差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
! d) I6 M- L: e
1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。


4 F& X7 E) w3 s$ R0 e
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
4 ]8 h0 Q$ ^5 L4 M5 |4 ]! P) e- y令n = 0,1,2,...。


$ Q- C' F( B  n  Q( k3 u
; g: g! z. d+ d7 a（b）建模
8 n/ O0 }# j. s; L

1 q  N: m. }# s; R3 Y. t+ t
8 G; y$ E, f, b8 M4 N/ x  l
5 L+ K: i6 |2 G! o0 ?- L- a/ O  T
( l& ~7 T( S/ Z; M! I7 N编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
: s: B! i: f/ T/ vM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
1 t# U) K8 {2 P  J[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
' O. Y5 E( x; o3 ?! a, K, P0 t  mx=simple(x)

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

; `5 D) H2 Z6 U! Ssyms n a0 b0 c0
  C7 K- B8 }; YM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
' K! T0 E' Y% A0 H) N" V[p,lamda]=eig(M);
$ g# i! O/ O7 K. a5 |9 X7 Bx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)



7 ?: c( ^& }2 A& G
2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

* w5 @( z2 _$ ?. o9 Y4 @（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
+ r# y; V5 ?0 E6 c# P

+ F- _" i$ R& ?- ?3 J& d+ M- e! |
（b）建模
5 s' r/ s8 o1 |/ k
! t$ O* y9 F  b. }5 P
% v! ?& f; v5 A4 S4 j6 p+ a
. ~8 n( c: O4 X/ z! c

（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

3 W, @1 d6 ^/ l3 ]2 Q$ I" V
9 _5 p) A" M% y' Z5 D) R: F
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
! n9 O/ o" n0 w
（a）假设
. {. R# P4 E" e" e  r（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
8 i& m+ R& a! T" o! {0 V8 W, Z
（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。



2 G% d% J5 _0 }* S0 r# e) o

) L- |( f: Y$ D

- l9 |5 z# ?& Y# X+ d/ ~8 s
2 q9 ?& o* m5 T编写如下 Matlab 程序：
" p5 A5 O, Q& Q, W
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
* `( |0 ]+ i1 l  G/ p; qM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
. u5 ?: u) D; }5 Z7 \  Y6 W 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
2 |  n, _2 w- \4 XM=sym(M);
, U" h, m3 Y: X& Z[p,lamda]=eig(M);
- A  U6 m4 q9 n! R: X9 v0 K  Nx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
$ J7 j. _: t: K; e) Q0 b( mx=simple(x)


由上述程序计算结果可以看出



5 g7 Y5 [2 h& }% V- p0 @1 P$ T
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, @: S. G( Z; [5 f; Z; z原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
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0 e- i/ N7 k( K$ O7 i* c! S