数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

$ {/ Q" O; ^% |+ ]$ O, m本题主要使用微分方程进行建模。
( {2 a1 c' Y9 A1 b3 I$ T6 `
" a( ~/ R/ {8 ?% a/ l; P$ H8 U  Z" t8 ]* k（一）梳理题目

8 Z; n. z  W& |8 }
9 ~2 ?  n0 P$ G0 F/ s8 `* O
$ l- H- s5 l* }7 E$ E
7 c. H/ A9 \- e5 t1 {5 u
  d. N* A% G3 h: A: u  r
( D9 e" J+ e1 x7 L4 `- e% M+ l（二）Highlights which makes this paper stands out
' J" o+ k5 K" f/ A& J(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
+ ^8 S) r3 x+ t1 e% P

$ u8 h+ T3 U& ^, U- l. S
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
/ X& D$ z. {+ L4 s美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
) G9 K1 Q& e9 v& M/ F. d9 p
: E' E2 u6 o. S% V9 L& V8 G5 R# f
6 K& T$ \4 A2 e

% M) a1 p9 H: y0 Z如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
0 h/ e, S% G/ O3 D5 b' k



论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
5 l5 s0 S  _' x( @1 `. c
5 Y9 A$ J' P  N, S（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

7 R# ^: H1 ~0 v1 Y! Y


这6个关键变量的找出，是不容易的。

# {% R7 q5 s) K, k

9 @7 K( d% G0 R' `（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

  j! E7 `/ |0 J, r$ {3 c2 E

! D: J* V/ L! N+ t7 D1 ^利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
1 w7 e8 r! F! z2 X
9 E5 w( s# l* c6 d$ u3 z. I
2 S* u( x- ?4 u
9 `* {/ P6 w5 U$ V" F, q/ r,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
' ~9 E2 X0 L8 S; u5 `1 V; {( c
2 r. y. J0 N4 T4 v. r4 e

2 V2 H4 q; E9 q1 Y% s1 C
（3）求解模型
5 W7 s& ^+ K% {求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

& C- I, o+ J: h: G: {; R

9 ^5 l. f, o2 R  k+ M: |
7 t& A1 s( a$ p( A- i+ g
- b8 m  B. V9 M$ ?) P! g* s+ m  w
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
$ s( ^* V; T% F' \: V, o" {

9 f; ~/ h& L+ r8 e- X, a# R
3 Y' f  s" Q5 }" _0 d+ t（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

* S' g5 W2 N8 ^0 l

3 z, ^# P5 f! }$ ]3 ~& M

（5）根据实际设计三个关键函数
; T: Q& {* H- f这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
9 i  h$ K( ?' b: q; n: ~9 z1 X
平均传染期函数：
0 o5 `4 |1 X+ M! s# R
  S8 p: h" P$ J2 \
- U, b  V5 A6 @% T' [6 O6 K
就诊率函数：



. U; u5 ~. U# D, J* ^- q" O平均接触率函数：

: y! G% C* e: T0 p9 G2 L

+ G, r/ C2 Y" g7 K模型预测效果图：
) f0 f0 S3 [. O

# q: \( Q' a% X
7 O- B$ y; C* U5 R- S————————————————
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' R2 z& f# `6 s6 |3 |  V  f
# n" e! I# E6 a% p; b  }* M