偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。

% [. ]/ P4 J! A, ]6 ^& o6 {1 J6 e
  n; q% E2 ~* `* t1 @- L
1 r7 |4 r7 D/ C
& Y& w: P& H( a+ ~3 `) Z
8 A% \) z$ Q, g# ^/ r. T
表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
& G2 R" ]: z2 X

7 I2 p6 ~' H9 Z8 q2 x/ l
2 @- t$ M% h& G- |2 X利用如下的 MATLAB 程序：
- B- J% g0 d' A& {4 c! s
1 _2 r. o2 s* Lclc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
+ d. M, v* {2 R1 x. y+ u7 _4 `' @$ E! ^mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
% V0 g7 o! _! f9 Hdata=zscore(pz); %数据标准化
' Q7 b% S$ M4 ?6 rn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
' k8 T8 U+ v- ?e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
: K0 g  C! A. ~+ Q/ ^- P' o' L1 Gnum=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
( j% M5 q) k8 `  j% [    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
4 z! W/ E* p$ ?/ \( E* \    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
6 Z' _% o  M6 ]' s+ I+ s    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
" _' k* c/ R, k! c    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
) H( [! y6 z) I: T0 c# E    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
7 v2 t: d: O2 _- M+ m* ~% h    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
( Y4 V0 H, c, t# G2 }$ O    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
) s- m- {6 ^+ |, ]6 Y. R    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
% e$ T4 p' _4 s; z& v, @' V    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
- q. O; a$ y* w! ~        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
8 Y9 Z6 `  J3 C3 S+ q: C4 c+ K        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
( G5 Y7 ]% K& t8 O. Q        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
  G: y1 f2 s. r  B* ^2 ]    press(i)=sum(press_i);
- s$ C- c1 w. i# z+ C8 Z    if i>1
  q  j. L0 W, V# L        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
& \; I3 j8 O' X* ~  g% y2 r    end
( }# A6 y  B+ o- O+ j9 m6 l/ h    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
& w' {5 p1 O# Qsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
, C' ]' x, G0 f) Gend
for i=1:m
$ \1 z/ `  c; d) X/ P3 H    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
4 C' K/ f: j5 Q; ]1 B8 u7 Dsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
8 Z: d' g5 t6 b! n$ xsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

! R. ?) h+ r* H# t1 B! T! q  X

2 O1 V" ]% k" O. e. \- a; W- [: J
$ l8 W1 h1 p7 _4 Z从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。


1 V& z8 _6 h) X. z: U9 p

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

" R( }3 \3 b8 Sload mydata
7 d) `  D! W2 a& N/ J. ynum
3 j0 O. T/ V  j$ {6 Q# ~4 Nch0=repmat(ch0,num,1);
7 `8 p0 r5 P& E( {. l7 ]yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
' ?' n+ a7 y9 `ymax=max([y1max;y2max])
. Z6 k1 j  {3 U: Rcancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
6 y9 p* K7 o5 Osubplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')

/ n! W# t- l$ d& \& i" F3 W: I
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7 H; B* d% i! G; n" D( {
7 w5 X; B" b! B4 w' r8 p5 Q