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数学建模之回归分析

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    发表于 2020-1-8 09:11 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    应用场景( d3 j" X8 c2 V( Z2 N

    , @8 a/ B# s; c* ]- ~简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
    9 z. I$ m6 h! |4 ^  F3 D, wP.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
    / Q0 w% J1 j* B* ^8 ~' ?$ G
    " j! J* |% a+ r6 u1 s* g具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:8 u5 B/ z- }# W( q& b: I( u
    - O6 e6 f+ u4 ~3 V: S( r8 Q
    建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx 3 f9 d( U; |8 [/ y9 l8 M2 {6 ]* }) I
    1" N. U! k$ ?% ], U0 y
    ​        : L5 D* ?* S7 k! ^' {+ ^: R7 m7 {3 C
    ,x " G+ r* E, R9 u8 ^) P" k1 T# A
    2/ x$ N7 k9 {$ p! [- T) W
    ​        * v9 v5 w6 |# K
    ,...,x 7 J0 N* y+ Y" \2 a9 z. R& U
    m
    $ O3 w/ d) b/ M' W7 Y* R+ ]​       
    % w& V' n3 z3 l# X  Y+ q: O 之间的回归模型(经验公式);
    ( e9 m. {$ X4 V- ~2 m2 p对回归模型的可信度进行检验;9 s5 S( B% z9 k) F6 {" d
    判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x * G7 V$ m. W# {* P4 o8 e
    i
    3 S' U( X6 f5 j% n# a% H! |​       
    2 R3 N# z: T) u" ]1 C (i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;( `% s# y- U/ [: @! f, W
    诊断回归模型是否适合这组数据;
    ! }  b2 b$ P! d3 x9 j/ T9 u, x利用回归模型对y yy进行预报或控制。
    ( V; b7 f! t0 l% T/ v/ D& j1. 建立回归模型) c! {# b8 e7 @6 d. ^* U
    7 }+ E" ~4 F8 O2 z9 M/ l- J8 R
    1.1 筛选变量
    . H/ j7 R9 X8 z* T$ _3 D1 r, C6 @( B; s1 o
    1.1.1 确定样本空间  m. w7 G7 J1 f% v; F2 B# m
    ( V5 R) s; r; b" y4 ]. E
    m mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点,, P" Q# m& o3 O3 G/ j4 u6 Z
    (xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n
    ' W" ]) g1 s+ `0 f% P: V) f; N& h(x
    7 O- X! @' B7 y- E, L% {i1
    4 D1 W+ R4 _2 U2 j. W6 m; C​        + P  j9 ^- F* E/ E& m# _
    ,x " l8 k& |+ `8 M, r3 U% @9 a
    i26 Y4 s; ]2 N/ V* H; R
    ​        " H/ ]/ w: c& z; V* x0 k8 t
    ,...,x
    * S% [! p" c$ qim: t) w: M6 ^2 x
    ​        # s; Z; v4 R% s7 S& S8 l! Z# A
    ),i=1,2,...,n
    , L1 P% K3 X8 I6 n' g
    1 C8 m% }4 D1 g6 m所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
    ( J; i/ l7 \! B- p% @9 F/ i5 O" B
    1.1.2 对数据进行标准化处理5 r6 }" z( d9 A9 f1 X8 Q, V
    : y8 V% U# O# M) e
    (1)数据的中心化处理; J9 j3 O) N3 U. r7 V5 |
    实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx 0 a! f) @$ f2 U) b9 d
    ij' C2 \/ {# H/ ~6 A7 Z, \! d* D5 ?

    8 q+ F1 I# p0 M​        ! _; p; @6 v. `0 Y# \# s2 E
    =x 8 s, S6 D9 n4 |" T
    ij
    $ Z! x  v% x7 i% m2 n​        $ Y7 b( _# M$ E' a! D
    " w7 m% g) Z( h, @
    x
    0 i# \  j- |# _5 @j1 w) Y: y) V% n% P9 q3 S4 q
    ​        * v  @0 [. K. m" u) n
    ! R$ K( N0 U8 N
    ​          ?# e5 J0 Z- G& x& Y
    ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
    5 U4 P" I3 [- F/ d% C! I% [* f1 l6 M" O9 Y
    这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。
    7 @  B0 p0 Q4 h* ]  T2 @: w(2)数据的无量纲化处理% x# M+ s  P- }- t6 K* P
    在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。
    : Y; l6 z8 l, n0 i% g为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1
    ! C! [# k6 c* T0 B* G( j- _即,! g5 L( }: o5 q1 S
    x∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}: x6 [. f3 M8 }1 b3 Z! Y) f+ F
    x 4 l9 _" D  P1 ^! r& [6 H- v
    ij* Y0 Q/ ?4 C8 L0 V/ M9 ~- H! @8 u  c

