QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 2350|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

[建模教程] 动态优化模型/ 变分法:泛函、极值、变分

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
浅夏110 实名认证       

542

主题

15

听众

1万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2020-6-13 09:39 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。1 m3 R$ U2 a% {' n+ G' W
      m$ u4 \. W" b) m4 P! a
    变分法简介
    * ?3 |. d( z9 [4 Y
    9 A" A" g. h! R" \6 ~* U) @  T变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
      M6 i+ N* a( z0 A* M/ D
    6 u; _# e4 e8 T. n+ \$ q1 变分法的基本概念
    # T" \) D2 @" T- ]4 x, V1.1 泛函
    ! f4 `, N& j' a* Z7 o0 X0 r. P
    5 {$ h. z: e) Y+ o4 {
    # |/ u3 B1 z7 \$ w7 b& r. x2 B8 d& K, L3 N
    1.2 泛函的极值
    & A! c# b9 p$ y3 v1 I) N1 F0 j% z; U) V- \) F6 F  Z

    # T# m2 \6 ]. E; D$ O) ~) u4 O6 S8 k. p' Z" M& }4 p& I/ K
    1.3 泛函的变分
    ' H/ ]: |: a4 n" z- N6 k' @/ s+ h% u  ]- W
    7 I2 L' A* V7 ]  X% ^- B
    ) A- c' k6 n3 ^6 B$ x

    2 ]7 z! ^( J! V/ Z8 p* u- N+ m1.4 极值与变分) T1 \4 I1 t0 E8 \; }: o
    利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:
    9 ^: I- C2 `; A+ m% t3 J, s3 {$ Z/ }! v# S1 q2 \
    * K, X; T1 C, x9 ?2 K# e

    ( D, C  N/ s7 p5 M0 a1.5. 变分法的基本引理
    ! i, [& n9 r, C3 C, @* e' _4 o6 d* S1 [! u
    . p% y# u& H, z4 c# ~: f+ q

    % Z' Q, F' U, g2 无约束条件的泛函极值" U2 N5 ~; F/ }( d3 B; p: |& f/ F4 x
    , H' Q0 I, ]( ^
    . F5 ^5 `  p" r* V1 x& b3 ?3 z

    " i: W* O- ^5 Y# _" A: T8 R2.1 端点固定的情况- }% G$ ?  p- g! Q* S% {5 Q9 j
    . V; y5 Z6 G0 S6 O' L
    * P* C% ~$ R& Z% u" j

    ) b5 ?* [5 R6 S- J
    $ E. o! [& `  ?* W0 a2.2 最简泛函的几种特殊情形7 m/ k+ X0 J& \1 ^2 e* G
    0 S" b0 \0 w$ Z% F  q. c- Y

    ; g) h* A% F$ U& n# Q4 J1 f: r& n( F( E# b" D; w
    - _3 o- c2 T% e

    / y% `" E5 k8 s' A- h% J% g' t/ K例 1 (最速降线问题)  + N1 E$ o' H4 C" B  A3 J# K
    最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。; G& ]3 M4 X9 i; F( Q

    6 @/ t6 N5 |$ ~: F9 f5 f1 h+ V4 F7 `' G* r9 F$ B4 n0 r
    ) ~0 u% Q0 L/ Z! p( E+ Q
    # p; i. t# _* U* Y
    , J  M  y3 J; ^4 k* {2 i' {& D: F
    例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程  _+ W& W6 P+ H4 l
    0 G% t! }% E0 L* r! k8 e5 E* G7 Y9 Y4 ]" `
    , v0 u9 F0 ?3 `( D$ p0 T* x

    % P+ Z5 F' q9 \2.3 最简泛函的推广
    ( U' P2 v. }9 L. c* v最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。" N& ?4 C1 y+ H) Y1 \3 T; P4 d) C) p

    : `) E5 T6 j# l  }$ q3 u(ⅰ)含多个函数的泛函
    2 E9 J1 D2 Y: Q" N" P& t/ g: f3 h

    / e, Q+ r: l7 I" ~1 |" c4 M' e) n/ }7 G
    (ii)含高阶导数的泛函8 L0 p+ m( `5 [3 H1 }3 @$ b( [5 O

    ' {0 l0 ~6 K+ f: v
    : V1 T7 B0 O- f- o4 s( }. V  Y3 W' \" F- Q
    (iii) 含多元函数的泛函、奥式方程" h8 @0 ^% t4 S1 s0 U

    8 R* j! X0 V# Q8 ?2 E; g* f  w* A: t6 E; D. ~# N9 X- N

    % a# {7 @1 s0 [" ~/ q# o2.4 端点变动的情况(横截条件)7 R5 i9 e$ j+ ~% X3 U0 h( v* \; t
    * _% n; z9 t. p$ q

    1 ]. H' _! \8 S0 ^2 X# J& i: }, P  w; W9 y

    + a& }1 ^% q# a: H9 J3 w5 M6 g  \横截条件有两种常见的特殊情况:
    9 h1 q# I) W9 c- y1 J
    * Z3 A$ Z; j6 z& ^3 k+ e+ j
      I2 g+ X: X0 S# d. [7 b
    ) w1 r" {1 y9 K) z( l+ L' m5 J注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
    ' q5 z" ?4 g0 |3 s/ L& s8 }
    & S- P9 H. C) A( }3 V 3 有约束条件的泛函极值+ B* f$ R  h; _. K
    在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统, K/ [8 L% I& R( y' ^1 ]

    * Z, E' |% L" i4 Q# C9 Q3 i" c$ Y
    ! s3 T# t9 W; c% E6 t" ]# a) h  o) X
    6 I) T; A& ]2 G. z" Q$ H

    4 P# F# w" B5 U0 V1 C* C/ g
    ; J9 o2 l+ x% e# \! ?
    + @7 V8 n  g4 Y+ U+ Q3 a+ K, t- ^1 F3 R/ y0 c
    * l5 D4 j$ B# ~% [5 ]6 O
    4 最大(小)值原理
    ) r4 ~5 p: Z: a% P
    ( ]4 y' {2 s2 G4 R# [9 ]
    ! J' Z1 \3 U! u6 [5 X* p; K" [- X# Q  \: ]& y7 s
    ————————————————
    6 M. M  T- j: Y3 b版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    " `3 V- ~6 ?! N原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
    & r- S+ l$ b# O/ k: d3 M$ r- t8 Y1 k4 ~8 A% s8 w( M! F
    $ i* o7 J; j8 F, A, Q% d
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-6-16 03:52 , Processed in 0.385244 second(s), 51 queries .

    回顶部