数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
0 L! V# J! P+ g/ j: Z医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

5 I8 {  s9 M+ m2 ^8 N7 @指数模型
( B' V4 }" D& k$ c" Z# b定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
# K  W% {/ q5 {% Ni(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
: `9 T# u* ]1 i4 j9 mi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
3 \/ A! r" P; E' \
将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
9 T- o. t3 \3 W9 e; X$ e$ r
import matplotlib.pyplot as plt
+ J0 q$ W& V7 Z* R* G%matplotlib inline
deltaT = 0.01
, l/ G9 `( ^" l" H4 wlamb = 2
1 f. P/ j2 N  x# Zi_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
' Z6 L' Q+ u! |" `i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
# I1 z+ D7 j& M/ i: M3 dTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
, }! x: N9 Q) ^' W9 S: w( |    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
/ H+ N! C0 y9 o: q3 R' w3 t    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)

将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
  }) k5 U8 }# z/ M+ J) Y

9 Y* d& p. S, [0 n# A1 ^' O6 G实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
& D; e: f/ t& s9 @" l- ^$ C$ \3 X  [( ?
% l4 J' w) N0 ~) ]# |. h在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
  M# J3 b/ I8 d6 D, C仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
- m3 P5 x% O7 {& V4 di(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
& O; [( S2 h4 G1 p8 t1 ?* v, U, X& B9 X
% {2 K8 R+ V; n! L同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
, M. H4 o5 N$ n( Z2 H/ \5 ndeltaT = 0.01
2 h9 f4 _& o' {lamb = 2
1 |# f6 ^, R9 S& B) oi_list = []
s_list = []
7 J; e. L! O) L, o, Xi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
- c. h8 Z; U% Y! I/ I' vi_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
' D5 v6 B' V7 K) |4 H) |  `+ d% STot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
) r$ o6 ~# n0 @##
for i in range(TotStep):
1 d8 g  ^0 O! W; A1 }& @9 |    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
; B$ E1 x6 `7 n* t/ ?" x" e+ iTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
* A2 d" T- ?8 v9 Y, e$ Hplt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')
; N$ g/ z  Q( c
从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
7 X; X/ Q; u4 o$ W3 u* [9 ^5 ]( A
0 h: ~+ Q! y6 [, i! a/ o/ Z# ]- L3 q" n* J然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
. k. S- X, o6 M* T! W————————————————
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