      ~8 k0 L- d. i; Z& a: E​        # a6 K1 p! h, e& K1 c: I: r( R
    =x
    5 f: c# x4 v+ g! }; Y( q0 F8 v, gij
    ! U6 u$ g1 ~' Q7 n) Y$ @​       
    5 t6 W$ Z8 z& `! h" ^5 T4 W" E /s $ }4 b0 k1 m) Y/ X$ Q: G, S
    j
    " ?1 v8 F% h3 o( c. R​        ! z% K; Z/ ^6 h1 h' N
    ,其中,s . R( U* A* `6 W# m) I
    j
    - G8 j4 x" G. I8 A​        # F# ~) H4 K! e6 z
    =
    - O8 D# D% d* q) fn−1
    4 D- O6 W) O* S+ c" `5 q8 h  l5 W13 K3 z3 i  q; _' |0 c
    ​       
    2 I- M( S  O' E6 L
    , @3 E) h3 d/ u8 Q3 t) V& V! mi=1, T  P4 j6 k3 Q0 n5 O* o) n$ e! P
    9 F8 D. E. z6 G4 c8 D9 `
    n. e5 [2 t6 t/ c" J$ e
    ​        6 p! k/ {( P) m  Z: o6 X: F% m
    (x
    ; l+ m, a4 i7 c* D7 T" Z: Fij
    # J9 I, @3 u5 j& g9 k# W- H$ c$ K​       
    1 e2 m" U8 o0 Y: u
    0 H# L3 L; S  B  o  V' i- N$ Fx ) T- d% k* w" g' |0 y. m% y
    j
    , a, U' ]. h' G5 G3 z2 U( _​        ! w1 Y" D  X8 U% \' l

    / K+ n4 \4 {7 q- G, [​       
    ; ~- T; C' Z7 L3 [& H0 y ) 2 h, A3 {: ?: x7 S) @  q1 ]% T6 x# h
    2- Q3 I# }$ `0 W& _$ A
    7 K* b9 z! a0 _
    ​          v6 `9 g& P$ D8 g

