稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
' v4 w9 V- h; q/ `
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
( d5 D' R6 _4 c' E; X8 V
0 a- N1 `) S+ s* H- U% s自治系统、动力系统
. {- c! m) A$ C3 b; p, g# g
* D& `. A1 m. m, Q6 @



相平面、相图、轨线

1 [1 u9 |; @1 I9 q: A9 J
: r# h/ ^5 M+ v; y6 |: Z) \
奇点、孤立奇点

6 o! K7 q, @) x



7 i' n1 t; J! m3 x7 A 定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

1 y: f: @, I5 S8 V# s. g& a定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
( O) V( B, y& E) j  `3 j9 ?
" Q4 {+ e" l4 i  |（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
3 d( x, ?2 ~+ p9 {
# v% y9 ~4 _6 [, s9 Z0 H' Y  }（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
+ T' g5 G2 M+ y  Q6 O
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

" ?0 u- i1 ?/ S* R. ^1 b8 i6 \% l定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

+ g0 K6 ~7 h: P8 y. p9 R5 w1 B, g对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.

( A) d/ }# d+ P) a. ?
  h8 G  }/ g; ~7 {+ K
$ r% E" v8 H& |2 _/ ~7 l( J称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

- A+ Y0 q# t5 D& c/ A. b. w1 @定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。



# s0 h1 Q# M: j% j
( ?6 O- k( `) G2 M
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