匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
% p* e9 t* ~+ ^
若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
# k4 P$ S6 g* }6 d9 {, [1 c: n/ b* `4 U
【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
6 S! T/ s/ U7 K" \0 v
; T2 E! y' v8 h! a2 ^( ^$ H0 z6 H1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
- |# c  S, n  {! G4 i3 A. A
9 T8 i. \' I3 ?) z) o, Z【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

( Y2 @7 k% b+ q! P. v∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

由上述定理可以得出：
/ G# k8 o# E, ^7 c7 ?- O
' M' F% g; v$ B: ~. _) i# ]! t【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
  Y/ e) {4 }, P+ i
" _" ]( h7 A/ U8 U9 J由此推论得出下面的婚配定理：
6 N: R" D& J+ J. W& P
【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

. Q6 j' T  @6 f. M/ a人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。


. H1 |; W6 J& W9 z- }$ e
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

匈牙利算法

& C$ a  k6 a! L  U* u! I8 S
把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

6 d$ c, f: ~0 h% r最优分派问题
2 k2 n5 x( ]0 D# u- w& i( d在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

) @$ S$ }4 C' U2 Q! k5 l8 R) N可行顶点标号、相等子图
2 M% [: h. {+ \/ O6 Q( j
  {8 {7 g* i5 u8 e% e
1 J, X' w+ r8 q【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


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, I5 }# H  L( _$ d原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785987

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