    ) A' k0 O7 x) P+ S7 i- P! H( M  _' |
    当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。2 y- v" I! }' d' \" A% Q9 |8 M
    (3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
    7 L% d# M) j1 A/ q" b% c- |即,
    ; v. D' J. w) w3 qx∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m
    5 L: R5 @% Q4 t3 f" K  n, }x / \. ?* d. a* M& F
    ij8 S& p; ^# I5 ~0 R0 d
    $ [2 n% M$ L8 ]+ U% B: d  L3 j9 R% I
    ​       
    : W1 X. T1 T7 P( n$ t
    - I6 W$ ^* F) e; Z. l2 d7 `% ps , b1 v: u8 w+ {3 q: i
    j
    ) u& E0 ^0 `; r  Y+ Z( u​       
      u4 u" Y+ T# B" o5 |" g. P. `$ M4 R  u  T- T8 T
    x
    * n' g3 n8 @3 ]( Yij0 x  {  z3 P' ?1 k: m
    ​        # X- X* }* T/ E8 ?' A
    * _8 S7 c$ H3 S+ [1 S& k: r
    x
      N6 y. T5 o9 y3 t' g8 E9 u, m+ l$ Oj
    " p3 T, q* r1 `. i6 |6 t​       
    , u! }; c& W/ N
    : k* Q8 }/ e: R. L, K​        , }- \+ ]. b0 _3 s7 T
    . ^0 O0 d: l" j' R0 k4 B
    ​        % ~1 J. W; Y4 G8 y" Z* N1 E' L/ c
    ,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
    1 [1 V1 S" }9 V& `: H
    # B# Z  N4 E/ ~8 ~1.1.3 变量筛选' D+ N+ P  _, e! z% T
    0 [; [, n7 m9 U. F3 M$ w8 I
    ——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
    9 b1 d6 C- Y( d8 R5 n  ?% [- h- g: V5 z% Y, W
    一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量
    + V7 M# a7 M: ~1 \' H) e一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少) C' c4 g  N  f
    (1)穷举法
    7 C6 F2 J/ }9 B* [列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。
    9 A' p. `7 ?( D( ~  b) c假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2 8 a- p$ J" s* L
    m
    ) `( b$ X- M. G% B0 A0 x​       
    , |5 d4 d7 F9 p8 `+ I8 U/ Q$ I ——当m mm较大时不现实1 t: i4 o4 Z5 d9 ~/ f4 x3 _
    , |) k7 S% D+ s  W8 j6 b
    (2)向前选择变量法3 z' [: g1 B- k3 @4 f
    ) \( O$ {  C6 x6 E  Z2 E
    初始:模型中没有任何解释变量
    ' a+ ?2 f" }; N$ Y0 d+ y$ W  \分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型
    3 f5 G: O8 ~, b' r2 v' F  Z. ^0 K对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量
    3 f- k, b3 X# \$ b) g( v对剩下的变量分别进行偏F检验
    1 {; V2 }3 F7 a5 L- g! T至少有一个xi通过了偏F检验?
    ' y% D; V4 V7 }8 i在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量
    # M+ |9 t6 [  `+ I7 q% x3 t4 A8 q结束& H6 c1 [- O$ k! v( M
    yes
    8 Y* m4 u. T0 Eno
    ( @+ L6 S% z& d缺点:- D/ N9 g3 W. v3 D; R& f6 e4 Z
    一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。
    / a0 c! Q+ n2 d3 w4 G1 Q# ~; i! r& T( G  h% t7 o. R) X- |
    (3)向后删除变量法
    " C5 y9 q) U. t1 {: y+ Z  Q( u0 t6 o0 s- M
    初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)( A; N( d  d" x+ s) D) r- E5 y
    分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型)
    - t  Z, w. Y7 c7 p4 }- `所有的变量都通过了偏F检验?
    ' W) W( ]1 r- g1 S选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除
    * Y& L, ?1 `' V  H3 {% n结束( Y6 c/ A2 L  S7 Z0 w2 ?5 W
    yes( a1 {& t/ H) t& b
    no
    $ n" a. t/ C3 X; j# [" f( m缺点:
    ( \. \7 b7 Q2 q5 }一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。, z# a# l! S  L# N. s1 i/ q* q
    2 ]. v) e! S! r& ]# ^0 S. T
    (4)逐步回归法——最常用& G# p% c% L* a1 b! d! L
    ; W' t$ ?9 w7 Q
    综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:
    + z2 k' k0 W# t4 l
    % R5 Y5 q* O: i' g对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型
    / Y1 U( B& E  @$ u: m4 C! l( d对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除& F8 D; U: i: y9 Z! Y6 W- ~7 y: z
    具体流程见书,此处不再赘述。# v6 a6 x  f$ p7 ]# r/ @

