数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

# U5 _' E) Z8 G1 I. H本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目
9 W6 I+ o" \% S3 f, E
( P0 M9 n8 b# ?) b5 O6 G




（二）Highlights which makes this paper stands out
. |4 N1 o9 c9 w(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
3 X9 G/ `) }" k1 @- b拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

" K  D7 g. Z  P/ W" t
0 C% R$ c  K" f3 i& T
, o! D0 {/ y1 E3 [6 ae i是第i天的计算值和实际值的残差
7 l# ?6 v+ S6 x. ^( }e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
9 u. X8 C, V' S4 G4 n' ^标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
' Q/ i: E# ~7 J( Q9 @7 E
" t& B. [7 a- F4 t" g


如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

" E4 t$ [4 i  T2 n+ w9 k4 J# U2 \
" ]6 \# w1 R/ ~8 R+ Z3 d
4 c, y) X0 Y6 ]3 T
( B' P8 l2 H% i0 N6 z论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

0 @/ S9 ~) S3 ~- w3 R（2）模型假设和符号定义
, C" z. C8 J+ W, b) y# p这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
# ~+ v( @, E9 f/ c( L  A9 N4 L

5 ]  l1 X& R% x
" b, l5 V+ F) n' @$ B6 @. x% z; w
! p* _- i. D, s+ W0 }/ V9 @3 z这6个关键变量的找出，是不容易的。
4 A" G* b9 }2 ?8 R5 L% e4 t
- D1 S7 j6 _) L' C8 k5 @+ t" {
3 e2 t* f$ V! w% H3 G' ?
8 U; j. ]9 F. M3 T; F（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。


* k, E2 {/ W& Y8 O6 }5 @
0 j# y* j9 z; T) m+ ^: i$ Y利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

) d+ J* e# M1 b3 N( V

,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

+ g" D* ?% f4 A0 |, d

" E( E% \4 R. b% C9 c, j8 n
0 D/ T4 m' _1 h（3）求解模型
. Q/ K+ i3 x% P0 w- R' {+ g( ?求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
- k) n$ F5 H& M4 z% |- X
- q1 i/ w) }. v) h7 \
" M5 W' I0 v8 {: X4 ?3 z6 R

5 @8 w1 R# Q* r" `, [% |7 D- Z
: H/ c. X4 {1 X! H2 L/ Y3 g
. S0 R9 z2 {- D# r然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
$ `) P2 x- E7 b# O$ d' _

4 r" F7 E- K5 Y, m- Y
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
2 Q/ Z9 `2 E7 r1 q9 w
2 ]4 Y' c3 a' g) A$ E
% T1 g" u4 K+ e  [' I4 A: v: \
8 l8 Q9 k$ R# g6 w2 I6 d' D4 R
5 |# G& @5 w- b* K; z& P: a
1 Y1 l3 ~2 G% g( ?! C) g3 n* _（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
) ^: s& {, s4 ?论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
+ l& b. X  U1 \9 ]- {$ D  _
4 p: g0 N" e6 ^$ g+ p平均传染期函数：
" ^& B6 D/ L( s$ R" G- n5 E  o

- U( D& P" F; u7 ~: {
就诊率函数：



6 i9 {3 O/ ?7 I; r( K/ o) t平均接触率函数：

" H% M1 X; O7 t
# ^" P' b: t. W* t
模型预测效果图：



————————————————
- x/ R* S) a" _4 Z4 c5 E+ ^- L1 Q3 g6 ]版权声明：本文为CSDN博主「doubleslow;」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
: e0 m9 k6 R, n4 X* F- t原文链接：https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947
! P9 `3 M) L. O& v0 G9 i+ G8 F
, e# i( a) u* w2 M
0 I( C. d: b  x3 E