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数学建模之回归分析

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    发表于 2020-1-8 09:11 |只看该作者 |倒序浏览
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    & z$ w6 D) d  ^: K1 z, l
    7 U' q$ e8 }' V/ K% y+ v简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
    / i6 d/ t% t. t+ R/ F: l' ^& O. QP.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
    1 {% A, _; h# g, t8 Z$ ?2 V& @6 E4 [& u/ H4 J
    具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:
    ! x) |3 k$ {  C5 U5 Q  c6 R7 o! x0 Y# |, _9 u9 R
    建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx 3 c, r" l( {+ g
    1
    9 C# [6 {6 u0 v: t( E- {1 U​       
    ) v# V  [* M$ l$ x2 t ,x . W: a& i( C, w" M+ n# J2 z5 ^
    20 f1 S" M& l' q/ _% S! ^
    ​       
    2 @0 X7 ?$ U& [; P/ b ,...,x " \1 B" ~6 w: U$ L. S7 L
    m5 N) u& o8 Q* g  s6 t
    ​        , s' s: j4 _5 q/ M( M& p
    之间的回归模型(经验公式);# A7 g. I* ]  m. H. \8 [
    对回归模型的可信度进行检验;" Y, I. {% e/ i7 K0 C
    判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x
    1 G% [% ?+ o  Z' u# g3 w, Ti
    3 I) s( b' i& q% a  q* ]​        2 V! L7 X  e" `& ~; i, U
    (i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;
    # z  ~! y% P; t. W. x5 E诊断回归模型是否适合这组数据;- R2 p! T4 }0 W6 u
    利用回归模型对y yy进行预报或控制。
    & G! M: U9 D' i2 Z9 g7 \1. 建立回归模型
    8 b! `! v1 ~$ n' p3 {( J2 q6 n5 l9 _: J4 R, v( A: z5 t. R' Y
    1.1 筛选变量4 _, M2 w6 x. h7 S/ L. }. R

    " d6 Y2 T* y, c- r" t1.1.1 确定样本空间3 Z' J0 l, i7 a) E! E

    ; W( }3 M, k+ ?m mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点,  W# f# s, r6 G2 L8 d& ?+ U0 {
    (xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n! a  e* s3 y' V4 v1 k1 _, J
    (x
    0 P7 H9 N/ X; m7 t0 @: Ii1
    * U8 j# R  g; t4 `% i' J4 p​       
    + R) ?9 a- M) D3 ]' |! S1 F' F" e ,x
    - B( U% k. d) H4 h% p; {' g4 Si2
    / }( b# V3 v+ e, p​       
    % ]) N* F3 o' y. |+ [ ,...,x
    ' ^3 V/ @4 d0 ^, c, N% o% j7 G" ]im
    9 a' K% W! J, j4 t% O) x- l​        # W/ v6 S- k' \3 T3 W# u# O
    ),i=1,2,...,n
    : t1 o8 r/ S/ C$ S* v
    ) I! o& @4 L* `  d8 T所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。; a1 i; G2 k, P6 b
    , f5 K9 z& I% u, @( x
    1.1.2 对数据进行标准化处理+ |' x' z1 }6 {5 J* o7 N  m2 F' h3 f! e

