常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
, u9 S) c! w% s+ P, r5 E 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
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* m) p' d7 \0 W* D: w$ H2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
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6 C5 {/ |  F9 W' x7 p6 N显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
; z& o" C1 \" B9 X* `- G3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
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$ @, Q) _, h( Y2 E& m  t这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

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如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

, ?/ Y$ K9 p% d5 ~3 L' F3.2 改进 Euler 法
' h8 V' I8 H7 l# X9 M& a按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
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8 v! m3 U+ h2 l6 T式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
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# [* N) {& M2 n* w; A/ Y  {为便于编制程序上机，式（11）常改写成

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' S" G; J' u4 K4 J1 S改进 Euler 法是二阶方法。
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