差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
' _$ ~5 f. \) [- M# k
1 常染色体遗传模型
" X/ t( ^, m4 g$ J/ w常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
( l& Z) F* m& Q1 E8 ?/ e: d* F" g
  r/ Q# e0 v0 {& I4 {! b2 d1 B

! k2 u! u! y' [5 M1 A: o& s例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
令n = 0,1,2,...。

, t. x0 N$ u" k& |

（b）建模

% g0 p( H% T% M+ `7 n9 T8 \
% e1 L# p8 x+ d) o& U


' a# P; E+ Y5 f- t9 _# Q编写如下 Matlab 程序：

/ @& s& J0 _1 P# a2 ?& isyms n a0 b0 c0
: U# }2 F8 T! Y# hM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
+ ]4 M" x% _8 e$ G[p,lamda]=eig(M);
) H  v8 L! z8 b8 bx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
9 D" ^( N- o, y% H9 gx=simple(x)
/ w* S4 v8 C9 n+ ]- T
) K( A% S* S1 b; V1 t# k

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

7 ?2 W, t' a# f) D

编写如下 Matlab 程序：

/ E% g$ E' P4 `9 \; Tsyms n a0 b0 c0
3 a0 \& W! \2 V8 H4 k9 _9 v7 X5 l# eM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
0 U/ C; q/ j" r7 Z[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
& j/ s% L2 w4 Q0 W3 M+ Y! E2 yx=simple(x)
3 A: E1 A9 V$ l6 d

/ G$ C( M( p& Z  }$ O
" X" n1 d2 D$ x" U8 k* V, w. r, M
- [" h9 t3 G9 l5 O& t$ e2 常染色体隐性病模型
" g1 k3 c9 j. F$ E: E: p现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
$ E! o7 l" Y; J
8 T$ V& g0 ?+ `. x0 E, G（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
6 [) l% u7 G7 W8 ~/ ^" I
- k5 {2 }3 M$ Z0 m5 @/ |

% v$ J) ]; M; x/ ]. V （b）建模
8 f% j4 c+ W/ S

7 M9 U. a$ u3 Q


（c）模型讨论
1 _6 Y' f8 Z5 I$ l. v- j研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
4 H6 p  G: \3 F! e7 g

% `' L' {" n* I& k9 Z( p
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

5 B& r$ J& X8 X3   X − 链遗传模型
! {# p8 o3 j- t& gX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
- b  ]; Z' z3 f
（a）假设
, W" E5 _( W4 t+ q7 U（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
7 z& X$ B( Z: l) G7 Z
（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
, s# f# i! b3 Y9 [( ~* w' J
. Q( q3 z. W) d3 q4 S% \5 |

( E+ y: d& C5 f7 M% Q; v

, h3 D( a' t2 P
, M, a! X* l1 e3 z& d

  \/ M( C* o- D" J' P编写如下 Matlab 程序：
/ l+ g! S3 L$ b; H! |
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
/ Q/ k0 t! t, i, NM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
! [+ L. s/ C& D! a! ] 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
) d2 @3 I9 g! h0 |( }7 dM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
! U, J- Q- }7 Y5 }1 xx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
8 @/ R1 s9 o& A4 ux=simple(x)

+ O' @* g% \! F+ g" ]" P. t/ F3 e
由上述程序计算结果可以看出
- |' t7 Z( V" {$ d
) t9 X! [% k5 N6 s
# t7 ~, r7 T9 k9 W) }: D
4 R- w, O2 O" v$ S) h  ?9 \7 j
; P! u& w3 U% v- p: u- R————————————————
1 M1 p, z* V) T9 w- O7 F$ J9 G版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
  z4 J1 N7 i7 f( D原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
, s  L: {- Y5 D% [$ I  K& C
. |7 n) G( A# \& }% K