    5 p! X. b9 c3 I另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F
    ( h8 S- R. f7 z6 c. N" R, P- X& D) Q/ T" ]: T/ i
    ​        # b: {, G# f+ d; J
    >F " U; T2 ?% M4 l1 A- ^4 p
    0 n; D& i/ p% j/ c  e8 I
    ​       
    8 ]' a' K7 l' I ,式中,F进 F_进F + |/ w9 Y" b* ?. X' A$ o0 O$ s
    8 l6 l% ]/ R6 I% u0 Y6 ?3 D) }0 ?* Z
    ​        ! q  ]6 ]4 D" h9 {( X' D4 x) h
    为选入变量时的临界值,F出 F_出F
    2 ]2 o4 X& k! P7 e6 ^# b: U
    4 b, X% F* m' Z8 U2 L8 T2 F7 ~​       
    % B( k6 ^* l+ e, Z: k  d 未删除变量时的临界值。
    3 f* R% r. ]3 h: o; W
    & h, N" S5 F% d8 i- h( r在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F * W; L* N! g+ Y$ j) S: l4 |1 _
    & V7 |3 V0 N% ]/ k1 }4 [2 u
    ​       
    0 R9 ~! K$ p& Z: Q 和F出 F_出F
    6 k1 Z5 G* n& u/ Z7 g9 r, v% p4 L" w
    ​       
    ! H( c) I; e! p# a4 T" {; j 的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α
    ' W$ F" f: h8 @, }$ V0 A: `8 W
    1 f: F, u  @8 i0 X; l​        ; m5 \/ ?" U) G7 K1 Q
    =0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α , V. Y4 a5 c8 F; k! i1 }3 ^
    " g1 d+ F2 Q6 B! z0 ^
    ​        2 b' K0 x( a; F6 D3 F
    =0.1
    2 H# s; G2 I, B" {, p( i1 a7 }: k( M7 s
    1.1.4 调整复判定系数
    $ D3 c1 o6 P* `* A9 @! [& @
    % Y' c$ B- V) a7 L& C' S3 R——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R
    ; r2 B  ?% {) w; U& K2
    : H* w' l* C/ y  Y 和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
    8 H% K. K9 J1 _" V& c3 G6 m' fR% D$ ~2 [/ f# V

      l, @' i  A: v: H' S2# H, q- Q) k, G
    ,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】
    7 _9 \6 g7 s$ r0 F' W& e2 X
    2 |1 b1 k- ^* n" Y/ Y, h+ E统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R
    & R, B% {9 ]- l7 q2+ W9 v/ S$ }# @7 J$ @3 H
    的提高。& [1 u3 r4 H$ i( P7 G' V
    当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df
    & c# U0 n9 p. @- ?E
    9 V5 ^) x8 k0 f​        / n. X* i$ J% P2 J2 \' P! B. }
    =n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数:
    ' D1 ^8 v2 R7 W5 _1 q) o! A3 `) c1 ]- G
    Rˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}9 U3 P) i5 o0 D6 L6 _% G
    R
    $ x1 B$ ~' d2 o
    * b, C+ `8 Q! O+ F1 H6 Y2 w6 g6 r; g2' x% c, L  ^% L+ q
    =1−   Q% _" t/ S, I! Q  }5 L- {
    SST/(n−1)2 ~. e) g. j% [$ m+ Y
    Q/(n−m−1)/ Z8 ?  {- L" U. m' g
    ​       
    & g4 @9 T/ p1 K9 K: Y4 d1 r! o2 h$ C, ]) M4 U9 P4 E  S

      @  g: q' a# k# n4 Y此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 ) T" f; V. p' W) q
    R
    + b* i0 E2 t# [7 _- H. ^0 w, |7 E9 M9 I7 _' D1 Q. }# r
    2
    % U4 Q4 D  g6 L" ~. t 还可以用于判断是否可以再增加新的变量:
    * C' L& t" j* j" ?; @, m若增加一个变量,
    # k* A4 w0 r% C
    ( \0 Y# s9 R  j5 m. r) z( cRˉˉˉ2 \overline{R}^2 / T1 F* V! w( J( Y
    R! Q3 o: i+ c8 L. t

    ; |' l( N2 q$ B2
    * @, K$ L' S9 i( u! \- t 明显增加,,可考虑增加此变量
    5 j6 ^  E  o0 E% v, N  KRˉˉˉ2 \overline{R}^2
    1 N, d# H4 z- v* YR- [) s5 K: g+ L

    # |; Q( ~  d; g: t. Q$ C0 R: M2- Y) \; i! s  _( N7 J4 T4 f; Q
    无明显变化,不必增加此变量
    0 ~2 t+ u2 {/ D# {* |! ?! F1.2 最小二乘估计
    6 u8 W2 h7 P5 h  ]) f0 P& w* S( P- J- O/ H
    一元线性回归、多元线性回归——略。
    9 T) V* F: J0 u( B3 H" \* w' n- B. @
    2. 回归模型假设检验& w+ L. `9 p" d4 O8 h& t) O; H

