常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
5 Q& W) s& e7 U9 z2 i# x- a9 j) rEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。

$ }- e* M4 n1 ?# s$ M4 ~
% T& G8 ]/ J% N# ?- j: \. z/ p" J
$ S& R- _/ Y) B( U$ o0 k' C2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
1 z# L# e& c# C* |
6 L3 |& |" ^$ x/ s6 H

# u8 y6 S7 i$ }. z" T0 T; S. }8 u) F

" V0 _& V' y) V2 J8 G* z显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
( D1 B5 P5 I1 U3 E) d

# q1 s9 M. B" C" \8 w9 |
这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
# s. Z+ M1 a$ R( _$ [
1 g2 y( n0 e2 l, Q直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为


3 r$ L. X; g6 m8 L& }% T5 C
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

& V) Y$ n) `) H& n+ z3.2 改进 Euler 法
7 m9 h) N! \/ G* A按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

+ k- ?& J6 T& {( k5 x6 N, m# N

- a" @  X, c0 Q( [( C( X式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

: w. D* e* i4 d' F" u; s为便于编制程序上机，式（11）常改写成
: }2 F) `: Z. w

% m; D# e& _2 L! i, ]! A
改进 Euler 法是二阶方法。
; D' N% X. J( ]# `9 g7 p* U1 \

1 Y2 X( G& b  V/ X6 n9 P2 W$ W9 X' K————————————————
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