偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。

; ]* y* v5 D. r# R* L7 _/ i% |8 Y+ ]
0 \4 t% |( j( M0 _, Y# ?+ {$ ?2 R

8 C1 K0 O3 Y- M2 i% x0 h
" `/ V2 Z# V! d; ^* ~7 Y表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。



2 A3 W' U0 F; ^6 T
* e/ M; m5 s) e% V利用如下的 MATLAB 程序：
clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
0 z0 z- W/ V- w! t3 S6 N% e- udata=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
& W2 M& `7 B, ?3 V! cnum=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
; d" c, B* v/ k/ I) ]) ?( m%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
! P# w6 a+ _0 y0 o6 \. T; J    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
9 Z" P4 N- `( P- v. g# f    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
' D" X* t4 f! b3 J+ d( u9 Q3 h    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
# E  K, E; X0 i+ _; G$ D3 ^    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
0 S' D6 \8 S- T' E% E# i    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
/ X7 l2 d9 j( i    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
. }9 ~' |# ]. f) `* Q9 Q%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
# q/ Y& ~7 @/ Z% z9 c- I    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
/ p, p1 P4 p' l( ]# W! p        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
1 p- x; G) S/ q5 e' t0 O2 b        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
! K0 `) j. b$ z: q6 V2 d    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
7 T+ T0 U3 [6 r( S; t. L# P( Z        Q_h2(1)=1;
    end
. z+ y/ f& e- q. U  I3 I    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
3 L8 z" m( Y6 P# j% \% F8 A        r=i;
( g8 i; S& b  s. y) V1 n+ k4 G5 j        break
' u; m5 l  b$ y  t5 g- y$ H0 Z    end
) f$ B$ ~0 P1 d/ O$ Lend
$ s0 G9 \! M! G& D+ vbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
6 g7 c1 r- y' hxishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
- j: {% c9 Z3 h每一列是一个回归方程
6 r8 e: f% H" O; Umu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
2 }. t3 u5 W  d& r' bsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
( P5 y8 n0 r7 `" p: D8 |+ Xfor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
4 N! w/ [) |: x3 p' G# R- Cend
for i=1:m
& D3 }4 z- Q4 G) [1 `: N    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
8 \# u$ y! O* L& [3 qsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

9 B, b5 l3 J1 w, \
* }. O) w6 w6 P# ^


: x" O/ ~. ^3 f* O7 o7 S  A: H6 K5 f8 N$ n
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

6 e  M) G6 Y4 Q+ a) e) @


: c/ I% N6 _; |. l9 d
画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')
, C) _- X8 l6 h& t; y0 {
0 w" h9 @5 w. `4 g. E0 n# R画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
2 K2 |  `, ^- @) K0 A3 z6 och0=repmat(ch0,num,1);
; c& s" X( ]$ M# o! @+ qyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
: G( ^: N5 u% g' t3 Scancha=yhat-y0; %计算残差
( n  T, c0 N* J9 ]subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
0 f% U3 K' G/ m+ n+ dsubplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
- p' R5 y9 G/ ?7 @$ Jplot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
) [$ t$ }0 t1 N- ^3 h2 ~! k7 p
2 O* s$ E; b+ ^7 ]( d4 r8 U


7 H5 ^# m. a; N5 F————————————————
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$ ]8 _& I. Z% W: |9 B* c" R5 T9 E