    " ^: s9 V" ^& z. R(1)数据的中心化处理8 S6 \( U$ l( D9 [
    实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx
    / a- s3 t; b) x6 A9 nij
    " p% T2 z7 O  @! f( K) W$ p6 r; I$ i- w; U1 U* ]3 ]
    ​       
    / S( L6 D+ ?" ~$ D* t1 n =x
    # U8 w9 m# x+ Aij: W6 c* w8 h7 A
    ​        + z1 y! e% }$ D0 B6 X
    9 `8 Q  P" }' b+ U4 s; s  T* ?
    x
    2 Z2 n! B- f4 q( n) f) q& e) oj* \: _" h, E& }2 A. J; ~. t
    ​        8 o1 c4 `. R6 l* }) U% h, ]
    2 I7 M2 w, p3 g2 b+ @' F! h
    ​       
    9 T+ p. Z, b' p) a3 W: c' H ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
    9 L, K+ a8 C& y% V$ P# u
    , O4 E5 X  `( l+ Y4 V% x# V$ w1 m这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。( p  _# P3 U# e( \6 g; r8 L
    (2)数据的无量纲化处理3 y( V1 w# V. E% d! F% b
    在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。, d+ ?4 r! Z" y: c
    为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
    , ]  G4 f/ r% |9 l. j即," A/ Q' Z- h6 h  s, d) }4 E7 n
    x∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}
    / L& o; t. ^' N* [2 c, c" yx
    % R8 @: n! m! iij. ?8 j- F9 i( `1 b
    $ X3 h8 F7 z3 H
    ​       
    # t6 y8 Z5 W. V =x ) i. S) f5 q8 l+ z8 X8 Y
    ij' M' X( Z  S3 U. t
    ​        / b0 A/ v/ N. i! J  L
    /s . o- f: g1 n1 U& u# w9 G  x& Z
    j0 x! a" V9 z4 G; k" g( R; Y
    ​        5 {( u2 N# n, l3 T0 x7 a
    ,其中,s
    - I4 f" T# f8 K& W0 }+ ?; y9 p7 _j
    1 T. ~5 X0 l* K2 B/ I6 r​       
    " g0 @+ V' D$ k' | = * n- i8 |; X0 |% w
    n−1& G6 N. }5 @* u6 a8 L) J
    15 h( X  `- O$ D
    ​       
    # c. _$ m0 O; O5 U- l6 C( f2 |9 m5 E/ R8 {  V+ v9 V
    i=1
    , Q8 |4 P1 O" D7 J: F7 i! H2 S& V9 q
    7 {% |- s$ f5 v9 o6 F/ D  Zn. N' c/ k& p0 q/ I$ s  X4 E
    ​       
    . O. F8 ~4 {: A9 q (x % C+ h6 W5 J) |; Z+ E! `; M
    ij
    . H  ^9 b$ H& g​       
    * Y; P6 ]- j5 b" c7 I5 L: Y3 P% K- Q; Q) Q7 X; x# D
    x
    ! N! y( g$ s0 y  wj9 ]9 g- C% E# |8 ^2 U' W; `: j
    ​       
    . H# b. G/ y6 s, D$ z4 K8 f4 D" R1 A+ `) W4 g; O
    ​        ' @# ~) c) |7 U, T5 e
    )
    / K1 ^& T% H5 S* M0 N2
    8 L9 _) Y) B# E8 }& q5 ?) e
    ! Y9 T) Z; C7 Q( B( w/ s( O; O​       
    . }9 [7 ~% V+ P. p8 o$ o9 F* [" T; I$ Q  j1 k. K5 {3 b
    9 }5 K) [1 X0 J7 f
    当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。( k% s" W! K0 N. y
    (3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理2 z7 |! b5 Q( E# o5 k3 o
    即,* U  {1 r# F$ M' y. j& F8 w0 Z
    x∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m$ a" k" t0 O1 H7 b5 n2 H* R
    x
    & d7 G/ ]6 a8 z! n' Z# eij
    ) _9 p  u" x5 q. c
    7 }9 P; P* y; f4 `; K​       
    , l8 K, F  E+ \* _' L& X$ s$ |* H3 `' W+ U
    s
    - l) g* e  E6 v8 qj
    * c6 Q' S: N, N5 o# {6 q7 Q9 S​        . D' g3 w) S8 R$ K$ K# C
    , g9 Y# P2 g$ `' l' h
    x
    + K9 ~, l$ p1 |. j, t2 _ij
    - n- L+ v$ _: C$ I; P2 B​        ) s; ], S* S0 D% ~1 h
    0 j4 B9 d8 u0 @5 o5 D7 p$ R" Y
    x
    $ X. K. f4 D# L: Z4 p' r7 I2 jj
    1 |/ \$ K) d, |0 n4 \6 e$ v; ^​        1 _- x! ~5 n# z( I

