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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
9 }, k/ `# q. A! M/ [7 A, n1 t x
4 J: q& Z: Q5 p变分法简介1 R: Z1 b3 W1 ]+ C
- o% R# g% P) Z) n, m
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
0 f6 @4 R- t8 z8 ^9 k
- d* N" i3 G! A3 g$ J9 t1 变分法的基本概念# Q: Y9 _0 M2 y1 k/ V
1.1 泛函& `2 f6 x0 q2 J/ Q' @: P. W6 C0 N
+ L) o$ ]& }" d6 J5 \* n% r2 V![]()
C' L1 }: ^3 n6 z- d+ W% s8 D1 Z$ Z/ y2 [; G
1.2 泛函的极值
& B% W2 G# s3 w! M# S4 H5 e6 a
& M2 k6 j! d7 {9 N& @7 q" b6 l ( G+ d7 O. k8 A" ?: v# `$ N4 g
, _7 l6 T5 l, Q3 E" D& e
1.3 泛函的变分
4 ?& G0 R) W* [4 P% S
' \( G5 L5 h1 |3 q! Y" V 7 n$ |" _, B, B' ?8 m+ {" e
![]()
% q/ o* l6 D, a# p
, h8 u) ]0 K% H" O# Y& S1.4 极值与变分% S; `) a2 M+ G' f
利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:3 U3 U; l. h& D0 s: W/ G; `
5 A v1 a4 y7 g! B5 k& X8 s
1 c/ V2 Z$ `- {6 Q* w5 h& T1 ^
" E u) _1 y) E6 F
1.5. 变分法的基本引理
1 o- Y/ J8 D6 Z9 p: ]4 @
2 t1 o) \$ i6 [" {5 M0 r# s# E: e2 b . f; Q% n4 H. h, ~
$ O2 |* J7 `1 f* V- X5 b6 G; I
2 无约束条件的泛函极值9 W+ t" Q; w* \( P% ?4 H. z. B5 b1 a
+ [0 g7 I P+ ?/ L" k2 H8 P
8 i) o1 N9 f8 y g0 W) a
/ O6 }& o% G0 e
2.1 端点固定的情况
1 U8 v* s m3 x; M8 ~8 I- K' y
9 v3 Y. h* t, Q 7 D# h" K0 z5 `. r7 k. V, j; w& z. ^
![]()
7 r% w5 f8 l1 f4 U- ?
$ [. D7 p- M" x. `; n2.2 最简泛函的几种特殊情形
, |4 }" \& t& @% p6 R5 s
/ \3 Z' a3 n0 P: W : H- L& O& G: F/ d: u3 E% _
$ Q5 c* a$ b U$ n # p1 c3 P0 v8 R1 I! x
) D+ O0 n) C' k- n$ M' `) Y3 h
例 1 (最速降线问题)
: f I6 I3 |7 q8 ~9 ]. C最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
/ [* Q: K: @2 X2 [- l o% h! |; v( x1 M
: d. l1 B: I; h" A4 y
8 b# g( l6 ^0 f9 O4 k# G# w# A( A ; o( ]% f3 I0 H3 p" I1 D6 A8 Q) k
. w6 q' x% Q, `% R- P4 B3 v# W8 ^例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
5 q6 Q6 d6 A7 C+ G9 y# C+ W8 S3 O6 ] k
![]()
! ~3 M1 X5 w% h; m
, X2 a* e) K' Q5 m2 m( Z2.3 最简泛函的推广
* E5 P8 s1 A2 {% r最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。 D4 v @0 ?/ P( z2 b( D/ k
% {2 T# ?" ]; B% @) I* j- ](ⅰ)含多个函数的泛函
) P) ~1 i+ n( G
3 o% s6 B! ?- ^2 f9 i![]()
9 l; t$ b* o: y! V
1 K0 C, e: `( c, e(ii)含高阶导数的泛函
$ P" G& J" Y- x$ y7 Y# F$ H
% Y1 i/ N7 N* C: R& l' V0 |5 u![]()
- t# O5 P# }9 g) K
0 h5 M9 y& D8 }* X0 M; r(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程
[0 h# \' F0 U7 s+ t& K6 Q
' E9 }& }- s! U1 E0 \ + u$ y3 _. R! v
n2 d7 v. c- y0 L
2.4 端点变动的情况(横截条件)- y3 c: i: H: H
$ |! u, z. k' Y1 ]0 _ $ {% k9 o( x6 j; z: B; Z
0 ^; b0 D! ^" W% n4 a& K6 D! G- D. {
![]()
! ?$ v" d* S! u6 h& f4 E横截条件有两种常见的特殊情况:6 }5 l7 Z9 f# W# H3 o% D$ L9 i
7 w9 k y1 p, X( R0 |- p $ `$ w* b! V0 M! [& ^
$ E, C. T' ]* x3 W2 n5 b
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
8 Q( a: P+ b' [' C6 @! T, R
Y/ t, m3 ~9 n* y# c* j- { 3 有约束条件的泛函极值
! g! M P% [0 d# |/ B9 i) W在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统+ J- }7 N+ X# M* f7 Y0 H
4 M& `2 `3 F1 @ ] S$ u. K![]()
! z3 x/ U1 `5 t" R
7 B' D8 U+ ]; O: M3 l2 l . x; o/ |6 Y6 [+ |3 Z4 K
0 a" |. z# f* R3 s5 V![]()
( c" d3 a- s# D0 L4 K
( @4 z. b3 H. p9 ^; y5 `
, n( v0 \+ U9 K# L; k$ v5 w T# {- o$ @+ O& v$ }2 _
4 最大(小)值原理
+ p( m( D9 } O1 M* F8 G$ d" W& R
" t" B) j, Z8 ` x![]() ![]()
7 B3 K7 S% R& S. z% H& T* v M V) |( M4 e. [
————————————————# L# b7 J( A! i W# X" S, q
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) F% ?0 W, E0 K& Y+ H' I
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