灰色系统理论及其应用 (五) ：灰色预测

浅夏110

灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时 也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件 的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”， “随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的 GM(1,1)模型来进行处理。 灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广 泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。

) P" V" M" J! E6 p1 灰色预测的方法
" A7 Y3 q! Q# E; W6 _. D

: x3 u& g; l* F3 h+ `
7 E- q  K% a* T4 x3 t

8 w: h. S7 }6 N) p, I, z2 灰色预测的步骤
0 g. d9 _7 {4 k1 S7 |1．数据的检验与处理
/ O$ l8 ]% y1 I, t


2．建立模型
' R, `7 u" h- ]4 o9 A按 第1 节中的方法建立模型 GM(1,1)，则可以得到预测值

. p5 t' p4 r/ L! W- r0 K' C

3．检验预测值
1 p# i) z; |3 Q. ?; Z6 |

9 o) r, I7 S8 q1 h. K
) n0 ]$ s# y/ Y" Q5 p
4．预测预报
由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测 、预报。
9 g5 t/ }8 Z' L8 Q
; ^4 _# w* c! r+ L/ R3 灾变预测
- _% t- k, F* c2 k6 k4 x5 @1 N上限灾变数列
% e: p! c9 x4 S/ O2 a4 x* U- s) R9 p& y


同理，可定义下限灾变数列这个概念。注意，灾变预测不是预测数据本身的大小， 而是预测异常值出现的时间。我们考虑下面这个问题。
. X) j6 K. [" W8 _$ J4 L+ Y( F
( @+ d) |9 i3 p9 w例 3 某地区年平均降雨量数据如表 5
( O2 {8 ^. t) t/ v  l4 K2 W% h

% _9 Z2 \' ~* t8 ?5 x
: G0 o1 p& ~2 U9 \1 e/ |7 c2 N6 h
& L* J: S7 A& h& L3 n. O
由于 22.034 与 17 相差 5.034，这表明下一次旱灾将发生在五年以后。
% \4 [  S, L# w1 x
计算的 MATLAB 程序如下：

! F- F9 m9 P; |- u/ F2 cclc,clear
a=[390.6,412,320,559.2,
380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5]';
t0=find(a<=320);
" D; U* Y/ r/ u5 `& j, tt1=cumsum(t0);n=length(t1);
B=[-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end)),ones(n-1,1)];Y=t0(2:end);
r=B\Y
, I* C5 _7 Z5 ?y=dsolve('Dy+a*y=b','y(0)=y0');
y=subs(y,{'a','b','y0'},{r(1),r(2),t1(1)});
yuce1=subs(y,'t',[0:n+1])
& X4 _5 J" u- m, T* vdigits(6),y=vpa(y) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解
yuce= diff(double(yuce1))
! W, x5 _( m/ \& i  Y+ @* G% yuce=diff(yuce1);   % yuce= diff(double(yuce1))
' A( X, W( K  S9 G6 P5 _yuce=[t0(1),yuce]

' ]4 l* q  U) D  Z4 灰色预测计算实例
例 4 北方某城市 1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见表 6
" y; ^. h6 z3 {' a# G# ~& R
                                             表 6 市近年来交通噪声数据[dB(A)]
  G) y' a/ O( x8 g2 Y1 s& g4 ]


: ]5 _7 H1 }, F- N- O) c
! e* s, b! l+ f* n+ [2 m第一步: 级比检验

建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：



第二步: GM（1，1）建模
4 V; C" h: U+ {3 r' F. R3 S3 {
- P* p  |- X' {* X3 _% M
+ e" D4 T9 N. l+ G8 e% y2 ^9 `




9 a5 R' t) b/ y

* q# r3 s3 ^' |, I" E7 I6 f$ W第三步: 模型检验
/ r" \" Y6 ?# G  i9 T
模型的各种检验指标值的计算结果见表 7.
0 g+ T; Q6 F+ u5 L) R' U6 S9 a
6 p0 y+ G9 P# q4 k, F; `3 d
8 b$ [) m& a! G" O2 {. Y  s

1 W" ]- J, m5 s+ Q9 B3 {: {- T
/ P7 Y# n% I8 _0 _经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。

计算的 MATLAB 程序如下：

, i0 m( }; w# b- e" M6 Aclc,clear
x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
; S+ j0 z4 ~3 W. un=length(x0);
lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)
range=minmax(lamda)
: B1 q  L- }4 G/ B4 ]! \% |x1=cumsum(x0)
for i=2:n
" x- L$ F% x6 X  O    z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));
end
9 q0 q& J) F7 W- MB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];
Y=x0(2:n)';
u=B\Y
3 ]- C3 I" H* Y5 c; Q3 y! |x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');
2 I$ f/ g9 h+ X+ H0 g; Yx=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});
yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);
7 p7 B# t! U% a5 Bdigits(6),y=vpa(x) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解
* s3 }2 v" ]% d4 p) t( S2 O( dyuce=[x0(1),diff(yuce1)]
/ o! J: V  y6 fepsilon=x0-yuce %计算残差
7 u/ [9 r  i# e% F; _; N, J, z, qdelta=abs(epsilon./x0) %计算相对误差
rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda %计算级比偏差值
) ~5 L, d0 Q9 p8 k$ x3 X
4 k% u4 M: z& V7 ^( h- M: A

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# A. |# ?) S% X( H
4 y5 K* W5 J- V" x& |