    # Z7 f5 N5 W8 V. v​       
    & I0 ?% w4 O# K7 [; `4 |, D, ^+ M) w
    ​       
    7 [5 u: A/ {5 E, V% f ,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
      T  V, |2 L1 b" b7 o$ r3 D# p6 L
    1.1.3 变量筛选
    - Q( x' z8 M" p! W
    7 S; l5 |8 A7 f& P——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
    6 s" \. S. w* P" ]1 n( n3 l8 ?8 J6 p/ j2 \3 }: ?: E! u
    一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量2 [" O2 c* D( P2 e3 _$ o
    一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少
    ! i7 C! v" N) ^- [(1)穷举法
    : L; x, |$ J: ~列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。/ d: k: t9 S: J/ s+ ?! ]& S
    假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2 1 W0 f7 e) ]0 [7 ~5 @) y7 B4 e/ K
    m8 ?2 T+ w, ]5 m0 }8 U
    ​       
    8 v) Q$ i* O$ I6 y ——当m mm较大时不现实) w8 {$ Z5 Y4 ]3 @# y6 y6 Q
    3 b& I- h0 z0 K0 z" L
    (2)向前选择变量法0 r# q( L; R0 i+ w& x/ ]; o

    6 R" H  }# n, x6 Y4 g8 X7 r初始:模型中没有任何解释变量
    / R3 {) I, _9 V. o- f% @4 G# v, L分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型0 t. `; k- A- E- @9 T$ m
    对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量
    - c! f. e% {- i- l对剩下的变量分别进行偏F检验" m% g! s! d# m# q
    至少有一个xi通过了偏F检验?/ @' D$ {8 j6 K4 Y% E4 b  C
    在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量
    ; _7 z+ t) r3 T结束
      e" X5 P+ e  t+ oyes
    ; D6 T& x: I+ p* p/ uno
    9 J: ~1 e9 w; x% V& u% Q* t缺点:
    ! s) ^9 B% o( J8 a* Y0 ]一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。
    9 K6 ~; B' F: d7 \9 V6 b# F1 P
    " Q2 e" F+ G' W+ y; h: L0 I% E(3)向后删除变量法
    / ~4 O* d, z$ V# f1 w& Z1 k9 O  Q
    初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)
    5 C" {1 `- P$ y/ D1 v% Y分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型), O+ P7 K: O; d) M0 U
    所有的变量都通过了偏F检验?, S. M3 ^9 {$ Z* S
    选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除3 G, w9 s' y* b  L  k% f$ I
    结束9 n! @6 Q1 P# o3 s
    yes
    ; _9 s! T3 z6 S5 m: x3 Ono
    $ |  z2 x8 z8 v缺点:
    1 O% X% T# ~4 O/ X+ R一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。7 Y$ j/ v' l* _  U- R

    # j2 G/ |4 a  B, W: l(4)逐步回归法——最常用
    . f% I8 h0 a" A; ~% @" I9 v6 R0 s8 `# O. e
    综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:( E# K1 s8 M+ K6 p: @

    9 A- A: a. v% [) r. H+ r对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型* }/ o" c  W) _: a( ?
    对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除! [$ I( L- q3 H. R5 W
    具体流程见书,此处不再赘述。, `+ M! L8 |7 f- V; G$ g9 K
    ( z" L+ n  R7 F
    另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F
    . ^# R; C$ R  ^; p/ K+ z7 x( y# {4 f( C
    ​       
    : @! w, e' C$ c3 P8 M; c# L >F
    $ w" v3 E3 I5 X7 [7 X+ C# x# w4 P5 }0 A& V7 n! ~# N
    ​       
    4 c0 C" E: D2 T' |" n; Y: Y  ` ,式中,F进 F_进F ' U6 @  m' A3 f7 ~3 z: I
    ) h  n( }0 y% J" M- m0 U( x
    ​       
    , L5 x: C# i7 o% `( {5 f9 ]) o. E6 ` 为选入变量时的临界值,F出 F_出F
    7 X& D3 g( b0 u3 s, s4 I" n6 M( E/ S8 U: H6 Y; ?% |2 N2 n% @
    ​        # K8 P0 W6 O: y0 W5 v' @( o
    未删除变量时的临界值。$ o0 O" ?  l$ g8 b/ N
    6 {2 w' F% S, e: _- H
    在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F
    4 \/ O) D; A2 ]5 ?% s. r" S$ d* A+ C: J2 E# G
    ​       
    8 I* X  L& V3 g& w" X. ]* N 和F出 F_出F 9 x( K; s+ |8 {5 z$ @( B0 [

