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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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§2 欧拉(Euler)方法
9 {# W1 v; z/ M2 T# \+ h/ ^ 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
0 P) C* s9 I: i) P, O* ?+ [Euler 方法就是用差分方程初值问题(3)的解来近似微分方程初值问题(1)的解, 即由公式(3)依次算出 的近似值 。这组公式求问题(1)的数值 解称为向前 Euler 公式。5 H" w E! }9 f/ `. J
$ r' [7 v7 ? O. d# W
![]()
{( L& f% b0 M& Q6 F+ y! s6 ?' k1 K2 g) q' Q0 o1 J$ j
2.2 Euler 方法的误差估计! y$ J2 o" T; |# ?" O1 ?
对于向前 Euler 公式(3)我们看到,当n = 1,2,....时公式右端的 都是近似的, 所以用它计算的 会有累积误差,分析累积误差比较复杂,这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。0 b7 Y% Q- h+ V. @" e
2 Q2 [+ I' X: d( |2 Z; }& Z
![]()
9 j) v9 @" M, l1 Q8 v, Q# w' {: e
![]()
& V/ |/ W0 f+ K
: _+ q! f4 Q" I% I3 d显然 p 越大,方法的精度越高。式(9)说明,向前 Euler 方法是一阶方法,因此 它的精度不高。
$ a2 q+ Q# t3 [
; [1 o/ |& [+ i4 b, E. ]" V§3 改进的 Euler 方法
) B$ b7 U) o8 ^0 x3 K3 \1 l9 ^ p3.1 梯形公式
* G+ x# x7 `. |* p利用数值积分方法将微分方程离散化时,若用梯形公式计算式(4)中之右端积分, 即; h H- I& l: w% j
4 P! |$ @: |' s, j8 t![]()
, \* {: X* K5 n9 x% l0 z8 q
* V8 W7 z1 {/ s$ H: [( p这就是求解初值问题(1)的梯形公式。
/ B2 }: ]; l- d2 [
! f5 t/ G$ O9 B9 a2 q+ m0 i, X- L直观上容易看出,用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式,一般需用迭代法求解,迭代公式为# D7 l9 G5 X% @
% {7 V% K# b( ]9 M , \# a6 Q8 N: I* @, Q3 _9 V
- j* n5 O* u! B
如果实际计算时精度要求不太高,用公式(10)求解时,每步可以只迭代一次,由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
; }# _& s/ \* a( s
: v+ a r; g' K2 k; ?3.2 改进 Euler 法
; t! a; k4 w: ]按式(5)计算问题(1)的数值解时,如果每步只迭代一次,相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用:先用 Euler 公式求 的一个初步近似值 ,称为预测值,然 后用梯形公式校正求得近似值 ,即
3 U! X' C* a/ n! }; ], N0 Z3 E: \8 M. L# a$ b% n4 b
( B* h6 y/ O6 f c, G+ c
- h3 M7 F B" v4 K8 V+ o2 l式(11)称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统,也叫改进 Euler 法。
/ a5 W M& Z8 A3 L/ P# S, \) z4 Q( W$ I5 G
为便于编制程序上机,式(11)常改写成
+ o& \, l' d8 T' A, g7 P/ {/ ~! O$ [' \
![]()
/ m8 P N) u+ @7 B9 ?
6 f& [" x) |3 }$ _改进 Euler 法是二阶方法。
; q/ Q3 `& b0 i6 Y2 x" ]1 N- D- T) k/ p ^, G- d
0 b, d" A. D& q) S; E1 Z, h
————————————————2 ?! [& {7 ]% b% K- _+ G: s
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