常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
& F  B% ~5 X0 P3 n0 y  ?* a6 G 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。



2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
/ i& B/ V$ P" b, I

. w) _" {0 R" X( {9 M1 I
1 ^% d9 s7 }4 S* t# C+ p( K

0 T, {: b! F0 C# `显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
4 a0 y& f; T0 z
§3 改进的 Euler 方法
- s+ u) Q! G4 V4 W7 {0 u: C  c3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
! E( `) d  T: T$ b# c2 k

: d' U* ~; ~- t- X5 k
这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
. X( Q! a1 }  v! V- v3 Q+ i
2 W, V; e/ ^: p) V直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为


$ p4 B# d4 d" t3 Z$ U$ H  k
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
% P& ^/ H& f% G9 y% q) M) A
6 P% y3 {9 ]9 e4 @$ p9 A5 e6 n$ B3.2 改进 Euler 法
* j& G6 Q  @3 ^! v: l按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

* P! z+ q% c6 H3 I# F/ i5 V

式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

为便于编制程序上机，式（11）常改写成

9 e1 c$ A3 @+ z9 \9 [
+ f1 g' w  d" e/ @
改进 Euler 法是二阶方法。
' Q2 H% N3 [: z9 J
2 \- f3 A( G$ Y  ?+ r
————————————————
' A3 Z- ~, E3 z% }1 y' x" a8 ?版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
5 v+ V& r1 ^/ f原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703276
1 K$ Q5 y4 G2 s
/ `! x- Q  P3 }* c3 t/ k) ~8 n4 a* n