差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

4 C( j: R4 _) Z; _

2 Z% Z, K! A& I" S
. g1 p$ G5 ?# m. b" h+ r5 k满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
4 W' F7 \0 ^; Y2 S4 [2 H) u
n 阶常系数线性差分方程及求解
4 r7 b- X5 {, y, R& s: ?; g) W
- F) b  l, v  n6 o5 `) B- c

& r9 y2 q7 a" I" \8 n4 H% i
0 B% L  |" l- @2 _  ^* S) M
) b7 S9 M5 W* t( `3 V两个例题

  i  B' _0 K8 z, k6 H3 a
9 F. l+ B: @  f4 v
) Y" i+ @7 ]# O( R2 R
解的稳定性
( B" H0 q' a/ r- ~4 S1 [
' \6 g9 O' i/ _( T

% f7 Z3 N2 W# J" [1 k' Y! e  j2 b% m程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
" k2 A- m8 H! v) H
1 x6 g7 Z& J3 }: E4 @! i

2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
7 k" [: u. r, d: M; r常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。


% H0 w" v2 [' ^7 }% _3 v0 O  i7 q
. ^8 Z9 C# z% H) `2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
' U" Z# ^/ u" D8 P) V' L（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
: A! Z0 U6 S- s! r' C; Z
% ]8 u# Y% q6 E& g9 v* V& H9 l

（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
, H, e+ p# W( N3 H0 W
# {& W% l# X5 w: Q
- Z5 X9 Z9 V' [& {0 X
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
  f: D0 B; G8 Y& y. h
- ~5 ^+ _4 r$ W: B0 b

* d% t1 t( ^3 E( R: @" k2 u2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

9 W3 L9 O5 a1 X
, k+ _4 h' m! k5 A4 O. S
（ii）平移性
* U8 ?8 p; c# `  ?& s' H

7 h! X  l  ~3 b9 z

  P$ u8 r* t- p! x7 k- Z/ f例 3  求齐次差分方程
9 z' T+ p$ q' m' o. x& w/ O

4 S" K5 X! N+ A) t
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