差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
4 ?/ s7 V  W: m$ v: v4 Q, n

8 O$ S! p% _- b! v8 R% ~" U- R- k4 ~
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解

1 Q) E- s, Y4 O) M6 h' j( u* x

+ N3 Y+ f& D4 D! f3 Q" U

两个例题
0 d9 k2 G: ]8 g/ c/ ^5 a
- Q* t' V/ _" X1 C+ U/ p, @1 n1 _5 O

! s, E& g" S* u5 M6 t+ O! e

解的稳定性



程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
" z( z7 L) o2 f3 ]! M4 P" ^/ T


2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

2 m  ?5 E& M& v4 E' X* P5 }) L+ r

4 h6 ~$ q+ P, S0 w9 ^* O2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
* s6 K& O- w  u) Y（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
, ?- Z& G. E, T7 O' r: _


（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
' j" @* I! I! i: |5 d

6 J  v6 [/ U  L2 T, {2 a6 x
+ M. t" x# B/ P# j（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
( G! ~) ?5 q0 n$ ^1 i8 x, j0 }3 X


# J' a# b3 w: z  Z" W2.2    Z 变换的性质
  P! f2 D8 D0 ~$ a（i）线性性质
" C! [% i( t4 G" Q( R


% A0 d5 G4 g0 c# V9 E% L（ii）平移性
* K' D" W5 R! X6 u7 k" }


例 3  求齐次差分方程



1 W7 U5 A7 C( i. F, m5 K————————————————
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5 I4 e- a! i+ G. ^7 l