曲面除了可以用参数方程的形式表示之外,还可以用隐函数的形式表达,即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面,因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里,我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面,而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
. n1 x" S3 V, {* W从最简单的开始+ v0 n+ h) \1 F$ E
让我们从最简单的,大家耳熟能详的球面方程开始:
7 j* n0 ~) ^# _' W- V/ ?- j5 c
" ]( w* }1 X$ {8 c) D方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单:每个点到原点的距离都是 1,这就形成了一个球面。相比较之下,球面的参数方程就不是这么简单了:
8 A, w% J/ J7 h0 k% h0 o) ^多面体, _( p( c, ^7 D1 i
从球面方程出发,我们可以看一下更一般的形式,比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的: & y4 b5 G) I/ h" s0 ?$ h
3 i8 @2 D$ O; K2 x
可以看到随着 n 的值不断增大,方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢?我并不能完全解释,只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式:
2 L, l# T7 p) ]2 ? _ ~
+ H! r7 V* s, }' h这是 Lp 范数的定义,当 p 趋向于正无穷时,上述表达式的极限是:; H a0 m3 _/ T' d9 h2 D" r- e: G) s
8 I" M g4 `' b2 ^9 B2 a6 x
也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上,当 n 不断变大时,在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程,而这三个方程恰恰是立方体的六个面:x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测,我们只要能知道多面体各个面的平面方程,就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的,多面体各个面的平面方程,只要知道面法向量就可以确定平面方程了,如果面法向量是 (a, b, c),则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。 利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下: - X6 \8 \) O( h0 Y+ }. `5 _9 _) W
4 |# Q/ K J3 r) F5 c
接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧:6 w# m; t( m* K# n& _* X
正八面体 1 a* N- g, K" B- ~3 K) P+ H
求正八面体的法向量:
, q4 z/ Z3 ?+ S( P2 d9 f9 @$ }) d化简并去除方向刚好相反的法向量,因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程:. n4 E; [/ k) F0 Y# J2 _- M
9 z/ m/ h, m. e3 y8 d7 k4 U
然后就可以根据这个求八面体渐近方程了:
$ F, T: C1 O& e. c6 C" b' d1 G
2 M7 e7 C0 O) C
4 N) v0 f2 ~: h& d2 S8 ], E正十二面体 ; \+ @8 P* Z0 u8 T3 O; K2 r
正十二面体的法向量:
7 B, ^4 `6 M9 ^( p2 t/ q
* g& l+ ?0 G# Z+ m* i' j5 y5 x; f
化简并去除方向刚好相反的:* |, i- \' k+ a: ~) A
. l( e8 i; k4 N+ ~0 y
隐函数表达式:: _2 V# s$ v- d5 S2 {
1 }! U9 q. L5 }/ M
: n, \' J& ]8 Y, d/ ~; R# Y为了计算方便,我们用数值近似取代根号形式:
绘制图形,可以看到,随着次数 n 的不断升高,图形越来越接近正十二面体:; i+ c( k8 Y; i% b7 X" Z
6 _# p7 o$ L2 P1 G
十二面体 - `& b3 }8 @# ^( N
计算各个面的法向量:
4 [! g0 p4 v6 D+ W7 u0 ~8 }
' R' N2 r H" ?+ S0 Q0 u化简并去除方向相反的:
& k* {& y5 O) {8 V' L$ T: I. Y, e* V: m, f0 \0 j! x: t
得到方程左侧表达式:
( Y( h% g$ H+ M0 i9 Z
为了计算方便,取近似值:
* V& k, h# }- q/ C, H) g
* l, l/ r- l) n7 ?. k$ @! G
绘制正二十面体的曲面方程:
+ ?9 ?+ e) p" o) p绘制正二十面体的曲面方程:
/ U; s! r5 v" e: O
复合多面体 从上面的计算可以看到,根据猜测做的推论基本上是对的:确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到,这种方法有很多局限性。首先,所生成的多面体必须有平行的相对的面,这样采用的法向量才能一个顶俩,发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里,只有四种满足这个条件,还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次,用这种方法只能表示凸多面体,所谓凸多面体,就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的,解决方法是引入指数函数。6 V2 B+ h J$ M4 \/ x3 S8 T
正四面体 . E/ R5 Q" V4 `- S- ?
