差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
3 @% U: w) Z$ ^8 N8 A4 ?- Z
1 常染色体遗传模型
6 k/ k/ T0 {$ b  X1 ~常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

2 K6 ?7 L5 y0 r! V2 P+ J" {- J
6 J, S9 s  W8 t, B
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
' {. F4 U7 i' c. N) o5 }
% V4 m5 z7 X9 W（a）假设
令n = 0,1,2,...。
( F' ?$ v3 k5 p
1 x5 P( t1 l9 O: S7 E

（b）建模
8 o4 }* J) f1 z1 W/ s( z
9 k* l; Z  v/ B7 B+ C



2 x3 h0 B; \0 h% }! W3 {% S编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
. v" K7 S! T' eM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)


! N1 {/ @' X/ {/ R( P

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

( D1 y5 S) z1 q3 I" Q. e) F

8 D6 Y, ]0 L& ]4 N5 t, Z1 _5 ]/ O& c编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
, L4 u4 Q# }& k) d# y7 }4 PM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
2 ~/ c! c* |$ X* s[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
( F, L2 @$ Z3 c* Z1 ~x=simple(x)
- c; x" e+ O4 h( M2 v" g7 [



; s* C, c7 f/ @0 e: T! c0 c2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
' c; M- ^  B  s" e8 V; ~* j/ E（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
2 [& A! G$ c+ |0 X


（b）建模
1 e3 S+ D# C& E5 E% ~6 @  v
8 G5 W# ?7 V$ p) d% n9 @0 y5 U2 ]

7 d9 G7 @9 G9 @/ k
* i6 A: p; Q* L. m! R; }
（c）模型讨论
( \; Z# `; }1 L/ H2 L& }4 i研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
) T8 r: f2 {' E( R+ v
9 c. r# B+ O0 b- o5 R+ m; F
3 o* N$ \6 F0 p, @
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
4 d6 M% ^0 b2 ]2 ^1 E. ^
3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
1 D, `5 T# W( `) F
! i7 s$ T) k# l/ V4 b5 ]) ]（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
: H, t7 ]8 ~# i  i$ Q


/ Y. t7 V1 Z1 z6 s# Y; h- M% G

, ~6 x  a5 ]5 r" S& x
5 V! Q* w: J" Q+ q" {% F
  A1 i6 w: }1 W2 K# g
编写如下 Matlab 程序：
3 D0 r( i$ g& c: t' ~+ ]4 t7 P: U
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
  B7 ~' J. W% C4 q$ FM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
! c; F9 o7 s# H) p* _% w& _, a, ]/ _ 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
: G( B9 p- p" ?) a# r' Hx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
) `( d  I9 q5 e' ^6 A3 }x=simple(x)
, R6 [* h1 `, n9 n( o2 V

3 r  u! ]5 {! N+ [9 \由上述程序计算结果可以看出
4 a. F  _+ S' D" D  k0 p$ h

  A, }; C6 f2 }; `: T
5 {3 ~* @+ n4 L# n. }. \7 L# s+ Y
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