数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

+ p8 w: g' P* Z1 A/ l: C2 M指数模型
* u& u/ Q: B$ ~6 N7 {定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
& {$ f' n9 |( x9 e4 ^2 s' li(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
2 q' B2 k% g' _* R9 Oi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
0 R( }) v" j& L5 }6 ^
以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
- p! ^- w( u6 g0 o3 k( B
import matplotlib.pyplot as plt
& k# v# i6 i6 W8 }9 P8 @8 A; D%matplotlib inline
) {' ]% z* W  C" w! FdeltaT = 0.01
" u& d" X+ X5 Flamb = 2
i_list = []
) U" s) ^, {( s( yi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
5 [# e7 L0 ~- y7 {    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)
+ H8 V2 i# X, q+ _4 l
1 Y" {, h/ X& Y* c2 s2 t5 x: `将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？

& T% y( w& q3 x
实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
0 Q0 |/ C, n* |0 i' L
SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

$ H8 \7 U, F7 g0 ?在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
$ ^% Y5 l/ `1 i& Y' C
# n+ B# w8 l- l5 @2 ^  W1 Z5 VN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
7 W( D4 g: `, U8 Q% H7 ?& d) e
$ ~5 k% b  _6 _8 |2 N8 [, M同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
5 \6 f; C5 ~- z. v/ @- p/ Y%matplotlib inline
8 V: N! f& S2 L( E6 pdeltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
$ l) h8 K$ z! c' s* {7 y8 ws_list = []
; N$ o- n' H! r- u% w% x' V6 a+ M2 Xi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
1 r1 H$ Y1 N* P, bi_list.append(i0)
) H) }) n* I  }" ]/ as_list.append(1 - i0)
5 ]5 J  d1 ]( zTot_Time =5
: @$ A" C2 N/ J. p6 ~, j% ^4 r8 xTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
+ S! G6 Y( ~6 l' f- z( I. [##
- `1 F4 p" |( M" cfor i in range(TotStep):
* }1 e0 H1 @7 q# x+ ]6 P0 F% K9 j    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
; o3 m  s- W8 R( S% l. E; R    i_list.append(i_new)
" }; {, W! i- g  I, \2 k    s_list.append(1- i_new)
6 i9 m# B& A7 FTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
" p2 o: S. r$ u1 p9 nplt.plot(Time,s_list)
8 Z/ q$ C- L$ f! h. uplt.title("SI",fontsize = 20)
$ ]! W! A# p/ l0 rplt.xlabel("Time")
) N" U- W7 M4 Z, Y* i* \plt.ylabel('i(t)')

" D8 E: @* `7 T# g4 h- j从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
" ~+ @: U; p) ~) g& ]0 ~( c! S& @
然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
; R7 S4 V6 F1 m! c! z' T+ j" J————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「任公子ha」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383

' ]& l* v' q, q8 ^