差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介


  y0 v$ X% M" G$ D
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
. x3 o) Y; e7 F; q/ P) H
/ n" K: f9 f5 y! N+ h, `  s2 J: V n 阶常系数线性差分方程及求解



/ q/ Y3 b5 ]7 j
7 F1 p% q' |' G( \
# a5 S- k5 Y5 q# P两个例题
$ i% E# x. w+ P4 A3 c% ^( j
  Z$ Y9 u3 F! c$ P7 o+ f$ N9 S3 ^

/ P8 V7 _4 s/ j' {, G
+ ]3 _& Y; m) h) x& G1 Z. `1 T1 ~
  k$ a( j( P7 c( b% W5 O8 h解的稳定性


6 x0 E6 z$ D% P8 H- o( x0 T7 }! a
7 \0 i9 N& N0 _1 @2 Q) D$ g程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

7 F9 I+ l: Y# {8 W% @

9 D/ c% L; e. U! ?: y2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
7 t8 ]- x  F- n9 _0 F% V: t) i
+ T/ J4 T: r2 M! o! j% w

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
7 Q* g; I* w) l（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换



（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

. q+ r) k3 }- u

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
; d! ~$ t1 V2 z  B' P" @' m3 J
  `& v6 Q! u9 s/ l* z  Z
: _3 D; }5 I/ F4 ^2 Q( @& K
% I# g" A2 R5 }0 V: g2.2    Z 变换的性质
% L4 W- E5 V8 o（i）线性性质

$ }. {" D# N1 ?/ I. l

（ii）平移性



0 s1 o/ d. A6 D/ a& A例 3  求齐次差分方程



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