    1 x9 w% X! p- z8 U$ x——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)) z, U+ X. W4 X2 x$ Y
    7 E' P) n( `, h$ j
    具体检验方法见书,此处不再赘述。
    ' U- g. P; K8 i- D2 D1 v; g) U2 m3 _% g. @0 x
    3. 回归参数假设检验和区间估计
    ! S* W: N$ P# f) Y# E% p# N+ r4 l. ]8 S0 T. {. J
    ——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)7 Y: J( B/ @* b9 z3 N
    " c0 z$ m4 @# x; i
    具体检验方法见书,此处不再赘述。" k) K) R! K. O( l& |$ F, ]& U

    $ B3 V' q: U* O  Z7 M3 r  _4. 拟合效果分析
      p2 D& o( ]1 F
    * M- G7 V0 I' d, P+ j9 O4.1 残差的样本方差(MSE)4 d% `5 H" u: n, z5 U' g" ^
    , }. Q% g8 a7 M/ J2 x7 ?' h2 x
    MSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^2
    % g  w0 q- |9 a& B' w: qMSE= - R- U1 Y& B2 Q, O
    n−2/ P- `* a0 d) C) G% e- h* z- B% C# c
    1% B( G/ Y& |9 n6 T0 ]
    ​        + }) J; s  I: R( o

    # X4 \3 e: U9 L2 }$ pi=1; |: o+ U% Y9 X- e
    % x+ K: _- H: X- h( Y3 X+ Q
    n) M6 @0 X& X7 M8 |) O8 y9 a. k
    ​        9 N, ?( w  ~0 r5 E6 K9 ^
    (e
    : E: I! C+ O0 O$ x* Q8 @/ x4 z0 _i. B; ]' f& {& {0 R, F
    ​        2 J) N- [4 l& O' t, r+ l+ G8 {

    ! |, J* f9 W7 R; ]  N4 Qe
    & `/ W+ \  N1 i: D7 L5 w )
    1 f0 i+ `$ |8 F; ]" N8 Z. Y2 I9 t2
    / t& I- p# ?3 g7 J; V$ x- v, s, B4 e1 z5 `4 E3 r
    ; |- Z6 |8 Q. t: X
    可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0 ) L3 f- j4 l* [, G/ y
    e( b5 _1 X2 d. z2 @" p: L
    =0
      Z' m" \0 @1 m: [" E7 g5 x! B2 r记,
    ; f  _' ~& ?1 y' G: ?9 RSe=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}
    7 m. K4 O9 _' e, D6 J' c8 sS 2 x3 c- p% P2 s( T, W
    e9 H- H  u' m- [% c0 H$ q
    ​        ) j( U6 u5 C, ?2 F, H. p
    =
    6 u4 @: J& [' S, pMSE/ }5 L( F- y( n; U9 I
    ​       
    : J( l6 ]  h3 B& A =
    2 K7 z" `! O' V" En−2
    ' {+ s% E9 x0 E( n" c( t( `0 z% {14 ^) ~: Z& E* M; Q- T5 f2 ~
    ​        2 \$ V  }, x: f" R* y* E
    " z6 \8 A: j$ \% N6 m
    i=1* d# e& W7 a! [# ~# @/ C) H& j

    9 i* f& r6 ^" X7 L; k​        % a+ s& W; q+ f% M5 u9 G6 v
    ne
    ! v; S  l* d; w- J& `i
    2 {8 O8 ^  E0 u) L- S1 f+ K$ R​        4 v/ d$ _% z4 @! d% [
    ) b3 r& `& Q/ D! t$ x
    21 K7 `; m1 I, }- ~$ ]: f# ~0 K
    ) T' O1 v( K3 W  w  N# X
    ​        # H9 b3 d: b# W5 A! b! t& Y* L
    # p% r7 h8 ?5 J8 `$ A+ V5 Y

    / i. U- ]/ H, H" t  O& @; J3 gSe S_eS 5 q5 m" R4 i& ?4 v; e. x$ }
    e
    . _0 d( ^" E. D) V3 h* u​        3 D; O7 `" I$ R/ p) g
    越小,拟合效果越好& }2 G$ W0 l" ~1 k4 m* X

