X2 Z% p) [4 q( c3 d* r
    ) O  R+ I2 ^9 c2 u1 ]% q复共线性和有偏估计方法$ z; \  v: @3 P4 S) Q: O0 @7 {; A

    2 o1 M6 U, j1 q3 [+ v1 _在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
    / g+ D1 B- T8 U8 X) ^, R5 v1 N7 t( J5 s& f* {% m4 M0 V
    解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性
    1 r2 G4 ^7 }% }0 o例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。
    9 V8 }6 k0 e2 l(P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)4 u! L) ~% D/ @8 l. ~# l. u

      g- s4 \- g/ j; Q; w再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性6 s2 a/ j4 A/ W
    - f( t# Y; v9 \/ r/ X! f* G( K: [
    小结
    3 g; o2 t1 i  C; C
    * R5 E$ l" ^* v' S采用回归模型进行建模的可取步骤如下:5 s' d1 `, `3 h8 e

    8 {  x/ L# T: k3 @4 b" H  @建立回归模型
    9 i; A9 s. a/ X* d" E6 P6 ?确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量7 S# T4 [) r$ y- f2 y
    ————————————————! v3 g. X; A: i0 m# }1 Z- t$ K
    版权声明:本文为CSDN博主「鱼板: RE」的原创文章。+ V! d! ^' t! z4 `
    原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/997624517 E  @( ~; @4 p" X( q" o

    : ]/ @4 g6 ~+ ~. y! z2 h% m( q2 C& W: |( {5 t! P3 J
    zan
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