匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
4 {5 ^5 G# ~+ Y若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
% N+ ~& h1 @; H! h" O% J
5 Y' ?0 L$ b0 z; K+ o若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

2 v  E- h! t' i! B) ~1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

/ B# S( G( Z2 r* h  T- D1 |【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

! l  ^' G6 G! G7 C0 s5 m6 F∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
. m, P  ^1 P* @  G* m  u
7 \; _3 b7 p1 D( K3 |由上述定理可以得出：
+ J6 O4 c2 n# O8 A, P: k, z
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

- r& }2 n7 h# ~" s; O由此推论得出下面的婚配定理：

【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
" m" L3 U0 y% J, \5 [- r
人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。

2 i- i" [/ ]4 R1 J% \& G, b

. [" c$ K: C7 c( V  s* `5 g解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

匈牙利算法
2 G. R: X. N5 j: |" o% n6 T
+ t* O$ r$ S! ^: V, h( z0 i* ]- `
把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
% Y" o" A- b1 }/ x, l' b+ |) U
可行顶点标号、相等子图
1 e5 i% j6 |7 O6 v* T7 O

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
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库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
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