匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
' F3 c: O% f) w; v1 \
) V1 h6 j7 h5 m  K# z0 P6 v' C: k【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
( c" D! y0 a, k& R; o# _& _
1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

3 K! Z. u% U# ?, e. B; p8 t5 g, R【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
5 e$ L  }  |1 `( J
4 U- q) I2 m  l/ H$ Q∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
- t0 p# e+ Y: \+ D0 N7 p1 B
由上述定理可以得出：

【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

: S/ U( L' o& ^) v9 V; ~' A由此推论得出下面的婚配定理：

/ I$ V! `) W+ y9 Q【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

. @$ A! y. T2 p% v, A* `  U人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。


$ d/ }" e* e* t7 Z1 P7 B. S5 Q' y% ]
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
. Y8 b* d6 r2 S0 s
# J+ ^- O/ V5 d& k7 f匈牙利算法
8 O; A& c6 P+ ^% ]
% c& l9 G  [/ C( Y/ n# x( {
* A& ?* T9 J) M. J0 C" n把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
# p" \8 H5 I% e: U9 X# ?! H
最优分派问题
% d( `/ n$ ~$ J7 h  L* k在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

可行顶点标号、相等子图


【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
: @+ ]8 i$ |7 {
, U4 D3 I0 h0 U库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
6 {! M, f" z% n  h

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