偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
* \* Q4 ^! q2 ^) ]" D5 p/ I6 y
$ ]- J1 {4 t6 @, D) F' e! @; ]

8 q  f8 b( h' `7 j/ c& S
6 S" M& @! z1 l
7 q" f9 F2 }0 H! Z( u. [表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

6 s' w+ u8 K6 s% R& @9 |


利用如下的 MATLAB 程序：
clc,clear
6 M% p+ C9 m0 v1 K2 W& X) y4 g8 X3 dload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
, m9 F% J; g' O7 A0 ^rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
* I" V  G% F/ O; w) J. lx0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
) f$ L0 w  x! Y3 C0 c9 t! s$ i1 D, t  knum=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
- F. e" S' M  w6 v4 K+ |/ Z4 Ifor i=1:n
7 m. {! B8 y  a3 g( ^, s%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
% Q5 @% J' k4 d9 L. F# _, t+ c3 x9 R    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
: Y6 p0 G- h% f    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
* k& y4 d; u# w4 h+ o* s$ L    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
2 v$ M: s& d2 @& c4 D    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
+ ^- ^/ L3 R* _2 _    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
& J6 w, e3 u+ M    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
0 ~* l9 a& S3 R%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
6 `: C& s; n# }) u4 X/ [9 L( E  f        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
: c8 U' A. |( m" t% ]6 e6 l6 C* ~        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
0 Z2 A/ w) j+ Z        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
+ j$ M* k1 {! h    else
& X7 b7 C7 f; e4 r; k        Q_h2(1)=1;
    end
) c/ f' z6 c' n# O" Y6 i    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
8 w- X1 J1 n/ h8 |4 L        break
    end
# A, z+ A; b0 {! Eend
9 P7 B. J$ T2 P- M) i3 Cbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
9 k7 `# V; l* i' ^5 G2 Ebeta_z(end,=[]; %删除常数项
: z$ f( B* {+ l8 Z+ |1 ~% D8 `xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
) Z0 P  Y( X3 J% E1 x) Y每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
. O) J9 Q' F. p! {, Z# esig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
+ q, B) ]7 t; Qend
% N3 h8 p) |2 ?% i, Y) i  Vfor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
+ }& b5 p8 U0 t9 ~0 \end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
9 K/ B) u; I$ qsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
2 w; O* J5 P8 o1 L" y! b" A& o8 R
) _) o& ^9 J  I$ G  H
* ^0 Z3 ~* D( ]

* S- W$ J# d. k. X5 |1 H
# j- t8 |; @* V  C3 M6 ^8 A9 [
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
$ p9 t) D0 z2 y( w




画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：
0 w) Q' G" x) ~1 w; o2 E' J2 J8 [
: _7 O5 L* M% C2 U/ ?1 J4 C6 |+ hload mydata
7 o0 g& V, H( N% O. M. }num
0 }: I' U9 E  _" s- ^/ z$ J' Y3 ^ch0=repmat(ch0,num,1);
7 M# v) Q5 e- Z: v& uyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
: [4 R& K; s& {ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
% e% S1 a( f# W+ C* u$ Z9 n6 Y( U1 U5 \( nsubplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
! `; H+ Z( b- A; _6 U/ T' Mplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
8 }1 D; N; e  C) A# ]% ]subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
4 ]- J1 R1 a2 _$ T4 E
! }; u* \1 b4 D$ r  ]

, e1 Q% E; f3 Y+ y9 S$ G
5 n; h3 ?, Z2 K5 j/ W$ K————————————————
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4 D! U$ n& {$ D原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273

2 {4 I  Z; Q( S: h5 D0 T6 u# F