常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

) B, T% Y! y3 p7 P4 S0 d

在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
! |5 b# t8 ?2 b! M0 G* W" G
# L* Z( ?, @) K! I

5 R( m( D* A; c3 ]  X3 v这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

2 l4 f! L: p# \/ A数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
7 }( e) Q" n) V7 v0 U( w3 A
. ?$ V& b- v! V5 b$ Z+ T

  w9 c$ Z: H$ r建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

/ R; C$ b. d3 d" i. G& _/ f（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
7 H0 @! c! V4 J9 X$ {

$ G2 c6 T8 ?% }7 v4 W" j: ~- n

需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
7 t/ B8 l" a* F$ {( s, x" g3 Z
. ^( e$ y3 e- \（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得



- V3 F/ L8 X4 h/ P0 x' h: w2 A右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
+ w" N1 ]* O5 }' U! d4 l* a
7 |5 A: E2 `% U3 t（iii）Taylor 多项式近似
! k3 `  O7 {: s! s  T

8 m# |1 a( a- N8 g. Q$ K$ k' F$ w
4 {- C( P* K4 M6 f8 B以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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