偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。





1 Z; [  x+ D+ Z8 M" M) B7 `
( Q: A. }7 w( p0 H' B表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
2 t/ W* `2 y0 D  |1 T9 q
8 ]$ w, R& E1 C/ o$ ?6 R
9 k6 e( P8 F8 p2 z
利用如下的 MATLAB 程序：

- E* e, f6 G+ F7 T) e& cclc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
5 k  \3 U8 s: i' h& b8 C3 lmu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
7 D; L& l& ~7 g) P4 _/ o  I7 v, h( adata=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
) v4 p$ Z, g4 n- n+ H* T2 s' Ge0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
1 l2 f, D+ \" M# E& @) j5 ~    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
/ I+ ?  i  c3 y3 O# q$ L+ N. A5 h& |    val=diag(val); %提出对角线元素
# C, M% F* T9 M& P7 Z" ~    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
7 w% \! ~! E0 U0 b. |. ~" N2 r3 U% ?    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
2 W: l# j7 E- B    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
$ `% [8 A! w  R) P8 \    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
/ `" O3 V% V& W2 o' N8 |& A- ?    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
) J) ]% V+ {! K    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
/ j0 \1 m$ H$ z% Q: U) k. ^    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
) Q  W( T9 ~7 ]! ?        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
: a8 c2 _3 \5 n& x) M        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
) i/ K8 p9 p7 X' M; h+ g% u; P/ T$ u        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
" s& {4 U9 m" k' {3 j        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
5 p# g6 d  `7 X6 N" k9 u        press_i(j)=sum(cancha.^2);
+ G6 m) r$ O& i, [$ T    end
4 Q1 `6 Q  b2 Z) [! m    press(i)=sum(press_i);
8 n$ ^% A! p+ G' g* d, v    if i>1
! l2 ]1 g9 O: X9 G2 n" o. T        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
% P; \# d/ }9 I/ n    else
" B! O0 I9 D* l! F/ f' p& g% c8 f        Q_h2(1)=1;
    end
) ^% K- G0 T0 J: @) h    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
5 e) {  l, n" b$ ]# J        r=i;
        break
    end
end
+ m# X& ^) \' l% Ybeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
* V+ Y, Y6 y( p1 g5 Z' e6 vxishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
7 q. g( c1 J4 h# ^& D, G7 Q% msig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
8 c1 r" b3 H' q    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
; O4 }' q3 e' Esave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish




& `- W# K* e( v$ v1 e( X从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
9 P5 c$ L5 g0 u
6 A- ^0 L2 T" G5 p

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

5 l" g; y: E. \/ jload mydata
num
7 @- H( f+ |! f! Z' ]% W. v3 Och0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
4 I6 u% F! X* c+ o) ~" jy2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
( r8 k. X. G9 v( y1 Hcancha=yhat-y0; %计算残差
0 [' x% P' M" d( v5 \5 M4 ]subplot(2,2,1)
$ p! q& z% h* g7 M1 w5 t3 P0 Kplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
. ]0 {' Q) F. q8 Hplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
& l5 Z% _, [! s) V" Hsubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')


————————————————
% P* g. J: S- j& @5 D9 D: ^7 |; I0 T版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273

( {3 w; r' u4 @
# a( h% Y* _% J  e% }