数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
3 ~. _! Q: a% e8 N. c
0 x  q0 g/ |* L0 ~3 Q# M本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目
9 `5 C5 k; X. V5 A
' n0 d: T+ P7 _9 U1 u


% T) O7 `* |  p; k

（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

4 N4 c( J! Q, U) r. ^" E! D

6 t, }* ^, D: H  Y/ R  f! w9 te i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
, ]7 U% K! f" m标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
7 Q$ O; ~+ K5 G& Y5 e
8 J+ n8 I/ w- r/ z6 W
  z# D. l3 z9 }/ i
. J$ w" j* Y% `& ?
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
' G9 I; d+ q$ F! A0 @
+ Q2 J0 W% W4 N) P+ M/ \% f


; l$ I/ K/ g8 M$ l+ U1 _论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
8 I- W1 i: g9 L/ u/ H; T0 K' U- q

# n/ ~" R6 B0 D) z
3 }9 _5 E) ~- S- \+ u
( K7 K" B7 Q+ V这6个关键变量的找出，是不容易的。
+ p( l5 ^* g, {: r& Q- Z5 v

0 V9 ?3 Y4 x5 m1 }6 E1 s1 U
' V9 W% ]4 H+ [0 r9 i6 N（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
. O1 P* a. b$ \2 d5 O* h, N1 B  e

* K' [1 h1 Y* F. A9 D- f/ c
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

) E7 L8 L. s! M" T4 T, o
/ @+ K9 j/ ]: a& P. e& w
, w$ d4 }/ c# N3 Q% P,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
! j3 _( z$ T+ l( t) u其它数学公式论文中很清晰
6 {& V6 H5 s8 A, y: v  o* O



# [; Q" e! J5 _$ Y' V（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
9 q1 V  m% [% X" K/ _  s# L/ M




3 P5 T; P' g7 M. X' w5 y0 i( r2 L
3 q$ V0 D5 L- I0 R# `然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
( C/ s: x5 D, n) r; J6 H5 E


（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段


4 c3 A1 P( _/ c, h) U

# o; x6 ]% @- ?4 G  j+ R8 W
（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
, |+ A: o% O9 Q8 J5 s/ m/ c论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
  }2 Y; H% h3 B' z  b% U6 c
平均传染期函数：



就诊率函数：

2 e& U( B$ p. N, T
6 ~  g* L1 \0 G1 S+ u
平均接触率函数：
% R: h$ U: P0 ]) h' v4 [
( }" }; O( W; r: z9 i% ?5 |3 b7 @8 p

模型预测效果图：
: u* S. k5 P0 Q6 w
6 ^" O) R) u' c

, D, A0 ]  y* }————————————————
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2 Q9 _6 @9 j2 k: n