稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
/ P$ X7 m9 }' j
& O+ ?" ^0 ~5 w本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
) z! D7 V: x! |+ }# T. R4 V. M
自治系统、动力系统
; J* K+ |6 q' B1 P; V& O; T: B$ H
5 T9 _# u" Y, N0 ^. O+ w: k1 u


8 k4 J1 ]% K/ e* g: N7 p# d
1 Z+ @- X, ?3 ~- N. K7 a+ o0 x. H, Z 相平面、相图、轨线
! o4 s+ f3 R( T0 U
% e, M, M) u( L/ L2 y+ w: ]+ w

奇点、孤立奇点


) }) {+ n. U; p. F% a7 j


' W( T* l0 C: z: ] 定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
) T# d) n( _& x) I  B, j) \  d
: _! T" v* O& I8 ~5 e# V' G. P% [( b定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
" k, x& G% q. M9 {/ z' f$ j9 F1 Z+ y
! J! K% o& q2 w2 j' g1 w+ J( g（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
+ S$ v$ D- f" L3 X7 a$ r+ W
+ K; h$ P9 A9 V% m6 D4 M! E5 x（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
9 r/ `! k% L: R& q/ E3 s/ `$ S6 @  y
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
2 ~5 W3 P, I9 L
定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

$ V6 o5 m) _% r" f! d对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
; O4 \2 H! k5 i0 u( G  x- C$ V! m


& o+ U& W) Y) Y# \! K" Q称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
9 X7 C/ z8 |) `% x' S) T4 S0 N
, A/ ?( t1 ?. K7 v% ~( B$ ]. k定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
2 f9 Y! P! s8 F' F6 L! }& b



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