- 在线时间
- 791 小时
- 最后登录
- 2022-11-28
- 注册时间
- 2017-6-12
- 听众数
- 15
- 收听数
- 0
- 能力
- 120 分
- 体力
- 36352 点
- 威望
- 11 点
- 阅读权限
- 255
- 积分
- 13866
- 相册
- 0
- 日志
- 0
- 记录
- 1
- 帖子
- 616
- 主题
- 542
- 精华
- 12
- 分享
- 0
- 好友
- 225
TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
|---|
签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
§2 欧拉(Euler)方法
1 g* {8 U$ y g4 m+ j+ r1 S 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
- j: M1 C$ b) d" J. w+ uEuler 方法就是用差分方程初值问题(3)的解来近似微分方程初值问题(1)的解, 即由公式(3)依次算出 的近似值 。这组公式求问题(1)的数值 解称为向前 Euler 公式。( P5 e2 d( @& M* z" i
; h$ D/ m/ I* @9 q( O* \9 P
![]()
+ L+ M& o f% p6 n: Y
( f0 y* M% D% y& y2 W+ [2.2 Euler 方法的误差估计' U* L' m2 Q3 M0 ^
对于向前 Euler 公式(3)我们看到,当n = 1,2,....时公式右端的 都是近似的, 所以用它计算的 会有累积误差,分析累积误差比较复杂,这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。2 n: u* c1 j- S! n# m
$ C4 Y0 u ]! `& v![]()
- ?7 r- w7 ]9 u5 {
9 o. s3 v: t1 P, H9 g 5 U; X1 g: v$ h& `
% p8 n$ p# |; M1 u1 ~
显然 p 越大,方法的精度越高。式(9)说明,向前 Euler 方法是一阶方法,因此 它的精度不高。
7 G' U( ~7 K7 Q5 K$ x( J \ ~$ R4 h7 ~
§3 改进的 Euler 方法
& S7 O! y* `/ \6 y) P- J% r9 w3.1 梯形公式$ A# I: x' Z8 S! Q3 j1 Y
利用数值积分方法将微分方程离散化时,若用梯形公式计算式(4)中之右端积分, 即7 T2 B, U8 G1 a C7 f* E
% Z! w8 J! o9 K3 \& `; W$ `5 D![]()
) p9 M6 H! A9 e8 Y$ G
! e3 V9 ]9 i1 z! E z# t这就是求解初值问题(1)的梯形公式。
& ^/ m4 V- E/ L, S, J# W5 R* G( i$ T3 j
直观上容易看出,用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式,一般需用迭代法求解,迭代公式为, j; f- [: I2 `2 Q( A8 I
. ~, u4 P7 o( k, \8 q! Y. V/ G* ]![]()
p- @0 k- n& g* M, D+ ^; P7 }
0 h3 q' V7 j! R( N& ^* Q如果实际计算时精度要求不太高,用公式(10)求解时,每步可以只迭代一次,由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
- m3 h, }; C, I3 N
* V, I& k2 Z& ?+ r* ~3.2 改进 Euler 法- Q, s* S$ z) q z% t" M
按式(5)计算问题(1)的数值解时,如果每步只迭代一次,相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用:先用 Euler 公式求 的一个初步近似值 ,称为预测值,然 后用梯形公式校正求得近似值 ,即
) z. U( A- o5 G/ _, a- m2 y* `. S" }0 Y
9 h/ S1 Q2 D+ F; a+ R& F![]()
) e4 X9 G7 S: V2 t% y5 f4 [
4 [2 p5 ^1 T1 X2 F! _( }0 f# d式(11)称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统,也叫改进 Euler 法。
+ O$ f" K! L" r% a/ x. a+ J
6 ~& A( J( G' {# ~" V为便于编制程序上机,式(11)常改写成
1 t4 i2 h- s# |0 H8 V! G
' n, t% L( D5 H) c6 @1 Z M; _% d# c0 x& c
& s8 @% Z9 X# T) e7 q8 w' G( I改进 Euler 法是二阶方法。, c, S& y& n& q5 @3 \& Y9 ?
4 W& ^* F! }( `; G, Z( A2 L
; L/ F. W5 C6 q7 O9 z
————————————————
; s1 z$ k1 |0 ~; N# U `& m版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。8 `1 t4 x6 r4 N7 i" V [& q
原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703276* v2 P+ p& ?# \2 H D9 R
3 T* ?7 [& S3 D: T
, I: y V+ H. |6 L6 A! A |
zan
|