匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

/ t/ ?5 w$ z( P6 p+ |【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

5 q* W8 Y' T, A- k1 R  v1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

- g  Q6 }- A3 x% K- \! g' e$ Z【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
% }" j& Q5 k1 H
∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
# f4 w: F+ X6 {: J5 m* n
, U" T$ A6 G$ R0 ^/ m. E- R4 ~3 u由上述定理可以得出：

: u$ J6 Z& S3 L% d/ X【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
7 U/ w+ q. M  {" x
. `1 @0 a; Y# Q% m0 b" ]由此推论得出下面的婚配定理：
5 e% n  J- P5 S' |  u* p* W
% J- E, A$ }( d  U4 {【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
1 d# V6 b1 T' k5 h7 e0 A
! M. c/ x, F; e; Q1 G1 T8 e

解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
; X/ J1 M- y  g1 g$ m
, j% Q6 A( J1 \* e- h5 F匈牙利算法
; j! @* }( h: K4 {2 T) w

/ \* E! K, _4 C6 M4 C" G把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
0 p  l! J1 r4 {) X6 t
2 p. M! X$ W  }& G$ ?最优分派问题
! X- y% l7 Y! g* E4 _, e在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

* [# [" k' t4 w3 k7 Q% Y& m; T可行顶点标号、相等子图
. `2 q# @: c  x& h

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

7 c3 C. w4 _' z5 ?! O  [* s4 U库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


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