动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
9 }, k/ `# q. A! M/ [7 A, n1 t  x
4 J: q& Z: Q5 p变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
0 f6 @4 R- t8 z8 ^9 k
- d* N" i3 G! A3 g$ J9 t1 变分法的基本概念
1.1 泛函

+ L) o$ ]& }" d6 J5 \* n% r2 V
  C' L1 }: ^3 n6 z
1.2 泛函的极值
& B% W2 G# s3 w! M# S4 H5 e6 a
& M2 k6 j! d7 {9 N& @7 q" b6 l

1.3 泛函的变分
4 ?& G0 R) W* [4 P% S
' \( G5 L5 h1 |3 q! Y" V

% q/ o* l6 D, a# p
, h8 u) ]0 K% H" O# Y& S1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



1.5. 变分法的基本引理
1 o- Y/ J8 D6 Z9 p: ]4 @
2 t1 o) \$ i6 [" {5 M0 r# s# E: e2 b

2 无约束条件的泛函极值



2.1 端点固定的情况
1 U8 v* s  m3 x; M8 ~8 I- K' y
9 v3 Y. h* t, Q

7 r% w5 f8 l1 f4 U- ?
$ [. D7 p- M" x. `; n2.2 最简泛函的几种特殊情形
, |4 }" \& t& @% p6 R5 s
/ \3 Z' a3 n0 P: W

$ Q5 c* a$ b  U$ n

例 1 (最速降线问题)  
: f  I6 I3 |7 q8 ~9 ]. C最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
/ [* Q: K: @2 X2 [- l  o


8 b# g( l6 ^0 f9 O4 k# G# w# A( A

. w6 q' x% Q, `% R- P4 B3 v# W8 ^例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
5 q6 Q6 d6 A7 C+ G

! ~3 M1 X5 w% h; m
, X2 a* e) K' Q5 m2 m( Z2.3 最简泛函的推广
* E5 P8 s1 A2 {% r最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

% {2 T# ?" ]; B% @) I* j- ]（ⅰ）含多个函数的泛函
) P) ~1 i+ n( G
3 o% s6 B! ?- ^2 f9 i
9 l; t$ b* o: y! V
1 K0 C, e: `( c, e（ii）含高阶导数的泛函
$ P" G& J" Y- x$ y7 Y# F$ H
% Y1 i/ N7 N* C: R& l' V0 |5 u
- t# O5 P# }9 g) K
0 h5 M9 y& D8 }* X0 M; r（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
  [0 h# \' F0 U7 s+ t& K6 Q
' E9 }& }- s! U1 E0 \

2.4 端点变动的情况（横截条件）

$ |! u, z. k' Y1 ]0 _


! ?$ v" d* S! u6 h& f4 E横截条件有两种常见的特殊情况：

7 w9 k  y1 p, X( R0 |- p

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
8 Q( a: P+ b' [' C6 @! T, R
  Y/ t, m3 ~9 n* y# c* j- { 3 有约束条件的泛函极值
! g! M  P% [0 d# |/ B9 i) W在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

4 M& `2 `3 F1 @  ]  S$ u. K
! z3 x/ U1 `5 t" R
7 B' D8 U+ ]; O: M3 l2 l

0 a" |. z# f* R3 s5 V
( c" d3 a- s# D0 L4 K
( @4 z. b3 H. p9 ^; y5 `
, n( v0 \+ U9 K# L; k
4 最大（小）值原理
+ p( m( D9 }  O1 M* F8 G$ d" W& R
" t" B) j, Z8 `  x
7 B3 K7 S% R& S. z% H& T
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