差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

0 }, R7 _/ \! ?* N* D8 L! Z9 D# r
  C8 g+ q0 _9 t* b' Y- l* Y
6 p7 P5 r* Z% {: n
; t, Y8 `2 w' {4 Z$ K. ~! X5 _满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
- e( S& j: u2 Q% D9 k4 E- X
n 阶常系数线性差分方程及求解

- h9 r4 b# v4 l1 z/ P
  }4 g% l) i# [4 a
% |& [  l7 {# a' X( H4 T
/ L% J8 d6 |4 y8 V
两个例题

; I, w2 d, W( v! G: B
  c; e3 U8 d  z# c& k+ i

; q5 v6 Y4 {1 {5 B/ x解的稳定性


! j  L1 \0 A' ~  i7 f+ M
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。


0 J! A" s* A% m  `& [
$ ~7 H$ ^& }6 {7 n2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

9 h1 `  ?8 N7 `

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
0 z9 l4 f: y' c4 p5 Z（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

8 _- ?. T5 k; O$ s, }7 B8 f/ h
9 G* b: ]% l3 F$ v
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
2 ^$ z  h) J# S( m

( \8 ~: M8 A2 h
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

2 ~" p( {2 E3 q; X$ d
& ]( U  U+ {0 n
2.2    Z 变换的性质
% h6 M/ X; s4 C（i）线性性质
6 R. H) o4 M4 o5 I1 Z" n! K! R
1 `3 B2 c9 [% z. @$ w& h

, T$ Z$ r6 F, k（ii）平移性

! \/ i2 w0 d( g8 L( V' p


例 3  求齐次差分方程


1 {. _1 Q: {* ]9 G  J% R
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( N) C& S. y2 U3 H, a