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[建模教程] 差分方程模型(四):遗传模型

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    1#
    发表于 2020-6-9 11:11 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    随着人类的进化,人们为了揭示生命的奥妙,越来越重视遗传学的研究,特别是遗 传特征的逐代传播,引起人们更多的注意。无论是人,还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲的基因,形成自己的基因对,基因对将确定 后代所表现的特征。下面,我们来研究两种类型的遗传:常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。1 _8 K: [; A" a; s. q: [' K
    1 x4 Y  g0 f# o+ ?, h/ _
    1 常染色体遗传模型
    $ ^! P2 J: a: w$ m常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对, 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的,那么 就有三种基因对,记为 AA, Aa,aa 。例如,金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色,基 因型是 AA的金鱼草开红花, Aa 型的开粉红色花,而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人,眼睛为棕色,基因型 是aa 的人,眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征,我们认为基因 A 支配基因a ,也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ,而 另一个亲体的基因型是aa 时,那么后代可以从aa 型中得到基因a ,从 Aa 型中或得到 基因 A ,或得到基因a 。这样,后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合,以及其后代形成每种基因型的概率,如下表所示。. P5 }6 R' ^( o* h; v

    4 [' g- t) i: s. D) U, c: D/ y9 S7 d0 h% A

    2 W6 t9 h! }% m6 h) E* B例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后,这种植物的任 一代的三种基因型分布如何?1 g5 ?5 f7 g1 n: L4 b1 z/ {

    ) C& i0 s, K7 ~. v* d4 M6 c(a)假设
    9 M* L8 N/ A+ X" Q% B& ?令n = 0,1,2,...。 1 Y, Q$ f* w3 B# O+ S* K9 |

    9 F: u- |# ^( d0 p' s3 x! p  U% j! e" _

    * q, g. v7 `0 _9 V' C$ @5 C(b)建模
    $ J7 R- f8 W9 _& ?; U+ D! V. ^+ \' e6 y4 d) n' u
    , I& C( s+ I; Y

    8 E0 {$ d% F6 x% Q+ q4 ~1 q, k7 Z; ^' c- H0 l

    0 [. [# W, m) s9 ~: |  F; d编写如下 Matlab 程序:
    ' z; x& E2 Q! N+ q
    & X& D! ^  J; }; G/ f1 psyms n a0 b0 c0# H+ q" W8 M: F2 ~5 U
    M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');; s4 M- }& U& h$ h
    [p,lamda]=eig(M);+ ^$ Q. [! Q1 Q7 ?
    x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];2 o$ ~5 c1 r* F
    x=simple(x)
    ; i' |% q5 v* M1 d& m9 O% K' ?: A" O; F5 y3 R8 W
    ! I1 v+ W8 U2 d- _6 H

    5 E$ `5 d6 B$ D! L+ y' t' }0 I2 n) v

    即在极限的情况下,培育的植物都是 AA型。

    (c)模型的讨论

    若在上述问题中,不选用基因 AA型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基因 型植物相结合,那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

    & `0 ]* o5 ^. O; Z) D7 ^! {. m4 R
    ; w, ?( G: C% Z) D
    $ W# r9 `; [8 p; ?( {
    编写如下 Matlab 程序:" Z: j# W$ d- ?' s) u7 o
    2 W! a, e  K4 w$ W9 K
    syms n a0 b0 c0
    : w' `& Y1 f# Q" C1 Z) g5 P% F# f$ v; |M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');# W6 e, d/ `! K: A& S4 t
    [p,lamda]=eig(M);, j( t; a* U) ~9 E* R$ u
    x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
    + w9 |/ t$ Z0 F* R' ]x=simple(x) 2 h2 }& B2 S0 M

    0 L! v* R9 {# O: V8 d
    : `. K; g9 Z# S; M! @! p
    8 Z. i" Z2 |5 U' T5 y/ ]  Q' o; a
      w. ~9 M* X' a% J& g2 常染色体隐性病模型# g+ R" X/ _) O4 n
    现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下,遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如,遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多,镰 状网性贫血症一般流行在黑人中,家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去,而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者,并且规定两个隐性患者不能结合(因为两个隐性患者结合,他们的后代就可 能成为显性患者),那么未来的儿童,虽然有可能是隐性患者,但决不会出现显性特征, 不会受到疾病的折磨。现在,我们考虑在控制结合的情况下,如何确定后代中隐性患者 的概率。
    2 M0 n; v4 }( h: c& @1 o
    * \. V0 n  S& z: Q(a)假设
    6 X* T5 _1 m- @4 f& a( ?(i)常染色体遗传的正常基因记为 A ,不正常基因记为a ,并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人,隐性患者,显性患者的基因型。
    + R1 Z4 m/ x5 b/ m
    ( A# B" h$ {4 U- G5 f! D# o8 P
    ( W  `, t3 i- M- q5 X8 U, h
    2 t' k: l) M" _ (b)建模& Z$ x2 Z7 ^8 N* I3 Z) Q
    ( Z" I6 {. p% V. B