    7 \& d' @5 R! i. u​       
    1 h/ _* K; m2 _* R( ~ 的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α
    5 V' W' V2 P0 |" {% W5 ?9 G0 l9 G/ ]
    ​        7 m' N, P5 X. _: C2 S
    =0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α # L6 M) g8 D6 a/ Q+ [1 B) _/ i" a/ K

    8 \! U/ _- B, ?  o​       
    & B& J+ {- v% N) ]9 z =0.1+ h3 l; |' Q1 c5 b

    " d7 H' V  k: ]7 y% M/ I: w1.1.4 调整复判定系数
    % j. x7 @) p  n! c) A( V6 z
    . @1 [1 U2 J' ?* V——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R   ~/ R" ?! ~/ J0 n
    2
    & ~$ u% `! e: R! ` 和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 4 J0 _" i& H' ^$ F; M
    R8 R, o9 q6 }. A5 F

    " w3 [* I4 Q3 w, {: S2* X. `' K' r  G( G" a: Z
    ,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】
    ( d  s% r. n3 ^6 r, G1 F( p9 \5 a1 ?8 J! v* ~. M6 [* D. M  c
    统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R 9 E9 k1 V; m1 F; r! I, _
    2" Y% M$ Y, f8 y
    的提高。
    $ m- x; [/ \: a当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df ' \4 ~$ y) i% N& y
    E
    % h- D2 n4 i% q0 N$ B. X% _3 o" J. l​       
    & Q& A$ W- Z+ z! |. T =n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数:  V6 Z0 \; |5 P& v1 {' J( q1 z1 I! X
    8 p1 |1 r6 O) E! A3 \
    Rˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}
    * K5 r- c* L9 V0 C9 [# JR
    6 }7 E4 T( y4 R' N7 |" x" P( [% i) F# N4 S; n- w
    2
    7 G" @  g6 x: ]9 S) a =1−
    + \; q1 J! A4 BSST/(n−1)
    # s/ \- f2 v3 q' E1 cQ/(n−m−1)
    " |1 P) N: e# V1 z5 s. _2 S​        $ ]" L1 N) s* u8 Y7 g
    1 {' w  A9 q4 Y

    8 X, n4 t1 m! ?此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
    0 a5 i, U3 k+ e; ER8 [# A+ q/ v$ o% G2 z) v. t: {6 L
    : H9 x# p: t" a; a
    2
    6 n: P0 z# w+ t0 V# B) a5 Q 还可以用于判断是否可以再增加新的变量:! f4 U9 y* g4 j, e+ a: n, ~
    若增加一个变量,
    % v! f0 v6 G" ]3 V
    & E. F$ l& i% t5 c) wRˉˉˉ2 \overline{R}^2 ) Y9 c9 X2 C5 K/ @
    R
    - F/ _- Q; o( b. L5 ^% }
    ! q5 J( ]2 a& v. z8 H2
      B( y" F% N6 N% v. K: P 明显增加,,可考虑增加此变量% w" o+ V8 a/ v4 a
    Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 - h5 \+ q; h9 O: z
    R5 G% E+ j" h; b5 I  @
    & D  C' I  O3 l* I+ j. t/ g3 }9 `6 v
    2
    ! H" [0 A( O/ i6 P3 r 无明显变化,不必增加此变量
    4 k/ h% m4 `& L" v, `- Z1.2 最小二乘估计7 S9 T: {/ V( f1 i
    2 B: k  D+ W6 p3 Q7 f
    一元线性回归、多元线性回归——略。: n( p2 L: D( y) R, t, z- S
    1 O! }8 ?1 u) g' w5 m
    2. 回归模型假设检验$ n" q: @/ w8 F! c6 A7 ?% j
    1 c) g2 c4 [1 \* k; Y3 }
    ——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
    * S2 [8 e1 ]) }9 m, @; Z
    ( k; _8 v# `7 ]+ w8 Q2 C8 C, [7 d具体检验方法见书,此处不再赘述。
    . e0 x2 S  B. a( V1 \1 _* c
    ; H# K. N/ a# T7 E% @5 A$ \- Z3. 回归参数假设检验和区间估计5 Q  |! X+ D& s2 Z: W5 _% h3 g
    * I" [9 I6 \% _& L9 {; R
    ——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)* g. ?3 i) u( H: b% z7 |2 p3 F
    * \6 Z) S: E+ g+ u% g5 T3 Y
    具体检验方法见书,此处不再赘述。' V- n: I. P# w5 e$ e+ ^" Q

