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[建模教程] 差分方程模型(四):遗传模型

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    1#
    发表于 2020-6-7 16:37 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 常染色体遗传模型
    1 e' K/ ~8 T! {; C常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对, 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的,那么 就有三种基因对,记为 AA, Aa,aa 。例如,金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色,基 因型是 AA的金鱼草开红花, Aa 型的开粉红色花,而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人,眼睛为棕色,基因型 是aa 的人,眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征,我们认为基因 A 支配基因a ,也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ,而 另一个亲体的基因型是aa 时,那么后代可以从aa 型中得到基因a ,从 Aa 型中或得到 基因 A ,或得到基因a 。这样,后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合,以及其后代形成每种基因型的概率,如下表所示。
    $ d  n% e  ^6 P9 ?/ x
    ) e" X8 u! v8 T  z( r6 s" F' n- }* H% u" f* @; ~3 Y0 K
    $ g6 |* b. w) \# S/ O9 k1 C
    例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后,这种植物的任 一代的三种基因型分布如何?
    . D1 Z  M4 K( O+ k0 @/ K% \; c
    & p. v& u0 {3 _6 B(a)假设. A# t. P, p. b- C! Q. `5 y
    令n = 0,1,2,...。
    5 W6 Y: g! L$ H5 p, U- _  V
    + S$ U& |: |, K& l0 u5 A# Z7 b4 n2 y, |
    ; j% Z7 ~! ?) \3 ]! N! ]7 V
    ' s5 [  l" q6 m# x
    1 U( A/ ]. o5 _4 l$ F3 {7 m6 [
    (b)建模
      H# T+ w# z2 G. s
    - M/ h' t) H$ k6 m& H* B+ I4 x2 h* L( n. `. ], }* a; `
    1 ]8 D4 ~- B$ {1 Q, v6 R3 Z. ~
    7 M2 p& j8 l7 Z7 g$ [7 v
    * H& m" Z! B4 g/ Y
    4 Z2 t4 S" i! u# ]
    编写如下 Matlab 程序:& a( N" F( K- h) `3 y* i( I4 ^

    ; g: ^5 Q; k8 Nsyms n a0 b0 c0" A& a# X; O" W4 o% e
    M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');. Q0 Q7 Q9 D' t7 q: j# f! }
    [p,lamda]=eig(M);: i4 r; T8 s; n/ i2 ?
    x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];2 i2 ~' ~/ H1 Y# U- `1 a
    x=simple(x)
    : H" |* z' Q9 x, _9 m5 b7 U1 k; T" R4 s3 l) C
    . I% s8 z# q5 c1 H1 ~( L# x1 J

    + n0 E6 x  X2 q2 n$ U' p' [

    即在极限的情况下,培育的植物都是 AA型。

    (c)模型的讨论

    若在上述问题中,不选用基因 AA型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基因 型植物相结合,那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

    编写如下 Matlab 程序:

    / I, U# z" b7 g( e$ c
    syms n a0 b0 c0
    ! H& C( G) _$ I% ~M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
    ) y  C8 x3 }& U7 `[p,lamda]=eig(M);$ e4 t6 S. b8 h, ^/ t4 i0 @: n
    x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
    $ m6 l& {2 i# |$ P  Y4 Z- J- Mx=simple(x)
    0 R$ D- c: L' y1 P# ?
    " ]) ^! Y8 ^/ v; C6 T3 q9 M5 G) h  U' k% f

    1 \) e/ y) u; W  @. |- p2 常染色体隐性病模型- i: c9 `. Y& }8 j
    现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下,遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如,遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多,镰 状网性贫血症一般流行在黑人中,家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去,而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者,并且规定两个隐性患者不能结合(因为两个隐性患者结合,他们的后代就可 能成为显性患者),那么未来的儿童,虽然有可能是隐性患者,但决不会出现显性特征, 不会受到疾病的折磨。现在,我们考虑在控制结合的情况下,如何确定后代中隐性患者 的概率。
    2 H( S& z% C5 {1 z+ h2 k; |( t0 Z! V& e7 c: k# `
    (a)假设
    ! g) u$ A3 y/ @8 f& Q(i)常染色体遗传的正常基因记为 A ,不正常基因记为a ,并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人,隐性患者,显性患者的基因型。
    0 P$ S) r8 K' w7 T7 ?3 i; ~& o. H: ?* e+ H+ p

    4 G% T8 }- N* A+ ?6 s# M, y  X( K! ?% i
    (b)建模
    * F0 Q1 V' Y3 y9 d8 n' T% `$ p! T1 ^& p
    % t/ l0 r8 F, k; C2 b* p6 L: N; x" L( L  R: }
    # N2 I) c( y# b" \

