常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
- Z* S" k3 v' k6 g 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。

% ]- C5 u! O- h( A! f2 @( ~

' Z/ w( Y( e% w2.2 Euler 方法的误差估计
# L9 C/ Z5 ]5 g  G1 i; p对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。

3 i4 `0 ]. l& k
( V. M4 M1 h: @3 T: C0 t6 B
) J  y2 N# n- z
9 y2 I& L( I8 D7 E
. h' I% }* F6 u6 j显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
% i6 S1 L9 S) A, v  E* B* [. u; w6 y% Z
§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
% q+ C$ G, t: ~' [% n  j/ \6 ]7 o利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即



这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

; d3 r) B, e8 a直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

+ R3 f0 g0 z/ u( ^" U$ ^$ X5 Y
$ t0 p1 S& e$ x- t0 l, q
; F) C+ G, ~7 x, G6 U如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
9 w- D! S8 Y- i8 S
) h; d% T0 S# u1 G$ l9 x3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
8 q$ s2 ~; G  v8 W/ M, U/ a
7 A. u" s* E! v0 Q
, E, s- t) v5 p5 ]; S
式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

1 G) O0 G; L% r8 T3 z: z* V  o为便于编制程序上机，式（11）常改写成


* }8 J1 E2 a! ^) w' c0 W' ~# L1 S# m
+ ^! S3 r+ r; I! J改进 Euler 法是二阶方法。
$ n  W* M/ I! x9 h' {1 F

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& X( i4 D- r. E2 n4 W, S  ^
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