    ) b# M. I& J0 v8 ]4.2 判定系数(拟合优度)
    3 r2 E; r$ M1 s( f% Y: M3 a# I/ f( L5 [
    ——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R
    . |- ~  W4 ~) [" t& Y26 Z. W% Q% }( ~) R9 V. i! {& Y
    表示
    " \2 m* V, Q0 p! _# }/ I# I- fR2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
    ( G  M" M8 r. L: l3 v3 L, d( w, }( ~R
    8 z- W( S2 A% m  L( x2% |# T4 \. z+ `: W5 j
    = + Z+ K" u4 ?& b! D  L
    SST) _+ d; b6 ~$ r3 }6 t/ N% [
    SSR
    ! H4 H6 V' i0 T- F) ?0 G  J  v​        7 _+ p0 g/ B0 p$ S! p* s
    =1−
    ) k& k$ O. u8 E* l) x/ K0 O: X! USST- j" U: F: N$ ~3 n
    SSE
    : B/ H: t$ [: U: G, c​        0 Q7 Q, \2 Y. L, z" R8 `

    1 }" |/ ^$ x  x% T+ P& R0 p: ]3 I4 M
    9 _! r) I8 H- R其中,. G; H3 V" W  g- |/ l
    SST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-10 `8 W. \/ g* A# G3 T
    SST=
    # _1 f; n: }5 ?( pi=1
    2 e+ w& x0 ]( D# h4 d0 `. W2 q' h
    8 F2 d+ \& T; pn
      Z/ s. D+ }: X6 }9 }- r​        6 W% a  U! f9 t
    (y
    $ i# m; _' t0 R6 E  i, @+ u2 Vi! J" u' b4 f; a1 m+ _% b
    ​        + S& ^! ^9 V1 G  _$ T* |

    2 q) T5 X! e+ L% `0 Ry
    , T: A  L# U* A- K5 p​        3 P. n$ `* m- n. F' c' r4 J( T
    )
    1 N# y6 ~2 I. o8 B& n5 l2 M2: l5 f- ]1 U. E/ o: A5 E
    ,原始数据y
    5 ~. \6 r* H1 A+ z! E3 a% l6 ai# b6 a4 f3 E1 r. w  m% y9 m0 h
    ​       
    0 c" e& }  c/ k 的总变异平方和,df , B2 v4 m' W/ B( p5 g
    T
    7 k" w% I, Y0 ?$ O6 v: |- L​        $ E, F' e  [+ G
    =n−1. u. N$ j3 p6 S9 X- F+ K* S1 a0 `

    & E$ a  }, o0 I2 m3 \SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 1' k  N% T) q; n3 L6 x. V
    SSR=
    ! z! k. ~. M7 H4 ~. L4 Z' zi=10 O- v# N& _4 L
      [# N6 i. ]* }+ g; j$ o
    n% W7 b" A6 y$ D. h, A* ^4 x8 i% s5 B: _! J
    ​       
      @9 x& Z: F# C) \' L (
    + W+ v9 C( ?( f; |+ Fy
    $ z) Q  {/ j2 P7 L2 T/ ~. Mi6 T9 p1 G9 @7 H$ G
    ​          b% i' @! Q, U9 F/ Z& M# `- `

    9 z( z' ?1 o! n$ ^^
    ; @  c; c! a# k% `​       
    $ G2 a: k% l8 v0 I+ {1 F' `$ I. d/ v/ `+ h. _3 u0 p2 j
    y/ b8 U3 ]1 `8 d  u+ B6 g# M
    ​        3 u- W  M. }( c7 j! s% f
    )
    5 m" U2 l  E- n2# m& a/ d4 k7 [
    ,用拟合直线可解释的变异平方和,df
    * R0 F8 Q7 r- O, ^7 I0 X# i0 V" iR( {6 G) N& e* ?
    ​        1 q1 l0 `* o8 t( }, S7 ~
    =1
    $ C" A+ t: j1 w2 x8 A4 X
    " i8 O+ n: p. SSSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-2
    . o' }2 I# ]% e. I, |/ PSSE= 5 D3 A2 d/ Z6 w: ^, Q. a
    i=17 t: o1 m5 q& [+ L3 x
    + t+ I( L% x4 w" p( z/ ~( {
    n
    $ p. p9 U. E' d" D​       
    # F# _) y. U' r- w- E- o% T; `% M (y 0 c$ x3 K. E/ C; e. J0 g7 T6 \8 \
    i( \/ G5 ]3 t/ ~! x8 C$ ^/ K% ]
    ​        4 m2 t; M( t( g! J& E7 T6 Q

