常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
3 A+ c5 \6 A. ^4 o  T) b+ {
1 常微分方程的离散化
" |: U/ I' `  C下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

- G1 b; {) e# [3 X9 \4 L

在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
  P% o. i! _. j. M

4 A) u$ b% ]6 \: K' }1 M
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

; W* S0 X, E$ x! U  h) E- x( \数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
( h( k# I( ]2 @- U( D6 q
  [* V3 a; f3 _' M4 U" U
/ h# H  V5 e% W5 l. k( J1 g/ I
; j( o7 r4 `6 N0 t建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
# u3 e+ E: u5 x" T6 g9 o
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题


& T  r' v5 C# v6 }1 x( g& [* t! W
, B% P2 V; A; V
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
& M: M% p, ^1 [! t2 ^  c
（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得


5 V3 _$ F. _; [$ ~( e
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
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（iii）Taylor 多项式近似
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以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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