偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。


' \9 ?9 P0 e+ r


8 h  z/ Q: z; ^' g: M
表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
8 w2 x2 p7 T1 k# d! z% G0 w
) J2 a: |1 ~3 e, z* o
8 M7 Z/ s0 N9 R* n  o& O9 v
" T0 z. _3 u5 }& g利用如下的 MATLAB 程序：
6 U7 k0 R7 K) u6 n
0 S. v. a) K0 ]. Tclc,clear
+ Q6 y; |3 `# Y9 N  N9 Iload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
: j0 l4 o5 l/ e8 z2 w& Le0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
6 z3 W" w/ w' m; ]5 nchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
$ z) q' v4 S- l: Y6 N8 _    [val,ind]=sort(val,'descend');
! j  W; J) Z3 s! b" G. i( ~    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
5 d+ }( i& n/ x1 G# H    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
  Q, k" T0 L: h. Z9 E, f4 r# S    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
+ q+ f  e  c) |( l    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
  s4 u& n! ]5 i$ w4 g- Z; X    e0=e;
# S* m1 b! T, Y%以下计算 ss(i)的值
& I% ^0 _! N: f9 {. c* }% y2 i    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
3 M3 i3 r; j4 a4 N4 u+ q9 W0 e    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
7 N) T" [# j  Y# q    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
. T  ?9 v4 N6 X- x2 t%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
: P- b. Q8 o+ [- M+ l/ }- z; t, D" P        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
8 z; @( k# S' r        press_i(j)=sum(cancha.^2);
+ H# _( e& c. }- G# p    end
. T# S- e# {* I5 I5 W# w    press(i)=sum(press_i);
6 M/ W- r* Q, x" s# T9 _' L. l    if i>1
4 D3 @& M3 \2 T        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
$ y6 n# g2 I% h: f5 s* j4 t1 ~: A        r=i;
        break
# `0 Q; o7 q- X* ?4 {- G- `: j3 v' W    end
end
& }" w% e- g9 t% rbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
; g; M& q, t; d/ i& A- Ibeta_z(end,=[]; %删除常数项
, f! V% y5 Z" Z, ?! g3 x9 ]8 X8 Axishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
. i/ _2 m# z( U& Z每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
, Q9 t$ ]9 Q- q$ q' V! V; tfor i=1:m
2 B- o( m6 f' I7 t( _. q" L/ ~    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
+ D: X8 A0 J* `1 K$ Hend
# d0 ~: A) l4 Qfor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
& U4 _: f# a+ z9 B! R8 H0 Eend
! `7 G% i7 w# v& ?% ?2 usol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
4 O7 k4 N4 @, s& S7 G5 n4 v  J

: z. l% N" E0 w% m3 `9 V; }% n4 p
/ v" E6 W* l* X% C; j+ Z) K
3 O1 M# I0 }0 E. Y% V从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
4 j1 R, D1 B3 B  u

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
8 [: j+ r* ^6 K3 l# ach0=repmat(ch0,num,1);
8 Q! a+ g) {+ k6 [$ j, cyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
" M, `1 v" Z) r2 ~5 j2 Dymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
) M  D4 U1 w1 Fsubplot(2,2,1)
+ [1 g- g1 K2 G9 @plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')

# V7 n7 J! n2 D) m  n( c, q
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3 g+ g( @( E: Z$ e' ]6 g
' m% @0 @0 y/ H( f& N