常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
3 {0 `; l. J; j1 j4 a9 XEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
* s6 R7 ^( q5 `4 L" A


) T. B' Y4 s4 F# P/ M* t$ e% L2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
+ O4 P3 T' h4 A6 |




( ?  ]2 e5 c0 M' V+ D2 J- p, S显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
' N; o' s  k0 \3 d
( n% }2 y) v/ j/ z! s§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
1 V, \7 |  M1 m( y利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

$ l2 s# w+ W  w2 \5 e, }

这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
1 `1 |- \! j! N
# M; e4 ^/ L3 T$ q- ]( Y1 M
+ E2 J8 D6 A) R% `% ^/ Q( R% h
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

3.2 改进 Euler 法
( ]3 W+ ]6 z& B( S按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即



$ b+ h6 J0 @$ e式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
2 b3 J) s" z$ H* u  e: @) Q5 X# _+ c
; D3 [7 U0 {5 c  D. b/ n+ D+ N3 B为便于编制程序上机，式（11）常改写成
9 J8 r  P% I/ m, \


/ h5 h; [' N# U8 H" P改进 Euler 法是二阶方法。
8 o$ Y) D* \$ b* ?5 f; S
3 S  b( {' w! c( C4 `
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