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Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

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    [LV.4]偶尔看看III

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    数和光的世界

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    发表于 2020-3-24 15:49 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    曲面除了可以用参数方程的形式表示之外,还可以用隐函数的形式表达,即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面,因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里,我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面,而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
    ( ?5 ^4 F2 S) {9 `, b3 L5 W' Z从最简单的开始
    8 c2 O& o" h$ ?* w3 Q( ^让我们从最简单的,大家耳熟能详的球面方程开始:
    1 s$ C4 ^, F& h0 L3 g# p3 E 11.jpg ) n2 W: L+ h6 _* X* y/ q
    方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单:每个点到原点的距离都是 1,这就形成了一个球面。相比较之下,球面的参数方程就不是这么简单了:
    & n3 k$ l  o/ M. H, X多面体/ p2 l" g% H0 _* t; T7 m! ^
    从球面方程出发,我们可以看一下更一般的形式,比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的:
    4 y) R6 f$ C" b9 P5 z 13.jpg
    3 p5 ]1 M% Y6 i! N- ]$ u, W; h可以看到随着 n 的值不断增大,方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢?我并不能完全解释,只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式:
    " E* m5 q1 F! n# X( [ 02.png 7 }9 J3 \2 \2 ^& N- H. X2 j  J9 t" ~; A
    这是 Lp 范数的定义,当 p 趋向于正无穷时,上述表达式的极限是:8 V+ E, m7 @4 Q
    03.png : h- {" R) z/ ^  j/ f  D9 [
    也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上,当 n 不断变大时,在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程,而这三个方程恰恰是立方体的六个面:x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测,我们只要能知道多面体各个面的平面方程,就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的,多面体各个面的平面方程,只要知道面法向量就可以确定平面方程了,如果面法向量是 (a, b, c),则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。
    利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下:
    4 C$ j. \  ^, E- a0 ]2 ?
    14.jpg 4 o9 A, p) r$ Y2 g, s
    接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧:
    , r5 w. D- B# t% w2 [
    正八面体
    * b3 o6 _5 Y+ w6 G! J0 [/ j$ L
    求正八面体的法向量:
    04.png 1 ^$ V" p  D* d& Y1 _
    化简并去除方向刚好相反的法向量,因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程:* f: q* d- B# J: z; e6 |
    05.png
    + q' X7 f- B) N5 P/ o然后就可以根据这个求八面体渐近方程了:
    . Q1 w0 t( D, u) P 06.png
    0 {( D4 @: }4 A, c1 V6 r6 T1 a/ } 15.jpg
    . t0 N/ r" A9 E7 s
    正十二面体

