常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
' P$ u6 F* r8 W: N+ x1 K. g4 R' m 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
$ {! c/ V" b) E" ZEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
! R1 \9 [5 t5 y' _" l; i0 y


2.2 Euler 方法的误差估计
% c/ X) L# L4 y) G, B对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。


2 I7 n) X# ^! j. d! g. n
  Q" I9 i, q$ G% a/ V- ]+ k

显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
- \; K  l+ G2 T* g; `+ K/ G
# Y. C# }4 n* M7 A& [; Q$ R§3 改进的 Euler 方法
, A7 U! B, E6 _5 g3.1 梯形公式
3 p$ P5 A/ M. D9 k5 e5 d1 B利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
9 d( K0 c8 B/ U! C2 u
4 H/ b) H+ e. ?  w/ h

* ^' k! x( E& n. \( B这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

( Y: I% Y% H3 o5 \直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
+ G4 o7 s5 r$ j/ {
, j9 V' P/ `! e) r3 \
2 ?! z/ b; k2 ?) X) o* e
' U" k6 }* |( O# y如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
( E8 a) m; R' V" v* m, c7 v) V
3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

7 }( m2 _# @' F& F) s' {

, p4 D. g' B* {( _/ t式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
* E) A. R. t9 {4 y
3 H! Z5 S: b) L- ^; b% U为便于编制程序上机，式（11）常改写成



改进 Euler 法是二阶方法。

; O% B8 T$ t# J- E3 Q% \7 ?
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* ^, [0 v) ^4 c( C& Z' @! p, C7 R0 F