排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
  S# I0 n5 L( t
6 _' \: \. s5 t2 |( w
9 A8 d. H& J  @1 T1 l' J! V4 |


: s1 @8 X9 j* A- o+ i$ I由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
  ]9 O/ D, P& Q9 m
& ?6 l( t$ F8 s6 M
9 U6 b) [/ e# {; c
* Q! s8 J0 I  Y( Z1 O例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
# X' e4 e9 D9 K# e: r; E5 M
. ^8 ~" L8 v7 C; e- F9 v解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
6 i) m$ s! H8 D
& }# U) n' }9 A' A
$ T0 ^6 M& J( F1 B7 @
3 |! r) e. y7 r) k! t

) `+ l0 d, `$ K" P1 f: B8 `编写 LINGO 程序如下：
2 B. f8 r$ r- u6 y- O. u8 [1 v
model:
sets:
6 ]2 d3 [: ^' d8 Ostate/1..4/:p;
( e" J) L7 R5 t: e' d1 `  {endsets
/ ]$ L: ?% k3 P$ }4 Ulamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
& u. k" u2 k% x+ O" T$ \* `lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
3 L- ^9 N5 P9 b# g@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
$ i3 A" z" w) A; Sp0+@sum(state:p)=1;
5 X% F, Y) d; T6 c+ I. i# |P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
, |; w0 y8 e) j' q2 jW_q=W_s-1/mu;
end
2 多服务台混合制模型
6 U( u) a( U7 {' M; v. n* V多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
, O: F4 P6 x$ i

  ~6 B2 V( O0 l1 \& u
. |# E; S% s9 C3 b' s) M. K7 X% z于是
& X$ m+ @+ g, K, A& Z1 e
* a8 l8 J# E2 h/ x+ O6 {' s2 q5 j

/ V* W0 y/ X) v5 A# C
& Z$ R  u( p5 b3 o  \) m, T

, ?' e2 L; n- w. Q* T6 R
$ {( C, x6 Q) Y* A例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
% {& J. ~, L, Z4 n3 P$ t. K

3 l% G5 w- W% R- `
编写 LINGO 程序如下：

0 c1 }, _! m- r, cmodel:
) g0 e! F$ U/ v0 M( Q+ B  esets:
" X6 Z  q" ^$ X3 r! F4 v6 s5 jstate/1..5/:p;
endsets
& \! k) k& T2 o' f% ]7 h: Llamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
% g- g2 H3 j- c(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
/ R8 {2 }$ C$ N8 H/ c(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
: u1 K% x& u% v% U3 }@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
8 _5 I- ~5 ^. Q8 e( R: Tlamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
2 J5 l$ p, _) U6 P, l" b0 I6 @L_q=L_s-lamda_e/mu;
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有



式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

- R; I/ i/ h3 H) X- G3 S对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
! j" D5 k+ c, C  f4 d0 X  b

: J! A  M0 g" j& _4 p* \
& u3 m0 p4 n# Z; o4 ]————————————————
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