匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
5 U$ U3 J( y3 M$ {若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
( ^. K% B; N, T# \0 r
【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
: A, j% F+ w) P% L7 \' X7 o7 P
1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
2 B/ S+ K# ^; Z7 S% g0 R
3 y9 {2 z9 L2 L7 w3 \  H$ U  H" \【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
: l- m& a. z  h4 G7 ~
  R$ Q9 i2 g% Q5 c/ \8 m∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

由上述定理可以得出：

【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

: g* N9 g* U# z由此推论得出下面的婚配定理：
2 k" A6 A$ y6 d/ y# S4 a
, B5 g  e4 i) u* k: \8 T8 u  R& [【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
0 M3 T' Q8 P- X+ h% Q
人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。

+ X& v/ x' d& p# {* R
, x" [5 g3 ?) Q+ P  V) }
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
/ T, w( g; J% l" ]8 ]2 X1 |$ O0 M
匈牙利算法
' N# d2 _4 c2 w: D# {1 I
, E& a* i6 Q8 v4 Q7 }5 H' I6 G
把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

3 v. f5 b0 F& y" A, l8 U! ?5 H/ M最优分派问题
& s) J9 q7 q/ O8 ^5 N2 ]在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

可行顶点标号、相等子图
, f8 C- y9 |3 u2 c( G+ ?* i/ o

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

: X8 S: b- U# _8 O2 {; @库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
# U# ^+ ^$ h7 X. h' g
% L5 g3 n' \: F  B
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