排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
  z7 R. m7 Z" f" d/ v0 Q
在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
. j6 ^* N' }& q0 e) t5 s% U/ |& O5 K
8 z( Z0 ~& k4 _0 ~  V1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
' Y# X9 T2 _3 g4 X7 ]7 ~. [3 Q





; b/ O& D3 R" F
编写 LINGO 程序如下：
6 v2 a' R' x+ q: c' R; S+ \
model:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
/ K2 @9 [2 u' Pend



- F3 D2 J6 B6 K6 t* n
0 K* b& V: [7 v* t0 z( E编写 LINGO 程序如下：
$ n+ V$ E) M5 B0 v2 R! r7 s
. A* t+ J+ \+ g2 r9 N: w4 [$ C4 fmodel:
# e: E% R, a5 k# h4 Bsets:
7 T( b( t" Y. O+ ]state/1..3/:p;
endsets
lamda=3.6;k=3;
3 f  j. C- O% l9 q( ]& b6 z- Klamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
. ^! `. l6 e, m$ z@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
6 E2 R9 K& [2 k7 O! x' ~(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
" g# R$ s$ p6 b. ip0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

1 d( D5 j' K% k7 t  x  p+ A0 D( ]% B2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  



& o7 ~2 E! a) C
/ M5 [! f, y; Y例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
# b# D! ?+ D' i0 ]$ O8 q+ f

9 Q9 d. p1 b; D: M  y
求解的 LINGO 程序如下：
% F" @6 T$ V9 D
% \7 L; t' j  hmodel:
, w2 H" M% W5 b4 [) {( h% g2 i) ^! ?lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
$ ~1 X5 C/ R0 u* G. l  cP_wait=@peb(rho,s);
# y) ?0 w! O4 l1 QL_q=P_wait*rho/(s-rho);
4 F" p/ ?9 x  F& d' \: wL_s=L_q+rho;
6 t* u7 r7 t: B) m* Fmin=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
end
/ ~, F/ B, l8 A# a" j: F
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