排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
4 j$ ?# v4 X; [& r
在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
( l" t3 }  [, D2 [. Q
1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
& l2 p: H* A* `0 `: ]1 ?# D! [先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即

6 ~+ c6 u& O6 v. b; ]. L" L$ b* w. t

2 H  X; j; ~6 c  m& P- S
( _: |" \! R/ B9 y


编写 LINGO 程序如下：

( N/ M& v! o0 L, @model:
# C" N) f/ ?( v) w# ~/ H" {' N$ ss=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end
( J2 N1 i; u) u6 `. z+ T


2 L2 p4 s6 M( q5 k
编写 LINGO 程序如下：

/ [4 I6 g4 y& i- gmodel:
sets:
# d  ^- v5 M( ]: ^. r% Hstate/1..3/:p;
endsets
lamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
& K) Q& R) X" r# j0 B' [(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
9 n8 B) G7 z" b' \@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
: |. s  t) D: c9 f6 ?
6 c* g3 Z! ^" d9 S2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  

* d4 o4 j6 x; P4 f4 m8 b( ]

9 s. }9 i! f3 V
1 k; _+ ?9 K. B" A例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？

" i8 ?- O9 J( i5 S5 b
8 X1 c  D' {$ D$ _& H+ L/ m4 H, _
) K+ F' e; p3 F求解的 LINGO 程序如下：
# \0 ?6 j: N9 o, |  M/ J+ f
% R% n2 h# n0 T* ^9 N' Fmodel:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
: M8 n4 i) m/ o% f  M# i2 L) G% EP_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
min=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
: O  L1 {2 W/ `9 T2 @: V. |. b9 Dend

8 n/ ^1 H5 D. {2 R! S% J' Z. \  b————————————————
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