排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。

1 O& D3 P9 e$ x/ M; A

关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
) S& o1 d( w/ l- x
. ?% L% g2 c4 {+ W
2 d, o& S1 g. i) T" f
下面给出系统的有关运行指标
# t0 |% a, v' n9 e


% h; G$ }  _0 h5 \. {' u9 G' u5 j- k例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。

2 T% w6 q0 u$ L  O% L0 w解 用有限源排队模型处理本问题。已知
/ z& g( m7 z! _" {0 l& Q; m  j- O

& L  b, ^, r5 ?* f

4 n/ R4 E9 R9 @9 C
4 Y  a0 P% r! F5 r% ]4 R即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
8 s3 Q, M; x* ]  g6 \9 x0 t: o' t) \
model:
; A* e- |, y' |) S; P: Elamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
load=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m);
0 l5 n# p' B! U8 }8 [6 S8 L9 ^8 P. y1 Vp_0=1-(m-L_s)*rho;
lamda_e=lamda*(m-L_s);
p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
% S' {5 `$ }* A7 f2 i% ]L_q=L_s-(1-p_0);
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
end
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
" z$ V, O# \, k
# A* j/ H( g$ A+ N1 ~


4 L6 p- \) k. e8 p4 K
$ |+ V0 `; |1 |4 A9 x% b1 V
: ?* F. B' |3 {( D7 M————————————————
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4 t8 q! u! b$ D' j7 W
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