差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
6 ~2 c; W6 b- l# y
1 常染色体遗传模型
3 p' @0 c4 o# G4 T. y8 g! F! u8 x: y常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

- z6 J/ f" O9 y$ h( O

# |: K9 W$ J3 W0 `% K* P9 d例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
令n = 0,1,2,...。
6 P7 P, ]( e: w' I, b( _3 L


（b）建模
  W+ q# D5 C6 g+ O4 y

% j. p. K+ j" L0 y. V
0 `+ P/ V8 f, x3 B. V' t

. b3 F3 f  M0 }' a2 }# g编写如下 Matlab 程序：

) N% e* c9 D7 A( F% `5 b, dsyms n a0 b0 c0
5 L8 b4 [( O- E; ]% S& M/ VM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
2 i& w5 n& q+ c/ F- M
! E- z+ B: x3 a% g; i

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

) B5 p. C5 {/ `
编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
/ `5 B9 [) z3 V. Y9 g: @3 U. rM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
0 ^, o& O& `, z2 tx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)
$ G# G& m8 z7 ?! ?4 @( n

3 F/ d9 ^% y' h& d9 C# ~
; I2 p" A5 ]- p" `# g, p
2 常染色体隐性病模型
( g* \* \& Q/ C现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

* _; {3 t/ y7 {% V（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。

8 |5 {& Y1 E' v! B+ m2 O
/ n) d( F$ q# f" q5 N  r
7 u! z, K9 s) G! q （b）建模


6 ?# V5 s: Z+ t6 A4 v2 [$ b" |
# }9 e! L* a" I4 Y: o
/ S1 V! N' [- |( Z* [1 q/ T
( N( W2 c- u8 I（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
1 o. G+ K) N4 l* K9 j9 ?( Q
4 F) m( y$ M* G$ C, E* \- m0 ?

5 e0 S4 Y2 i; b: o5 Q7 Z下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
' o7 c; F+ g, ^" o
' J+ w9 X0 A4 ^3   X − 链遗传模型
. k, L3 [7 Z+ t) ]X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
5 L9 h8 c8 b. z0 n; w4 F5 W; Z1 }
$ [: M( K7 w5 O! R（a）假设
# u. N; j5 g2 s& A（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
6 ~/ Y: {9 t6 e7 \( W. c
: G5 ~5 m9 e0 g! O. u, y6 _（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
; v% {1 s( l9 N5 ~/ \# O
! }9 e  z, [6 {1 _0 v0 _

7 a; Z) {8 {5 Z0 d/ [

. @# h  m) b5 X- \" x' J
) R9 Q4 z5 s2 r, U

编写如下 Matlab 程序：

3 C) [) N: t( Y# |syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
: l/ V" R7 a+ aM=sym(M);
  n% _/ s8 P" y7 T[p,lamda]=eig(M);
/ w. J$ T2 c+ P+ j' D! }8 [; bx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
/ @* {$ m, A4 \  D, T0 o( [8 E: ]9 O6 px=simple(x)
  r1 r7 O, k* H# m& N0 f) B* M3 S

由上述程序计算结果可以看出
5 v8 A- q9 w. }; K
9 X4 J1 n. U2 w+ b


+ z! j; d% f7 X$ L7 o+ H————————————————
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