常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
6 k- S. h4 q; K+ \$ u
1 常微分方程的离散化
+ P, Y) S/ B7 j+ e6 M' P8 \9 O下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
# }- ]) j$ i/ G4 U3 p( P( G: P. z


8 [9 ^& v* C4 X  A$ Q+ m在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
6 \) P7 q% z$ a( H" ?

6 E# G5 }- L8 S8 m
  O  Q& Z& \6 q$ ~' r' Z这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

' w6 n4 x8 h) m) [: w/ K* v" N( n数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
" |! I+ j4 W8 p1 G5 D2 E

* _6 H! c/ Y/ _; L3 L8 b
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

（i）用差商近似导数------差分方程初值问题


' y7 K$ K: O0 m8 K: B( H; o
3 M) v/ ]/ D2 C
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

" `: `( F5 s% o( X（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得

  \4 X, `- G# X4 Z
/ n$ F$ b; `' q3 v3 }- Z2 m2 w2 c) }
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似



以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
6 Y7 C8 |, {& {- Q9 ?————————————————
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