    # y: p1 D8 [/ D( `" F7 ~4. 拟合效果分析5 p$ \$ P1 }9 L/ m6 q# H

    2 f% x) o/ v; T1 h+ D. g4 A/ x3 _4.1 残差的样本方差(MSE)# S- m7 z8 c) [6 A8 E' s

    % O( Z! J+ j9 x& w1 \MSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^2
      M$ O6 f& m, B! Z5 bMSE= ; O" Y' i' S5 M4 L8 y
    n−2
    7 z# _! j* s5 h18 N6 k6 E5 @& @  A) k6 i! e
    ​        ( |" |9 Y( L; H; g& T5 b9 U
    3 W1 D5 P7 K3 V/ ^$ Q
    i=1
    & u7 S1 _  V+ b+ C9 Q
    ' A2 `7 \. j- u4 ]* }n3 @$ p7 G' _; U, L
    ​        # q6 G) U* L  x0 }
    (e + a6 n7 K7 e1 G/ L; _
    i) I& n* Q1 ~7 e! f3 s% {: k# c
    ​        - l# N# @9 v. f' [, U

    ! S' \- S+ F6 S3 y- H9 `9 d5 We
    % I  g' ~! ^) ?5 I  W% o+ H7 u$ N# ]6 x )
    ! Z, ~' d/ s; F1 |# A2
    2 I5 ?/ Z. B& W& |3 L6 {: z) `$ g8 _/ Y: o4 t
    9 x4 f: ^' `+ G- s# c. F
    可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0 0 T. |1 N$ y" l; v3 C9 M- v" b* l
    e
    , s8 ~% ]* M$ I =00 L2 q+ K& y; V+ x1 g
    记,
    & z; W3 V4 f5 C* a, WSe=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}
    - F. v- f, ?; u' g4 }S
    8 S  D( O6 Q5 \e
    0 `# e8 ~& N. E& O​        * w0 s- a9 N5 P- n2 ]+ c9 u: J
    = ) R$ u, {: T( w5 c9 Q  D
    MSE. h' Y0 P& X0 U4 z
    ​        6 B3 b, z# `0 d# S; O
    =
    $ j; m: d. d- p" g$ f, un−29 J' ^+ L' ]1 i; l# v/ i
    1* Y  a% ?* h( P1 d" o
    ​        " @( F( B/ }' T1 N9 k: x! N

    - X, F0 h: s0 v/ c$ L8 a" `2 xi=1" t; |, f" R% X# L

    + U0 D  q8 {9 t' D/ `7 R7 k) Z​       
    , ^$ _& f! D8 H) } ne   r. H) M2 _$ X" \* C
    i; t' S& r3 I, u( _3 y
    ​        $ }9 y5 M" p1 p; Z. v0 C$ B
    & Z9 j7 [5 |9 i+ t" g5 [4 g; C
    2
    2 b) Z: T0 [. U( N  q. e. z: f# D' x9 M6 f8 A0 ]9 W! T
    ​        1 ?0 }; m2 N0 R0 l) N

    & I0 o+ L5 v! q+ Q( v3 h) w" o& l- J2 y
    Se S_eS
    ! }' p8 g4 P% S" r; V  ze/ T# Q- i9 t: \( q1 L# U, E) H- W5 q$ R
    ​        1 a5 P* Q% n+ x/ d7 X. @- g
    越小,拟合效果越好% b! ]% I0 ?# S; Q- j& s5 B+ O

