常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
8 q' N" K6 h. N& @" S- W# p9 ]/ ? 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。

# k- J! c+ e* ~" x1 ~

2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。

+ r5 ~0 f; Y5 g$ U
/ m3 I$ ~* r/ _+ _) J* l- o; I


) n* O! k% T" W1 v! d8 }4 ~: [3 }% c* ]显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

# b) C4 L( A, v* I
9 `* d, F7 Q, u, l
) P" o" e5 `; x  W这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
1 m; \( P% f  a2 W0 y5 W' N
  V! C) n- U! {* O0 m) h

  @, s. t* Z  {/ m8 i如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
9 W8 N; Z! D( W8 g' P
3.2 改进 Euler 法
! Y; \4 Q1 {! b! x3 o按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

% Q6 d2 Y6 G6 b- R, N

. u: k1 t# h2 i6 `/ L7 H) Z式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

为便于编制程序上机，式（11）常改写成



, `# v1 `1 m' M3 N( x改进 Euler 法是二阶方法。

0 z, J5 P7 P0 {4 R1 g7 r- y
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! N! l: n1 v2 N, D: q4 L& j' {原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703276


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