差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

  P* K3 K# ]( k

0 j- q/ O/ }" ~4 P- X
; Y( o7 U3 _$ d9 |  S8 Z' O& P2 h满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

8 U8 i" I. v5 I. g n 阶常系数线性差分方程及求解
2 J* p% F) z/ e, M$ k. U: O

7 E* F: |  s( K

- t* H/ [- C4 y3 _
两个例题
& G* W1 N' D$ }- @

# u' Y& _- E5 g; i9 D$ F- L) q/ I8 r
* a* w; M0 K& |, O! L
解的稳定性

4 t& S. w+ v) ^6 |/ u0 F9 D- [- \
4 v: {" `0 N& j  f/ q5 v
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

& @; S( l3 Z2 U! {5 F7 V$ b. }" H

2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
  c- ~1 [0 u+ k9 S# _% f常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
% m7 i" @- t! M2 U& [

" g$ G+ @0 S3 X
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
7 L- g4 q- E8 b% b（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
- Z% t" f) R% A- T1 l! F

* P  v6 {% Z! m
# W% C1 d, D; q4 C/ u) \* @（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

; R7 r6 p5 _: N& b
; l+ N7 e( @: A9 J4 ^. f; S+ F
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

+ h: G9 y4 o" |) N  d& N- `* B
+ B. M# j# B6 ~; G" O; K1 A
2.2    Z 变换的性质
0 D5 b% h$ ?/ y" S  N; E) u（i）线性性质


9 N- X( Q" B4 A3 q: }+ b
（ii）平移性
* S2 F# g7 q6 v' E; X  ]2 Q+ e4 ~8 E

6 y. J' t3 s2 u, m- }8 v& i

3 q! B8 X) A% d& w例 3  求齐次差分方程
3 {0 V( Z- Y6 ^- B6 ?& Q* _6 _
2 W0 f$ d1 Q" N8 s
3 a2 p  W7 b" G
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