Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
4 j) H; G% q4 }; H' t从最简单的开始
- O/ B1 P& C% A' p. N( l& \让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：

' L) K" l+ d+ B方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
( S9 [8 P! M  D4 Z) j) X1 ?4 u多面体
3 r+ X, ^! j, C从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
0 g# o0 ]( a  r# |3 Y/ C6 I& ~
可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：

  P9 d/ C0 T7 H3 Z+ u; l4 W这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

% }  O; V4 K) K) ?3 d" Z+ p* R2 X) u2 @

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
' B  B5 U% C# T* W. o" m$ |

正八面体

求正八面体的法向量：

& I0 K" k, \# w2 P- j; d化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：

然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
* y2 J( Z% l' e$ n$ ^+ g8 z
+ D" v% f; m, T: U, B% k

正十二面体

; L1 D$ S8 s/ e& p: E5 |3 g

正十二面体的法向量：

& v3 Y) j9 S; v/ }& f
7 V; L* K  @$ g  k$ |% d化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：
7 N2 Z8 Q" P7 d

' t7 {2 {  H1 M1 f- X5 s
. Y2 q6 ?6 y/ e' q% R  M为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：

3 C* `) T+ M) m. Y- _  L1 w

十二面体

# d3 s/ t1 p+ r$ P* d$ M  q计算各个面的法向量：

" b5 M+ V4 }8 L! ?7 X+ s

化简并去除方向相反的：

得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：

" k* w' w6 k/ a, R# G* e, q. L! l

绘制正二十面体的曲面方程：

4 R; P" r( t5 q4 {7 ]

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
# A1 m" X' e' k# h( {8 B% C" t

正四面体

计算正四面体的法向量：
) }/ h3 d( N+ G: n# z, S! J1 j. Q1 e

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
8 ~, r9 A% B9 p; ~* y' b
而改用指数，则可得到如下表达式：

以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
: G1 T+ C- I4 X  C

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。

9 t3 x$ s" ]1 B' r. c观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
- f: C' s. q" j/ j7 X: v
求法向量，化简并分组：
3 L/ Q  P+ X; P' D
得到两个指数和的表达式：
. o8 D/ c$ n8 h! r' S. ^/ I
; B: U, b) p( c. q  H) P/ U分别绘制可以看到两个正四面体：
* a8 U5 u0 a$ K$ u" s
如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：
9 U5 ?2 [; R* C
可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
" Q; \! X0 }, B9 S


) V8 p8 `8 D8 N# O! Y1 N

五复合正四面体

. p4 k& r1 Y0 `  ^; I# B+ F

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

* |5 @' m( J$ X1 [) d, ?; s得到方程：

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

: b- V5 M: a) C- x$ W
) }# ?9 f- y) x. g9 }$ o

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

" n' V  v' e8 I  Z
. }/ G) F- {# K. y7 d  D2 _1 _# H
' Z( _( ], _4 W

更多的复合多面体

1 M" x) r) t5 ]2 a! X8 n' P: C! l只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。

- V# E& s; U& v; f5 c) o& H# v2 x
* q* ~$ r/ w- w% R) }对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
market@asdoptics.com
8 D* ~7 x4 U9 wwww.asdoptics.com
- s% _- `7 F/ N  F% m5 b* ?
  r3 e" y, \) c. [, N8 l7 ~4 v

宏心

变幻无穷，无穷