    4 S$ h! E) W: `* o+ A
    正十二面体的法向量:
    07.png
    4 g& [# ^0 E- k" l) [1 a
    * N* j, L6 K  E' ^! l' R5 W化简并去除方向刚好相反的:) K+ c& f* l7 r; t. t
    16.jpg
    & M! R: j3 j7 r( E1 `
    隐函数表达式:
    ( W0 ?& ~6 D7 m$ A
    08.png # ]! G2 f6 z; o% s3 B
    * [+ o2 N* W: y! B
    为了计算方便,我们用数值近似取代根号形式: 09.png 绘制图形,可以看到,随着次数 n 的不断升高,图形越来越接近正十二面体:5 j8 J% q& I* m4 p& S6 s. r
    17.jpg ' v/ z4 e6 H8 f
    十二面体
    8 d/ X8 @+ d' k. k; E* B& B) C+ q0 h
    计算各个面的法向量:
    ) i  u, w/ j7 B2 I 10.png
    . g- r$ a8 ]  X1 C2 j' {: y0 w
    化简并去除方向相反的:
    18.jpg , u" W! k& v6 k& d* O
    & v! X# K5 j; K6 V0 ]  ^0 e
    得到方程左侧表达式: 19.jpg
    7 s1 r# s% o. w为了计算方便,取近似值:" Y6 u8 F. v  k' k& L- }. B
    20.jpg
    : ^; k+ P  Q) `5 c" a$ }6 {
    绘制正二十面体的曲面方程:
    21.jpg 2 o! Z& t8 E- s/ L2 r4 W. F6 q+ x1 ?
    绘制正二十面体的曲面方程:
    22.jpg 8 T* B8 e3 ]# I0 R
    复合多面体
    从上面的计算可以看到,根据猜测做的推论基本上是对的:确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到,这种方法有很多局限性。首先,所生成的多面体必须有平行的相对的面,这样采用的法向量才能一个顶俩,发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里,只有四种满足这个条件,还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次,用这种方法只能表示凸多面体,所谓凸多面体,就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的,解决方法是引入指数函数。( D  ?$ ]. ]5 z4 C( `- o
    正四面体
      p( g- c3 ]$ A2 H+ F
    计算正四面体的法向量:! [9 Q: o. B& S' D1 ?
    11.png
    化简:
    12.png 如果用之前的高次方程的方法,那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体,因为每个法向量都生成了两个平面: 13.png
    ! N8 x' I5 d+ V  d, G( L0 W 23.jpg
    0 d& s' c- J3 {- C- W0 F而改用指数,则可得到如下表达式:& W# H1 f& J; P# x
    14.png & A; }0 r; j$ G  _/ Y2 x1 b
    以此作为隐函数果然可以画出正四面体:
    , j5 K* C1 f8 Q9 q# I 24.jpg 1 [" ^9 S2 {! Q, c0 k: d
    为什么这样可行?我也只能给个近似的猜测:对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程,两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程,把几个这样的平面方程加起来,就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响,保持大体是个平面。
    9 Z* T! c/ b& W. O; i( @
    另外还值得指出的是,可以在指数上再加次数,让这样生成的多面体的边缘更加"锐利":
    ! a% [  v$ E& B
    25.jpg , C9 }' Q1 U; I! z
    星形八面体
    在各种各样的多面体中,有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成,我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体,就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。) F: H" A* R1 I8 p* y
    26.jpg 8 z3 i; I# b0 d" [
    观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现,前四组只包含顶点 2、4、5、8,后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量,然后分组各自生成两个正四面体曲面:
    ! \* {8 r$ z6 l 15.png
    8 {+ D7 r9 z! r0 U! g$ k求法向量,化简并分组:: a, E0 J/ f/ t3 q" v: p
    16.png ; {- A  U' ]. w" h
    得到两个指数和的表达式:
    8 Q) O% a) T, t3 W& Q, {: d 17.png 8 q2 Y' O  C& T5 s/ B# m% z
    分别绘制可以看到两个正四面体:, ?8 B6 J+ h' n( @5 x
    27.jpg
    5 n: z3 v& A. e# u8 ]+ z- Y如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢?直接相加肯定是不行的,那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧:把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale:( T& N/ [) |- U6 i
    18.png 7 y" h9 F" [! t. r% [
    可以看到,这个方程确实可以绘制出星形八面体:
    9 A! |9 t1 }# C# ^ 28.jpg : h( E( @' F' g  L% N
    可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画:
    2 K- {1 a1 [% W& K6 W, C$ K$ q 19.png
    / m, f4 ]$ {. g 20.png
    8 a5 h1 s' n( K" N* T' i# F 微信图片_20200324153944.gif
    1 q6 }( x( t+ n, @$ L
    五复合正四面体
    2 R% [, D5 `/ j  g
    我们可以再举一个例子,五复合正四面体,这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体:
    29.jpg
    - [, r! `1 L: x# U
    照例求面法向量,化简并分组:
    30.jpg # b7 n  ~9 V' z4 T
    9 g, {& P" T5 R# V6 V: s. w
    得到方程:5 b  k( y, {5 S, A
    31.jpg % H/ B3 N/ K' m/ e  J. [* `
    绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面(警告:由于项数太多,运行绘制速度很慢,运行时请耐心等待):
    32.jpg
    6 r  e2 l2 y* _
    , u& D5 ?5 n8 s. Y1 m: t6 C9 L4 B
    我们也用它生成一个旋转观察的动图:
    33.jpg   P  c# i3 a7 b. D8 _
    7 }, ~% I1 N0 J6 I; F
    微信图片_20200324154410.gif 0 x0 D. a) O% ]" T$ Y+ ~5 O7 g
    更多的复合多面体
    " I. H  }8 F, {' Q% [
    只要是由凸多面体组成的复合多面体,理论上都可以用上面的方法,先求得各个多面体的方程,然后“抬升”到指数位置,得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体,我全部列在下面,感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
    , W( s5 `2 n$ s& l0 ]1 } 21.png
    7 u. d0 F& K. @3 p5 K 34.jpg
    7 R( X8 [) W& r, w7 ]对此有兴趣的,欢迎联系我们共同探讨。9 A, H9 m+ x) n1 y+ u
    market@asdoptics.com
    . \& g/ z- K7 L" Ewww.asdoptics.com
    ) \0 s- T' Y2 c' B) f% {  a5 f" _' ?4 T) [! k* O4 j8 k1 z4 N

    12.jpg (7.97 KB, 下载次数: 427)

    12.jpg

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