数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
. q) j: G0 v- D5 w& m# ^
3 N5 L) \  D3 O; d8 m# k* N指数模型
4 h1 M- I5 o+ G( j0 f8 O  w0 L$ [定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
+ N$ \7 x- ~: G6 j! W# \i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
0 R0 [4 V  |: U7 V& y) B
将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
4 D9 n; B, n( A9 hi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

( @& k8 O: ~( f# Q3 n以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
1 `  }; r0 x# k" K
$ z/ v0 l0 C( ]- e6 i5 r' K: Limport matplotlib.pyplot as plt
1 W! {4 Y6 O: L$ U' z%matplotlib inline
% y, H" y. Q- B- m) TdeltaT = 0.01
lamb = 2
$ i* P0 N; j  j6 qi_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
8 n" o* `6 o6 T; `! \i_list.append(i0)
; s3 s! o; k+ i3 g) \Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
2 M' s# Y3 ~. |6 S1 n##
1 O  {3 ?- a: H$ t- Sfor i in range(TotStep):
4 {: ?, V( L) b, H9 ~: V    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
8 U, g3 \9 e" C# |1 Zplt.plot(i_list)

8 z, H. u* ]- T& W" \1 `将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
  `) [' l; I# M4 D

1 R, K& v1 ]3 U  s, _- w实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

2 a6 h1 e! o7 bSI模型
: ?4 N4 C# ^- T7 m: z现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
5 r6 ~9 g# R3 a8 n4 E1 y( `4 Y
5 F' J2 O$ W3 w3 {: f3 F2 d在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
$ J! ^7 H  F! e  K; ~8 P; I每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
# f) Z: }8 W( s" m9 ~
! z' a+ W9 b8 P4 r% Z消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
. G4 b, e# f+ M2 I& v2 i- ]
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
; n3 k. e3 G6 p& {  PdeltaT = 0.01
9 \4 J% E- _3 }: {lamb = 2
i_list = []
+ j" n$ C* E/ G' os_list = []
7 Q- i* }: B( \1 ]. ii0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
7 P% m4 J0 N$ O' vs_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
- Y' `! J; B9 uTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
' w7 {& i. l* l##
  _- m8 L* l& [! q# F7 Tfor i in range(TotStep):
3 L! l2 i0 p9 i) H    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
, i) P3 Q6 d, h5 c# M    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
  u- _! z+ u$ i: Mplt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')

从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

! w5 ]3 G( I5 y# F% I# I; |  `& e然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
8 @5 ~1 @3 i" t% O1 o/ K$ V/ ?, x————————————————
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! Z) v! `% Y; K1 i) N1 u$ y