计算正四面体的法向量:
|& ?. V& ^. _# I/ q/ r' }
化简:
如果用之前的高次方程的方法,那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体,因为每个法向量都生成了两个平面:
3 O3 W$ P5 B6 J) k! J
' D8 E* E. ^: g& ]8 E! l* }而改用指数,则可得到如下表达式:: }! d, O) \/ t& Y5 b I4 Y; Y4 Q
' w; j# d E: Q9 E9 f4 P# H
以此作为隐函数果然可以画出正四面体:% d) g4 p2 \. j, p i3 d8 q) K U) s
* Y9 \" o; k l' ~, j( X
为什么这样可行?我也只能给个近似的猜测:对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程,两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程,把几个这样的平面方程加起来,就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响,保持大体是个平面。
! h5 }/ U. I. H% g7 I! ]* _$ A$ E: A0 S$ J另外还值得指出的是,可以在指数上再加次数,让这样生成的多面体的边缘更加"锐利": 2 H5 D1 z3 u3 i
4 ^8 m" t/ g. m( L5 g. I
星形八面体 在各种各样的多面体中,有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成,我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体,就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
1 N1 i& P! q) M- D) a& F
+ e+ C! X( U* O& ^) Y6 _) S
观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现,前四组只包含顶点 2、4、5、8,后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量,然后分组各自生成两个正四面体曲面:
% n! n/ I- e: y+ y) J; v% h
7 q4 j P2 S0 B+ W
求法向量,化简并分组:
$ Y- |, n9 [: L* x8 k. J4 ^+ b
* a( d+ M' U8 g1 H' X" {: `
得到两个指数和的表达式:- z3 m0 t# G9 |* f6 Q
+ @& }) w5 `5 _7 U
分别绘制可以看到两个正四面体:9 r0 O" b8 L/ i0 g. i% m) H
- Z* B0 @6 j5 O5 f1 {# Y5 }4 h如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢?直接相加肯定是不行的,那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧:把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale:: U& j% ]- n& o( C% [ ^ r
* C- J. o {. ^$ [- L& h可以看到,这个方程确实可以绘制出星形八面体:
p) e- F: d. F: A
# l G q& B. i' `可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画:: o7 w2 R! ^, Y% b0 U7 F
+ M8 V0 O. C/ e0 _$ L
9 Y0 K& }* A0 R) M7 z- A4 Y
, O2 o7 F% G8 a9 z1 L/ z" x9 F五复合正四面体
5 z1 D; w/ z+ j8 D1 Z, d我们可以再举一个例子,五复合正四面体,这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体:
- K) e; v% m# p3 U# |/ r/ P, a* v
照例求面法向量,化简并分组:
1 g7 C6 H# u4 x. m( @* D& D
1 A6 w( A4 @# v- @
得到方程:
1 d3 W; ~" [2 V& s0 g% u
5 b" M7 t; o' \绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面(警告:由于项数太多,运行绘制速度很慢,运行时请耐心等待):
5 h. U/ x- `, U- Y
% z( w3 }+ o2 Z* A' P. ^6 f$ y我们也用它生成一个旋转观察的动图:
2 v4 A+ u. A; p. U1 B
& x$ e: J+ X$ ]! A1 T K
, G4 i- s; p2 p6 S, Q# m8 L/ w更多的复合多面体
( K8 `- C) u! ~' K- |只要是由凸多面体组成的复合多面体,理论上都可以用上面的方法,先求得各个多面体的方程,然后“抬升”到指数位置,得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体,我全部列在下面,感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。! U* m; i" Z ~3 Z& W, o& z
]. b, D: O9 y7 S% |
" l) p- @# Z- N: O0 J对此有兴趣的,欢迎联系我们共同探讨。
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! |) O! {3 t, X2 \8 K4 D ^ |