常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
9 {# W1 v; z/ M2 T# \+ h/ ^ 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
0 P) C* s9 I: i) P, O* ?+ [Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。


  {( L& f% b0 M& Q6 F
2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。


9 j) v9 @" M, l1 Q

& V/ |/ W0 f+ K
: _+ q! f4 Q" I% I3 d显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
$ a2 q+ Q# t3 [
; [1 o/ |& [+ i4 b, E. ]" V§3 改进的 Euler 方法
) B$ b7 U) o8 ^0 x3 K3 \1 l9 ^  p3.1 梯形公式
* G+ x# x7 `. |* p利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

4 P! |$ @: |' s, j8 t
, \* {: X* K5 n9 x% l0 z8 q
* V8 W7 z1 {/ s$ H: [( p这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
/ B2 }: ]; l- d2 [
! f5 t/ G$ O9 B9 a2 q+ m0 i, X- L直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

% {7 V% K# b( ]9 M

如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
; }# _& s/ \* a( s
: v+ a  r; g' K2 k; ?3.2 改进 Euler 法
; t! a; k4 w: ]按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
3 U! X' C* a/ n! }; ], N0 Z3 E: \


- h3 M7 F  B" v4 K8 V+ o2 l式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
/ a5 W  M& Z8 A3 L/ P# S
为便于编制程序上机，式（11）常改写成
+ o& \, l' d8 T

/ m8 P  N) u+ @7 B9 ?
6 f& [" x) |3 }$ _改进 Euler 法是二阶方法。
; q/ Q3 `& b0 i6 Y2 x

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