    - z, d* Y5 q; n' A1 M% q1 i4.2 判定系数(拟合优度)3 S# R' K: r8 f$ Y
    ( P7 z! c% e& m/ \  X. a
    ——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R 6 M; D4 M6 }" m; x; b
    2% Q) }2 ~6 F- f0 L- ^% M! a
    表示
    7 g, R9 e/ Z  U6 |3 j( FR2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
    - o9 v8 w" m) T0 h% Q! LR # C3 \5 U2 O3 V( V2 e" @
    2
    9 ~" o  Q; @& y. W- l+ V =   E1 W) y, i8 E/ y
    SST
    * _8 n- b! U9 gSSR
    ; |4 x* u: {- j. K8 G​       
    2 w+ D# P0 s0 `& ?8 f3 x =1−
    # j2 Q# p/ U# O9 d6 ZSST1 K/ d  M, u- @2 ~: X
    SSE) b4 c% C+ u) k+ a
    ​       
    3 A4 q  c2 e& |; V6 P
    ! A" e8 `/ B1 J- u; y7 z, A7 F
    , G3 o3 P, s0 U" V; X% d/ X) u$ p8 y其中,# T$ {0 X7 C* \! s2 l% F
    SST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-17 ^7 A) Y8 y( C) q
    SST= 6 e$ G. U" s6 L6 r  T( v9 l7 s
    i=17 H  P) Q4 i: w8 f/ {2 y3 Y

    7 L. ^& ^& m# j9 ^* Y. K; p+ An
    0 T+ Q7 Y8 z/ }9 d​       
    # Z; [. r5 `  _7 S+ N (y
    1 l  Q6 i& t1 zi
    3 N' B; v3 K1 Y- l1 i1 V' N# H! @​        7 i# N) o2 q) ^) I

    / V" n+ \) B# r* G: X, g5 ly
    2 S8 C! e& @  D3 o​        " q# P$ @8 W9 v
    ) . k0 \. b  [' ?8 g/ m6 n
    28 n! t( C$ w- M$ R' s3 j. d( V4 }6 x  g/ A
    ,原始数据y . Y, A* Q' d4 _3 s
    i3 v0 k: l" h) R- V% v
    ​        % h& ]  A, s, k' F7 m
    的总变异平方和,df
    1 }8 J- L8 @9 V4 A4 @* `& ST! S9 l( F" \- [/ \" ]
    ​       
    ! W9 z1 r4 P# R; ^1 v& @ =n−1
    $ Y0 M5 \- L: ]/ a- F. l3 i* B" g/ w* k- R4 \3 G( Z" ?
    SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 1
    1 f, }1 ~' s5 j' i$ xSSR=
    , b- d/ X- {$ d- E+ Ui=1
    6 Z: z" t: k9 x* z" d0 a" b
    , M- k5 f  U# y* V1 n1 F# Un" Y  h. O5 T; ~  f
    ​       
    + e. @" }  C, R6 ^ (
      i1 h- n4 A6 L% T+ n1 Py
    - L0 M8 f3 I" g) O5 p0 {4 {i' a" D& V! A% E( l4 e
    ​        2 \) C9 A+ x+ y/ c6 q5 D+ o/ P

    ' W1 ?. r3 U' O2 ~  v2 m^) u# g4 r7 C* \# C* [
    ​       
    : `2 A3 O$ o% O( o
    5 h- @/ c7 n  x1 h. ^y* L8 s1 _) d. e) X5 x- v$ Z
    ​        ! W6 t( |5 B& l& H
    )
    4 ?, M1 X; r) E0 `* p2* p9 p: g, r8 `: c
    ,用拟合直线可解释的变异平方和,df
    " _& o6 y+ w& KR
    3 \. a4 J" b2 T6 \7 F  s2 l​       
    ' z1 |5 N/ v8 M3 C8 x; N- s9 W8 Y  G =12 q, u0 J1 W; `9 j7 _% }7 |

    + k$ Z6 g# g4 g/ O# ISSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-2
    , u7 d8 _/ P- _) o' c& f" hSSE= % a7 l; C; M7 @7 u4 }, l
    i=1- R% x4 n& B5 R" \% y* e

