排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

( W3 i3 f% l0 t在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
& u( N$ K+ p$ e5 f
- K* D" ~! N  m# k6 p! }" ]2 q1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即

" {; I/ @  U1 d+ K! e# M
5 r; }2 _: }- F( V
8 [; D* p" M1 A% c+ o
' {4 ~& w3 \/ _* S4 _


6 X+ k7 J" e( k! @% Z编写 LINGO 程序如下：

; X3 b, b% P) U4 Fmodel:
# `, b1 d' g, V- Y' ps=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
* P" F7 t, P% I/ L4 v5 pmax=100*(k-L_s)-75*mu;
4 F" m3 R6 O$ S, L+ d* D4 I- jend
# S! Y/ Q! n1 G

6 c7 L+ G: d  G% B. }

编写 LINGO 程序如下：
+ x* t- q* o) t
* w- z2 E& d. W) [, x9 i" emodel:
sets:
state/1..3/:p;
endsets
# _) l' Y8 ?1 m! S$ q  f, c; Olamda=3.6;k=3;
! }9 x6 X- x6 Z& g% P) ~lamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
$ m* e2 g/ m1 b; l8 P* L(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
: h9 r; R& K0 @$ M0 Rlamda*p(k-1)=p(k)/t;
$ P/ k9 ^! O7 V. v7 w% w; X6 {p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
3 I, G9 ^- ?. ]7 w8 Gend
  B7 \2 U1 b3 `& {' M# A  g求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  

" p( z9 R. g& z2 Y6 a
' k% u# L  C; }$ h# a+ [9 \

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
) @1 V9 `# X  B9 Q) C1 E
# c2 B# a+ L6 V
1 j$ ~4 R7 T: n! [+ P4 N
6 _1 E9 A- X3 w6 z: {, ^求解的 LINGO 程序如下：
! a2 T2 y! N9 t% t
model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
' `8 t! s  c$ w( H, i% zP_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
% Z# J) Y$ g# j( I/ U( i" Jmin=4*s+6*L_s;
" D0 v8 D/ }6 M8 L8 t' E  S@gin(s);@bnd(2,s,5);
& l1 M* s/ W$ q0 J) w: v: dend
, S" f" k' I! S/ P8 v- R- e
) J0 n  ~1 L- [' ]————————————————
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