    : C" {/ e; ?! p& E! j7 ?5 P4 l
    # H& y8 x- O' J/ ]. H0 Q
    ( T( H3 ]& r9 G(c)模型讨论" f* B! w) L$ q6 ]2 n
    研究在随机结合的情况下,隐性患者的变化是很有意思的,但随机结合导致了非线 性化问题,超出了本章范围,然而用其它技巧,在随机结合的情况下可以把(24)式改写为! c/ `! v) ^5 D7 Y- K
    2 t: ]+ Y5 |% r9 G
    2 i' C6 R1 p1 N! F
    ! B' m1 e$ w; x8 q# v0 l
    下面给出数值的例子: 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者,如果控制结合,根据(24)式 可知下一代(大约 27 年)的隐性患者将减少到 5%;如果随机结合,根据(25)式, 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者,并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子, 其中有一个是显性患者。
    & e! @" W+ D3 g6 T1 t6 n; B3 S/ d+ ?6 g; l
    3   X − 链遗传模型5 a2 s! `+ K. W9 M- {
    X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ,雌性具有两个基因 AA,或 Aa ,或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个,雌性后代从父体中得到 一个基因,并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面,研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。; \9 W7 k. k& T: ^

    8 b0 q2 n  O6 ?. g$ A3 P(a)假设
    ; P2 N& e, q8 z' q; B(i)从一对雌雄结合开始,在它们的后代中,任选雌雄各一个成配偶,然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。" w# `$ I* ?: E* w7 E( y
    + W, E0 x3 @; X4 A9 F
    (ii)父体与母体的基因型组成同胞对,同胞对的形式有 (A, AA) , (A, Aa) , (A,aa) , (a, AA) ,(a, Aa) ,(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对,是这六种类型 中的任一种,其后代的基因型如下表所示。
    - Q( H! T( x1 h; o7 l
    7 E5 v. R$ Q9 ^. u$ z6 c
    6 D+ Y& \) y# C9 u! I
    + O, G! M! Q+ y# Q8 M5 o8 |" }$ k  @
    " x$ K& m$ K0 I- g+ Y
    ; l6 e! M7 `; t6 L
    3 a  h  S8 y& e1 Q: X

    . u0 u+ O3 J  Q) r编写如下 Matlab 程序:
    ' Y; w1 c8 ^& Q- H$ G
    * o: G: K9 ?8 w+ Q7 N& V/ `$ L* Hsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f01 ^) O1 k+ L6 [
    M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
    ) V- H" i1 H& Y* [5 q) m( Z 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];& H8 X* D$ O3 U6 F. v* _9 D
    M=sym(M);
    9 K$ y# {; I; D. k; s[p,lamda]=eig(M);6 ~* e! i0 J5 v; E# [
    x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
    * E8 m: a- P# a$ _3 {x=simple(x) / g2 f& M2 [0 h6 c, C" P; a; j/ n/ |
      E$ c( p4 e$ \. J' l
    由上述程序计算结果可以看出% n) f; C; U; e) @% k

    + y7 e/ f. A% H6 m5 a$ g6 L3 K0 @
    3 E- c( E. p# w8 x. C) C
    # y4 g8 h# N8 K- s$ \* h1 P- y5 U习 题8 H* `+ P$ R/ J+ c- v2 R
    1. (汉诺塔问题)n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上,大的在下, 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上,但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中,始终保持大盘在下,小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ,试建立关于  的差分方程,并求  的通项公式。/ ?0 Z( s8 O# J$ c3 D
    & [3 ]3 [  r7 X+ F
    2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔,同时(即第三月) 开始每月初产雌雄各一的一对小兔,新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子,试建立关于  的差分方程,并求  的通项公式。
    ! Z3 R; U' H# F8 \0 l3 D+ S( @, Y# E! k
    3. 在常染色体遗传的问题中,假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中,基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率,并求当 n 趋于无穷大时,基因型分布 的极限。
    : h( L* i1 O0 z9 ]8 u9 J$ Y0 {* ]3 M6 L! i" G
    7 D+ _% u2 o" z
    ' C* t. W# [) Y/ R" L

    3 y  Z  R5 N5 T# f  e% @————————————————/ K+ e8 T5 _+ ]5 ]# g7 f  l7 o
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。' q* e, m# t2 E9 `( t0 J
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
    $ e+ U, I9 |9 q# z: \" o
    8 a) @0 g3 G. x0 C
      I! T' k/ j$ D$ o9 _5 Z$ F
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