    2 F; r* L; K0 C1 S) w) V* E& gn
    . L) p% P9 Z/ V. L​       
    9 b' o8 f+ k3 J  _- x4 j6 M9 r (y 4 D  p+ o7 F: O$ }2 O9 G* P) w
    i7 L% c& m* m# c7 q
    ​        4 K6 B# }  R% \
    4 X  e, {( V: F% ^! k
    y ! _& E: V3 |8 G8 c
    i
    : G, u0 T1 ?, R3 U9 K. I2 N4 ?​       
    ) [2 \6 @5 p, e6 `0 a' E
    7 y+ _0 C6 D3 [+ D^
    - Y$ d9 Z( C9 \+ c: n7 {​       
    ( x0 n5 \. O$ O* F3 K  P( S ) ; M+ {/ e4 z6 x+ P
    2
    / ~4 P& r9 W( e( r5 j0 E$ [) q ,残差平方和,df
    : t% l" H( h0 P) Q# G8 uE' W' H/ E  i$ ~" Z* a
    ​       
    & X5 m, X" @3 S =n−2
      T; k: m4 G" a3 T
    6 i# a1 d' F9 S! w: ZSST=SSR+SSE SST = SSR + SSE6 p; p- _. E7 K* [2 b
    SST=SSR+SSE
    9 }! R, u4 b) g/ l% z; f
      c# s2 P' @7 QR2 R^2R
    ! V8 ~0 J& C4 n" F3 P, K2, }; r2 U# \7 ~: Y: T
    越接近1,拟合点与原数据越吻合4 t  U, T, R8 H5 e
    9 Q- l8 w6 j: |6 l) p1 n  m
    另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2}
    % G" u; u1 Q) e; _: QR & X" a/ f1 M0 P$ v
    2
    / P- {5 P6 k4 Y) F, f  R, S% J+ i4 W# ~4 H3 {& p
    ​        * n! E: s' |) ]0 p/ L
    等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1}
    ! |" F* w1 W9 Hβ ) C$ o4 o% \& u3 [( A: n  x
    1; Q, Z7 i) j& U1 `
    ​        ( t. |9 C7 C9 w4 N% P  O
    & l0 `$ B, F, s& Q0 U6 j' c/ n
    ^. a3 q6 R. F8 P: G  P- W9 g
    ​       
    % u  f% z  O* U; e 的符号相同
      U6 z" p- h, S5 i) s, e# t( l( Z+ ?$ x0 L
    5. 利用回归模型进行预测
      h* z" P/ B7 p. l
    ; W& ^4 J0 G  _3 ?8 ~8 [% W3 I: f& X, w# Z) `+ `% l( i
    ; `% l' o: E7 F6 F6 t( U+ Y
    其他) a! Y* U$ U- r8 K, x! e( J
    0 u0 C, o3 ~* {+ v# _7 m6 ^5 ^
    偏相关系数(净相关系数)9 E' J5 G: N* m1 h, e

    & v# i" b! f0 `; V在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。
    7 ?) T, I" f6 u, }, @5 h1 E% y* |# s# Q( e/ F2 k$ ^
    复共线性和有偏估计方法+ B0 G6 W0 a% B7 g. h
    ) J0 [# i( C5 W/ Q& s4 y. y- I
    在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
    ; o" ]2 u6 `' o/ ^
    ; ?0 ^3 i! O' P3 i: |; W  G$ @# ]- X解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性7 X& c9 p/ Z% {* b. c" \$ z
    例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。- O9 o. b: @" v& H  r) |5 B, k2 C
    (P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)) v: L, A* U8 b( l, c& x" v
    5 N3 _1 ?6 F& n% u! w6 t
    再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性# a4 z8 b2 S8 x& h

    1 ?! n$ Q4 r" M5 w/ a, {小结
    ) @7 d+ G( w9 I; {, z6 ?. T. _6 x
    ; ?- y" h; A6 J/ Z+ E* f采用回归模型进行建模的可取步骤如下:' \1 P4 Z9 Z* L/ A% \
    * L5 C4 M7 W9 D" P6 ~0 Q$ z; J
    建立回归模型
    " z- C7 R$ X- _3 i, [; k% _确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量3 l5 t4 \5 z$ v* ]
    ————————————————
    . P3 m% n6 }  P$ q版权声明:本文为CSDN博主「鱼板: RE」的原创文章。
    5 d, p6 i+ @& C原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451* ~9 v7 S' b; u5 Y9 ?  {& m# x

    8 Y" b6 }6 F" ?9 l% l
    % j, U, V+ S! ~3 \4 J9 b/ S  v
    zan
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