差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介


& I5 y4 z3 w  R/ U7 A
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
5 Y) [# R) Y0 H$ `. a' r, p) D% r
4 `* F$ G4 T7 G0 U* X0 a! g+ R n 阶常系数线性差分方程及求解
9 q( w4 N' y9 B" O
. A. q, o( F2 l8 i4 B, G1 h

- E/ F  |  `: ?

( e4 Q* F+ o- I8 V/ p# r两个例题

7 U3 S3 H+ c6 V2 E2 K/ [5 }
; k9 a( C# C  ]9 ?! f9 C, k+ C
% A+ l$ M4 [0 ]1 [! W
0 b0 w! k% U  h
! i  M4 l/ b7 S. X  ~; o解的稳定性
9 Y3 G3 Y: J& o6 \6 H$ z0 R

: s1 \2 c" F$ ~1 t+ v4 M
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。



3 W7 ^" G. t7 I2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
$ c* q' Q9 S5 x9 m常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
# M4 ]+ T3 i* _$ `% a2 s
5 d+ f9 Y; W( g2 g

# u$ C  H( Z' Y; C9 ?2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换


' |) l$ N( N$ ]. R
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换



: m; e+ V3 F* w( L（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）



6 _* }5 G8 \5 e* r" i$ `0 b2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
3 X8 t: ^4 a+ V/ [3 I


8 A0 Y3 b  \' O（ii）平移性
" _$ b, O+ @/ R! m7 a/ u4 g
* A. u# B& b+ ^) _$ w3 A3 B: {7 m
3 T/ ~% Z% o# U+ N6 [1 d: ~2 _+ S& X
例 3  求齐次差分方程
, B. I  ~+ f! v4 Y% `

! b# q- U1 c  N& C
0 a6 f* A8 R1 u' i9 F+ H* q( g& J————————————————
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( |( e. M1 X. T% m8 ], I) k+ K