数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
! ?: e$ q0 I5 w# l6 O
! |5 J, V9 U! ~/ L& T/ W1 c本题主要使用微分方程进行建模。
/ O/ {5 Y% S5 ^( y  E% `
7 j1 A# w2 e% f' C0 E, n（一）梳理题目

8 M; R0 L' T1 ~+ [/ \
+ h/ z2 ^# E, f


) b5 r* i; h- Y' {3 @- I, X
（二）Highlights which makes this paper stands out
, n. n! A: J: ^5 \( q(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
$ f$ t- G) H0 ]2 h

& u) ^3 d, X! ^+ r! n
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
. g9 A1 f& B! ]. X标准化残差服从标准正态分布
, m) f0 N, ?7 w$ I美中不足的是！！！
" u: L& U& Q: C! C) U没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
- e8 f0 p& M; s# M6 u" M9 @& O

1 }8 j# t% V1 Y& G

如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢


0 s% t5 {" Z4 ^; p) w
/ M* i2 C) i+ {5 B* X% g/ w0 ^- y
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
' D: e- x- r/ b& y, G6 V* ]这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

# B3 l5 q% a; Y: F
7 }& ^9 [. p* a% _( R0 x0 K# j: j6 ]
: l6 x" L! q. v9 ]1 `  x
: L- [* Y1 b% N( e! E8 c这6个关键变量的找出，是不容易的。



5 M# O9 Z, N- M% _0 V  B4 W& R+ |（2）基于SIR模型建立新模型
2 v' }9 T0 P& N7 g基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
8 i' p# G) ]( _+ g6 B0 KSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。



利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
# H# X* p2 w* k. E" b
; p( J* ?3 f. i4 {% U8 t

,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
  w' M( z- N( [. }  _其它数学公式论文中很清晰


) j1 E  {+ M& @
/ \1 {: K3 T+ R% i: h9 g1 B
7 o0 |3 G: w! |& ~（3）求解模型
* r; H( C- Q  W4 v5 F$ \$ D+ [. X求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

3 A) Z  N9 P# w" L
" g  U, `8 m/ n) ?' |0 @

8 h3 I" R8 h0 w! C8 O+ N
! h% a5 C. ]8 I/ D# W3 g
! |& q6 m+ U0 ]1 l% X然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



: r" n! j. L' s2 A$ L4 G（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
7 c+ X$ m7 D- j: z5 y' C. `% X& J
, r/ D2 o8 T; ~! L) Z8 @



（5）根据实际设计三个关键函数
. g8 D$ `% P8 F# S9 v这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
( g% Y6 J* m1 j6 J4 a" i9 m论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

" k& m2 [; z& ^! W平均传染期函数：
. Z4 y! [. H: g- V, L3 L4 ^

4 [: y/ p* _5 S; T" }# R
就诊率函数：
5 Q; [  f$ P: L- M
7 \1 g; K* {1 }7 C
9 `) L0 p. D9 b0 N! C; A
平均接触率函数：


3 S: {. H  t" {  e
模型预测效果图：


+ D  @; N$ a; G+ e1 A
" e  s7 S: k2 c- W————————————————
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