常微分方程的解法 (三): 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法 、线性多步法

浅夏110

§ 4 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法
5 c: A2 K4 F8 o1 龙格—库塔方法的基本思想
; `+ `& |$ Z' u
9 a% Y% y0 C: O* n4 C' s
- V9 K3 Q$ p# l  X
! Z* z3 e  \% s+ o: P  r' S确定系数以提高精度
5 U! X- k4 U( S( h

: b4 a1 t" k& I6 g! ?, v% v) J

, E: d- F+ O* i: Y" \; [  S( E

2 .  RK方法 :  4 阶龙格—库塔公式
要进一步提高精度，必须取更多的点，如取 4 点构造如下形式的公式：
- \1 D4 j" f* o( m# e; B' o3 ~7 U3 x( n
0 a4 i$ Z, T5 B7 ^1 o" Y5 x
  Z/ f8 p' S7 K5 [7 ]# d" o2 F

- |$ V/ n1 ?# Y4 G  F0 z
这就是常用的 4 阶龙格—库塔方法（简称 RK 方法）.
1 F" t7 b7 P+ T. d- w

9 k1 [  U6 T$ B! T$ B7 S
5  线性多步法
多步法的基本思想 、增量函数
% J% ^% Z/ u4 X8 h
5 F' c( X' \/ v  C: h  s' ]



( o/ N, c0 A# ^7 J  [% \
2 {# o: U" |* M9 N( H1 k9 {; n& Z" Y
. @; I8 g) U' Q§6 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法
6.1 一阶微分方程组的数值解法

( R. m) ]* u* a7 p4 \9 p
! U: y0 [1 j  ~2 @2 x# o. H
1 w' f$ g: m! y/ F& C么问题（25）在[a,b] 上存在唯一解 y = y(x) 。 问题（25）与（1）形式上完全相同，故对初值问题（1）所建立的各种数值解法可 全部用于求解问题（25）。

6 w% n% y( d, Y5 k3 q6.2 高阶微分方程的数值解法
' w5 {& x. s8 G8 _9 Q高阶微分方程的初值问题可以通过变量代换化为一阶微分方程组初值问题。

/ y% U, A- S, N0 e: s; P( Y1 G* @- @: B
* m  N1 Z! v: g
, P% v+ v1 V, X: c
( n9 ^8 Q* H; V. Y1 b
- M. E' t# I0 T0 @% \3 Y9 z" }刚性方程组、Stiff 方程组
最后需要指出的是，在化学工程及自动控制等领域中，所涉及的常微分方程组初值 问题常常是所谓的“刚性”问题。具体地说，对一阶线性微分方程组

* u6 w+ c1 N* P
) b! F" X4 r( G/ t% b* L7 p. l————————————————
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* H1 g2 [$ E; n/ h8 h; H1 T