    : K1 l) S: G+ f' L3 b- ay
    9 S0 A8 `7 K$ L' H' I1 p6 I" d( g' q. ni. f/ @/ r' n7 r- }7 l  J- [
    ​        2 x- c: v+ \3 V. T
    # [' n$ f5 t5 Y+ u
    ^3 s# E/ A# K; ^9 s! r
    ​       
    % F8 p  {# l+ O+ I9 A ) % [3 m0 H4 e4 u5 @7 j- E
    2( H: V5 {7 h( o* C
    ,残差平方和,df
    4 F2 `8 u* [9 r5 z# Z+ X: D* D. hE
    " H' \( x4 z! h& A​        : s) G& e+ ~% C$ b6 ^
    =n−2: j9 Z. u7 S9 p( d  `" {
      J9 h, |4 K7 @$ v1 P
    SST=SSR+SSE SST = SSR + SSE: e5 V0 y3 j5 {' ^
    SST=SSR+SSE
    ) S  t3 q1 w, m" P9 w; v" J. c( d: v, L4 z
    R2 R^2R
    2 t4 v/ R! p' D6 a2 P. t2
    ; J" _+ i* C7 Z, {3 u. v 越接近1,拟合点与原数据越吻合4 f6 _% l' b1 d, Q5 M8 ^
    7 s! {1 N5 V- J+ o9 S: @6 [# u
    另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2}
    5 ?% Z7 x- g- v7 P  k2 T4 fR
    - B' d( ?3 i) s5 Y1 g. |$ ~2" J; q9 s& ^' l% ]8 n# D
    6 a8 F! U2 E' w% w7 Y% _
    ​       
    ! `8 o1 p& m! _# Z) d8 I5 o* F* k 等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1}
    7 s+ y! \9 C8 M' z. Q) S) T& y! tβ $ m5 l* e. {. ^
    17 t! Z( L3 _! ?/ Q/ Q0 m8 k, Q1 P
    ​        / E6 b9 _6 I% P6 l8 M% t1 ^
    . c. D% j: S  Y6 N( s+ c5 H
    ^
    / b4 y- M% \, y​        2 {# p! W* J7 x- g
    的符号相同( O9 A6 F( E' @: Z3 V3 Q0 P! ~

    # C  F) p) |9 X5. 利用回归模型进行预测
    ) L" [# u4 I( y8 J; E# P+ e, `- j0 ]4 T6 C& O

    3 Q! W' j. H( y4 s# ^) L2 c, Q
    " [" N6 o1 _1 I4 n其他( b+ `9 x: O8 Y- |! J+ j2 U' J

    ' Z8 e2 K. s. h  Q3 u# ^, V  o* H3 C偏相关系数(净相关系数)
    9 }4 R$ u7 |% A4 w0 v  u; E1 H, g
    3 E' y; A8 f+ Z8 H- F在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。/ k6 i( {" M9 D
    0 d; U7 N/ n' U6 a) G2 }& C  q: J
    复共线性和有偏估计方法
    # L* A$ u6 \, _- q6 a/ ~& G
    & w5 G! {8 w$ e  k在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity), y1 v/ O$ f/ Y4 O

    - ?/ N! ]  m: F! O' c8 N& s解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性
    * d# ~8 I, e, ^* M! W4 E5 u例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。
    + Y  w4 {6 M* a  B% T4 y(P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)
    & X' z& R, U' V8 _4 I9 g7 s7 e7 {; U
    再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性- y+ F1 l$ a, p6 t

    # E! H* c$ Z$ o6 b小结
    6 p+ G  b5 A* y: t5 ^3 I& O3 F; }' _! h: ?
    采用回归模型进行建模的可取步骤如下:
    # a# Y( Z. N' f9 T- Y$ n' ~+ @
    ( r4 q: O) d- C+ ]; T/ M建立回归模型
    - A% L( c. I$ s7 @3 M% Z6 b) B确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量
    ! y  o2 l- M( @) @————————————————- o  p- }  Z' s: x; h
    版权声明:本文为CSDN博主「鱼板: RE」的原创文章。
    # i- [; [- v* ~1 x5 O原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451! }4 v( r  _- G- X' k

    . J: \- U' m2 j. J: E2 T9 h& E  z$ a. ^2 u6 v) Y
    zan
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