差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
$ ^! P2 J: a: w$ m常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

4 [' g- t) i: s. D) U, c

2 W6 t9 h! }% m6 h) E* B例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

) C& i0 s, K7 ~. v* d4 M6 c（a）假设
9 M* L8 N/ A+ X" Q% B& ?令n = 0,1,2,...。

9 F: u- |# ^( d0 p' s

* q, g. v7 `0 _9 V' C$ @5 C（b）建模
$ J7 R- f8 W9 _& ?; U+ D


8 E0 {$ d% F6 x% Q+ q

0 [. [# W, m) s9 ~: |  F; d编写如下 Matlab 程序：
' z; x& E2 Q! N+ q
& X& D! ^  J; }; G/ f1 psyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
; i' |% q5 v* M1 d& m9 O% K


5 E$ `5 d6 B$ D! L+ y' t' }0 I2 n) v

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
: w' `& Y1 f# Q" C1 Z) g5 P% F# f$ v; |M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
+ w9 |/ t$ Z0 F* R' ]x=simple(x)

0 L! v* R9 {# O: V8 d
: `. K; g9 Z# S; M! @! p
8 Z. i" Z2 |5 U' T5 y/ ]  Q' o; a
  w. ~9 M* X' a% J& g2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
2 M0 n; v4 }( h: c& @1 o
* \. V0 n  S& z: Q（a）假设
6 X* T5 _1 m- @4 f& a( ?（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
+ R1 Z4 m/ x5 b/ m
( A# B" h$ {4 U- G5 f! D# o8 P
( W  `, t3 i- M- q5 X8 U, h
2 t' k: l) M" _ （b）建模


$ ~! N0 G. U+ |

+ S5 F$ [; B1 \3 u$ W+ [  B, x3 D
（c）模型讨论
+ e  [3 N% U/ F研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

3 V4 g5 \% V9 s" o; \" y1 X1 x
+ v/ J- p0 f0 C$ x: j' s2 S8 P
. Q5 I! \/ R( \4 g8 f+ t* k5 P5 t下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

2 ]% R7 I! `2 b& ?1 G5 J' \3   X − 链遗传模型
) c& ]0 T; s+ `; T8 rX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
8 ~: [- B; q; L
（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。


* `& t) P& _  M" l! A

3 D7 q8 ^- ^; j$ A. o3 x# \% `) L

1 c) d% Q% O9 R- F  l7 `  C; f. _7 U
8 c6 s# P- k3 y0 ?0 [; U; O
编写如下 Matlab 程序：
4 W9 S6 W7 i5 r* O$ c
, y% [2 u  a+ ~+ v1 dsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
4 w( ]' A+ W% N! x 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
3 l1 S  F/ t4 V. Y; m' x$ yM=sym(M);
1 e# f' ~9 [5 \0 J! e  Y% @1 n' Y% A[p,lamda]=eig(M);
9 s* Z9 S- `9 M$ y, C' s1 V' Tx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)

. m. x( c, _" M' f& M% |. T# X
由上述程序计算结果可以看出

! }7 o' O! h* \  s4 L! s


! v$ A/ E5 F5 l( d- W1 S————————————————
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+ H& ]8 N- D6 Q6 G/ d" i
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