常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
1 g* {8 U$ y  g4 m+ j+ r1 S 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
- j: M1 C$ b) d" J. w+ uEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。


+ L+ M& o  f% p6 n: Y
( f0 y* M% D% y& y2 W+ [2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。

$ C4 Y0 u  ]! `& v
- ?7 r- w7 ]9 u5 {
9 o. s3 v: t1 P, H9 g

显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
7 G' U( ~7 K7 Q5 K
§3 改进的 Euler 方法
& S7 O! y* `/ \6 y) P- J% r9 w3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

% Z! w8 J! o9 K3 \& `; W$ `5 D
) p9 M6 H! A9 e8 Y$ G
! e3 V9 ]9 i1 z! E  z# t这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
& ^/ m4 V- E/ L, S, J
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

. ~, u4 P7 o( k, \8 q! Y. V/ G* ]
  p- @0 k- n& g* M, D+ ^; P7 }
0 h3 q' V7 j! R( N& ^* Q如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
- m3 h, }; C, I3 N
* V, I& k2 Z& ?+ r* ~3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
) z. U( A- o5 G/ _, a- m2 y* `. S" }0 Y
9 h/ S1 Q2 D+ F; a+ R& F
) e4 X9 G7 S: V2 t% y5 f4 [
4 [2 p5 ^1 T1 X2 F! _( }0 f# d式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
+ O$ f" K! L" r% a/ x. a+ J
6 ~& A( J( G' {# ~" V为便于编制程序上机，式（11）常改写成
1 t4 i2 h- s# |0 H8 V! G
' n, t% L( D5 H) c6 @1 Z

& s8 @% Z9 X# T) e7 q8 w' G( I改进 Euler 法是二阶方法。


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