动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
$ x1 z+ B0 p0 L, k
/ m1 C0 B8 m; z% ?+ i& h7 |变分法简介
. f2 P+ [8 U8 b+ H
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
; ]+ s- Q/ ^4 ~6 \+ h; _# `( C7 a
; E# p5 |# P& H7 C( K2 ?  N1 变分法的基本概念
% o. ^, y$ [. F" ^8 j1.1 泛函



. X6 U0 r/ m- W' f9 y 1.2 泛函的极值



1.3 泛函的变分

2 c) i- q' {3 ~" S
! L  @* s" h% V. _9 Y) w$ A

# ?" j. y+ s6 J9 b1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：


9 G. g& l( ]# o5 B$ V' k
1.5. 变分法的基本引理

. f, T. x$ Y/ |. i" e8 l

. e6 N0 }2 _, }7 R5 g2 无约束条件的泛函极值



% R- O4 ~# B) h8 b( j  q2.1 端点固定的情况
, ~% @# |5 I8 M

0 I1 Z4 [" L, ]

' y7 Y+ x* M6 Q/ v2.2 最简泛函的几种特殊情形

- F9 G# p& ~) p; S  }

2 c2 E2 R& J3 p
4 f. d. ]2 J( o; b
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
5 t, f2 c7 ^" Q) y( a, s* `

; I5 b# y* R* n0 M) }6 J
/ P; y6 D( L% F# Y( E9 w5 Q" @
8 h8 E# j6 o+ k4 I# v
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



+ ]# D+ a  }7 @2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
* H" o$ V* L& w, w1 {, u3 F' A
（ⅰ）含多个函数的泛函

  D' w) S; ]5 Y! C; D7 G

（ii）含高阶导数的泛函
7 `% W9 r9 Q5 _' ?+ t


7 }: ?; }1 ?/ c/ L$ N  @1 b6 {（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

5 t- A" |) G, z% O# A

2.4 端点变动的情况（横截条件）


1 f! X8 A, P" [; p& m
7 J/ G4 X9 F/ P
+ n& q. O5 v9 T- {. E5 E$ V横截条件有两种常见的特殊情况：
' z/ ]& r& s4 E" p4 g, _. c
% }: I  s" l1 R3 O( r1 M

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

0 N  b4 ~4 f' [- }& u 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统


$ }4 Z3 I$ g' e1 q* t+ |



: [% u) ]& o8 g* v; `) J, c, ]
+ X3 _: ~9 R6 S, R5 C

4 最大（小）值原理



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