差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
4 F, z# `# T. D1 R2 @常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。



' ~. q( I6 w; h! h例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

0 m7 \, x/ I. e（a）假设
令n = 0,1,2,...。
# h/ w$ ~6 D$ h
  f; \4 b! m  \* U  i, n
9 y9 b3 O0 D5 H
) E3 l6 E' r. m! N) Q; Y( B( ^% z) Z# b（b）建模
* ?( J9 \. R( ]- @



! d1 v" ]% Z: F. w
编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
. P/ d+ G5 Q4 o1 hM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
1 X& I( u) `7 I, U; ][p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
% L7 k3 V! `6 g# k+ o
9 |1 ~2 s3 R, N2 ?
! H0 t/ }' R: ?% Z, `! y0 T- b

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

- l2 E- s% w* r0 x9 T9 J# U2 j  l

) C7 p9 @1 u6 G9 ~' b7 w' p) D4 s' R编写如下 Matlab 程序：

, E: V. Q. t. A4 q6 v5 |syms n a0 b0 c0
( \) e3 \7 b2 {( R' [0 g3 [M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
& Z. y3 [9 o7 g# F: Xx=simple(x)

9 ?8 e3 u2 }) S% ^
2 v9 f: g! J& s) d3 I( r1 W
, K; u1 J2 Q8 c" j
2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
9 x( {0 c" r/ ^% k9 j5 a; p0 t
（a）假设
2 ]$ Y) n* J9 m" L（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
: l  |% {5 v1 _3 I: q/ ]1 Y


2 t" n! S) ?. a$ Y （b）建模
* G0 C) C6 o4 \0 F. ~/ ]0 G
0 R9 p8 @# ?. D

, d* ?# N/ L5 n7 r' K

（c）模型讨论
2 R) Y9 O1 U' N5 m0 @/ s研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

" d2 O- G/ S( c1 v% d

下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
  a& y3 u3 }. vX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

0 [. c: k; ~( {( X% X% S（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
! k$ ?1 [2 X0 v' n7 ~

, ^' y2 K" Q- g6 Z/ v2 o



& _* \  [% ~- H
; c( k+ u5 K: T8 n
7 E, G7 J* \# m1 M  v8 S编写如下 Matlab 程序：

7 R/ D- A1 |7 N6 F) ]% Tsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
' _/ k- I* g/ { 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
: Z3 \! ~) E) s% i( k- }M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
0 `9 M8 ]+ U% Y1 A% M2 zx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
  H, W: i/ C4 Q# fx=simple(x)
6 @8 R: g' a, C# L' s
, T; i6 h* V. t
; P6 J( C  i: m由上述程序计算结果可以看出

) }7 Z- @5 Y# |) }+ ], i

9 z' f( r" c! H% P1 @8 t
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, q0 A5 n8 Z" f原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596

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