常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
; A+ {7 l( s3 x$ }& s
1 常微分方程的离散化
9 Z; n) W! s: U% }下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

0 y+ M# H, s+ r7 p

在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得


: _- B8 u7 H1 Q/ ]5 `
  o4 K# B% L. q9 Z6 M  p* T! W这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
0 [$ H. H0 s, t; _/ o- d
数值解法
" V- W5 Y7 g/ S( k1 c所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
% y, }) F$ j/ S+ ?- Q0 d# Q
, l& k* ]3 h" m9 {  S
) W7 z) D; `) ]4 K
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
2 @! X5 y# X* Q$ n
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
. z6 A0 I9 X; t( T2 Z, L
% |6 R& [, `9 r5 U

8 B6 Z/ g* B: P: W) ~
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

; a3 ~% _* z# x（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
- \- T- @8 `; S8 K) H( W! s" a
' ~4 D; O4 c- j% [* p

右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
5 a3 y" @3 Y% N) [0 k
（iii）Taylor 多项式近似


  B% R* Y& m9 _2 q0 T
以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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