常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
9 r9 a( W( t6 l' M9 |8 L& i6 q
  A6 o/ ]. ^9 {+ q6 e5 j1 |5 Q

在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
" P( W& `  G! c0 R

) \% m8 n6 }' x+ s
! h8 Q1 o1 y5 a6 t2 y( P8 O8 I这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

9 Q6 T5 b* N. d7 c% N& s2 L数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
0 ]: `* k1 T3 K+ a$ r$ ~$ c. p
' k( W) U( K2 b( ^* {
4 D! y6 ]$ b' B3 d) W
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
' E9 m: O9 K) y9 L. ^
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题

/ p7 l4 M) G; Y
" ~+ [3 r: v& U# c; s/ r
$ X8 G) |6 h! v5 @% Q) z
" q0 K- D% N0 A5 Y$ E/ |! f& t/ y# M需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

. U% s; m* n) j) r) [' C: x（ii）用数值积分方法
7 E$ y) w" [6 D) l4 a将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得


; Z9 S" a) P8 ^) A, E# [
* e  Q! X- k4 M右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
" F- K1 x; \7 W; ~- P. A2 a4 V% ?4 B
6 R+ H/ Y- x/ ?0 A（iii）Taylor 多项式近似



' D! y6 l# h2 s0 u+ _$ I  S以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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