差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
; L; L# @2 l; W$ J' m常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

# H. b( u( D$ ~7 t3 l' y
( i0 W. @) ^6 u4 Y
; ~& C; P6 d+ `. |例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

: F& `: `3 {; g7 u& t, W（a）假设
2 S; @% g! B# J( `! Z令n = 0,1,2,...。
) ~0 H9 {% L( {+ [( X& c

* U2 L5 e) x5 f/ }& C) b- ?7 p! B2 A
8 b+ G+ |) ^5 @! d
6 c1 ^: D+ C" i$ S- P7 S
（b）建模
: {- \4 @4 Y) E" _- l, Y/ ?8 E




$ B0 G5 S) c: Q& N7 w" N
编写如下 Matlab 程序：
4 z  z! \) B* _* I" }  O
syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
$ H: R" o* j7 R9 l  y8 wx=simple(x)
) T4 k# m. P, j
" D4 l/ E' D/ L/ Q, o' U# s' o* }5 G7 t
/ N4 v7 t( \, h- r! O
5 ~  E  U9 X) L" b* A7 a+ U, A2 C2 M# }

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
$ w( q: f4 e. v4 h2 s  ]M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
$ ^( ]" r8 ^+ p( C! R# b[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)
( [. E& y" C9 |7 g( u

* h% y% h$ |" ]8 m9 q
2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
7 i; y: [) X6 ^% [* h+ o（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。


* q. i# b  ~( X. o, W9 o
（b）建模




4 n. [) c' a4 }* m' b
! X% F$ ^8 A9 E
（c）模型讨论
9 [* V/ J2 B) ^% w6 ~3 Q9 G研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
6 b7 ~( v5 B8 ^2 T


, Q) S- D  s" u. V下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
6 y5 n* R) `0 c7 J) F
+ h9 o7 b# `; H  i; |6 e2 ~3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
* X5 x3 Q( z6 R
（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

; y- Y. d6 r; Z! \（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

# M' L2 P/ M, \% l. @- p$ l
) ~! t) m* p1 ]6 b! X0 g3 Z, N' P
( C  M* t. }! h" m) z


4 ^; m. X, O0 T0 f

编写如下 Matlab 程序：
+ b% E  Q' L8 [* r1 S! \( h: K
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
1 I: N9 x4 S& _( i+ W; rM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
* Y6 j$ j) P5 Q8 p  M1 c 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
5 p7 C3 G& d' e4 V; C( @x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
* i9 Z3 ?) p2 _6 R$ k
" ]1 ?5 i% a/ N由上述程序计算结果可以看出
% r( h$ @# k* P$ \) ?


: l* `* Y; K* d. u! z: b' [/ A* b习 题
& D) Y, w% M; l" L4 V* J  ^1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
. |- I# H2 t0 E; L' N7 K& G
2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

& t6 d2 L; O$ H' {3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。

5 m! V* P( t* A! p: E  h5 D
) {* p4 D2 o6 Z: @& y! f

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, ?4 e9 w4 |, b& }原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
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