    $ ~! N0 G. U+ |2 H9 U1 T) R$ i) k0 P# }4 Y

    + S5 F$ [; B1 \3 u$ W+ [  B, x3 D- S$ X) E  i0 \! d: g9 }7 P6 N$ i) ?
    (c)模型讨论
    + e  [3 N% U/ F研究在随机结合的情况下,隐性患者的变化是很有意思的,但随机结合导致了非线 性化问题,超出了本章范围,然而用其它技巧,在随机结合的情况下可以把(24)式改写为( B2 b( X- h' f" D

    3 V4 g5 \% V9 s" o; \" y1 X1 x
    + v/ J- p0 f0 C$ x: j' s2 S8 P
    . Q5 I! \/ R( \4 g8 f+ t* k5 P5 t下面给出数值的例子: 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者,如果控制结合,根据(24)式 可知下一代(大约 27 年)的隐性患者将减少到 5%;如果随机结合,根据(25)式, 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者,并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子, 其中有一个是显性患者。  v4 c0 z3 p: U, d$ u

    2 ]% R7 I! `2 b& ?1 G5 J' \3   X − 链遗传模型
    ) c& ]0 T; s+ `; T8 rX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ,雌性具有两个基因 AA,或 Aa ,或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个,雌性后代从父体中得到 一个基因,并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面,研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
    8 ~: [- B; q; L1 M) p( z0 x  i4 P) h4 l) n8 N
    (a)假设' e0 w: [  T" c; l
    (i)从一对雌雄结合开始,在它们的后代中,任选雌雄各一个成配偶,然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。2 D% o2 O; F. w$ W# j4 `4 \9 ~
    , d+ b& F, b2 D6 V1 W6 y& M- T
    (ii)父体与母体的基因型组成同胞对,同胞对的形式有 (A, AA) , (A, Aa) , (A,aa) , (a, AA) ,(a, Aa) ,(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对,是这六种类型 中的任一种,其后代的基因型如下表所示。6 B2 q- j5 G7 d0 m* ^& b* ^
    6 U' k2 E5 V" q; ?# b

    * `& t) P& _  M" l! A. X3 d- G  D! q6 u4 u7 Z5 n

    3 D7 q8 ^- ^; j$ A. o3 x# \% `) L) A1 a; C8 W  p0 h* C' h

    1 c) d% Q% O9 R- F  l7 `  C; f. _7 U
    8 c6 s# P- k3 y0 ?0 [; U; O2 ^" H. S1 x- c& X
    编写如下 Matlab 程序:
    4 W9 S6 W7 i5 r* O$ c
    , y% [2 u  a+ ~+ v1 dsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0, b4 j' [# q( C& V+ n+ w9 n. l  F
    M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
    4 w( ]' A+ W% N! x 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
    3 l1 S  F/ t4 V. Y; m' x$ yM=sym(M);
    1 e# f' ~9 [5 \0 J! e  Y% @1 n' Y% A[p,lamda]=eig(M);
    9 s* Z9 S- `9 M$ y, C' s1 V' Tx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];7 c4 {3 O4 L. W
    x=simple(x) 7 u( k% o" g6 G+ f1 _3 z

    . m. x( c, _" M' f& M% |. T# X9 t: ^" r7 y" B, \. j9 e
    由上述程序计算结果可以看出0 m; _) _, s3 H7 q' P/ U

    ! }7 o' O! h* \  s4 L! s# k# t* n( s1 a+ Q' A3 g
    # [# v2 t- y4 P/ g% N# {1 t

    ! v$ A/ E5 F5 l( d- W1 S————————————————
    + F! z8 a% D! n) j1 A版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。) X- J) S1 Z1 N
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
    + H& ]8 N- D6 Q6 G/ d" i
    ' M+ y5 \5 I, N+ _, D8 [& w% R0 A( ]
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