灰色系统理论及其应用 (五) ：灰色预测

浅夏110

灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时 也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件 的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”， “随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的 GM(1,1)模型来进行处理。 灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广 泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。

1 灰色预测的方法
" v4 o( u: Z$ P* W- L+ _
3 j; C7 l& Y: R# D



2 灰色预测的步骤
) n( o& B  s+ G* j1．数据的检验与处理
* e9 o) z3 r. ^5 s, D

, u; r1 r$ K  j9 }3 ?0 d
2．建立模型
. S( B: Y, _8 ]5 C4 B( X' U9 Y# t# v按 第1 节中的方法建立模型 GM(1,1)，则可以得到预测值
1 D4 p, N* b" s! \, u
/ w/ s; P  v/ d8 M% a( B% I) h

/ ?6 g8 G* O$ [0 h4 Y2 ~2 D3．检验预测值

6 p# U" `/ f# ~2 ~# {' H


# S6 l- \9 Y1 n+ F9 a4．预测预报
" L6 @( J9 {- H9 @1 k- X( Q9 c& ?4 v由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测 、预报。

3 灾变预测
8 {/ w4 P" K! E7 s上限灾变数列
% n4 o3 H! ?: ^
. a9 ~7 v0 ?0 \) R) {

同理，可定义下限灾变数列这个概念。注意，灾变预测不是预测数据本身的大小， 而是预测异常值出现的时间。我们考虑下面这个问题。

例 3 某地区年平均降雨量数据如表 5
* E4 S: f0 M: z- k


. x2 f4 K$ f  B# L  }4 Y

) c) n7 p3 e" Q3 h7 X" {  z% c由于 22.034 与 17 相差 5.034，这表明下一次旱灾将发生在五年以后。

计算的 MATLAB 程序如下：

+ I, X* n6 X. |! ^  Zclc,clear
: j( H3 U; {2 z# T0 @a=[390.6,412,320,559.2,
380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5]';
& l! w- W5 Z% A; m% X# J/ Jt0=find(a<=320);
( w0 g+ O/ T. L1 kt1=cumsum(t0);n=length(t1);
- ^8 e( a4 @3 JB=[-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end)),ones(n-1,1)];Y=t0(2:end);
r=B\Y
+ C) y- G9 D: B- G! m1 Iy=dsolve('Dy+a*y=b','y(0)=y0');
y=subs(y,{'a','b','y0'},{r(1),r(2),t1(1)});
yuce1=subs(y,'t',[0:n+1])
digits(6),y=vpa(y) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解
8 H5 w7 f4 v! K1 _" dyuce= diff(double(yuce1))
% yuce=diff(yuce1);   % yuce= diff(double(yuce1))
yuce=[t0(1),yuce]
) \/ f* }% H( h* x) Z
2 i% d- c. O, ?4 灰色预测计算实例
2 ]7 g9 f( s- r8 n% N. {4 g例 4 北方某城市 1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见表 6

                                             表 6 市近年来交通噪声数据[dB(A)]




6 e% E# N: v: {8 z! Z( c* |第一步: 级比检验
, B: J: }- P. z! {7 G( ^
建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：


: C/ h- v  q1 ~5 I, T
第二步: GM（1，1）建模
$ r& n9 e) d) _1 |
; C1 N! @/ l) Z" r5 G0 x7 K/ P3 p" S

, D" i: \% s, f; a
8 Q# K) H. \- Z1 J" Q
1 d5 t3 Q0 x) U8 H

0 S8 q  l* f# f! C
8 [. |* f& j+ F9 l
第三步: 模型检验

模型的各种检验指标值的计算结果见表 7.
) C5 U& r; B9 l; q5 \
; q8 _$ y) O$ Q( D) X

  F4 |( @5 T6 s  Q8 C1 [5 Y
2 l6 g: N% b6 I' E/ y- ?  u' ]
经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。
+ ^5 M+ P# v) v1 @$ q9 J
计算的 MATLAB 程序如下：

9 n. O4 F+ h. V" [; z' Bclc,clear
x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
n=length(x0);
lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)
1 @9 M1 h2 H6 i; @: |5 @% ~range=minmax(lamda)
. }: ]2 A- @- F4 m+ V& ]x1=cumsum(x0)
for i=2:n
    z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));
end
( z; ?! f" ?1 l( VB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];
# H7 ]9 l3 F: X" f5 U9 AY=x0(2:n)';
9 y) ?) V6 M: m  Uu=B\Y
/ b- X4 H3 \9 r  g; Zx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');
x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});
$ N) t! R, h  m. E9 m; {yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);
digits(6),y=vpa(x) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解
yuce=[x0(1),diff(yuce1)]
9 t6 t/ V7 N+ d1 Qepsilon=x0-yuce %计算残差
delta=abs(epsilon./x0) %计算相对误差
/ I6 k% ?- h0 F0 U- [8 krho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda %计算级比偏差值



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