动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
* ?3 |. d( z9 [4 Y
9 A" A" g. h! R" \6 ~* U) @  T变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
  M6 i+ N* a( z0 A* M/ D
6 u; _# e4 e8 T. n+ \$ q1 变分法的基本概念
# T" \) D2 @" T- ]4 x, V1.1 泛函
! f4 `, N& j' a* Z7 o0 X0 r. P
5 {$ h. z: e) Y+ o4 {
# |/ u3 B1 z7 \$ w7 b& r
1.2 泛函的极值
& A! c# b9 p$ y3 v1 I) N1 F0 j

# T# m2 \6 ]. E; D$ O) ~) u
1.3 泛函的变分
' H/ ]: |: a4 n" z- N6 k' @



2 ]7 z! ^( J! V/ Z8 p* u- N+ m1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
9 ^: I- C2 `; A+ m% t3 J, s


( D, C  N/ s7 p5 M0 a1.5. 变分法的基本引理
! i, [& n9 r, C3 C, @* e' _


% Z' Q, F' U, g2 无约束条件的泛函极值



" i: W* O- ^5 Y# _" A: T8 R2.1 端点固定的情况



) b5 ?* [5 R6 S- J
$ E. o! [& `  ?* W0 a2.2 最简泛函的几种特殊情形


; g) h* A% F$ U& n# Q4 J


/ y% `" E5 k8 s' A- h% J% g' t/ K例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

6 @/ t6 N5 |$ ~: F9 f



例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



% P+ Z5 F' q9 \2.3 最简泛函的推广
( U' P2 v. }9 L. c* v最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

: `) E5 T6 j# l  }$ q3 u（ⅰ）含多个函数的泛函
2 E9 J1 D2 Y: Q" N

/ e, Q+ r: l7 I" ~
（ii）含高阶导数的泛函

' {0 l0 ~6 K+ f: v
: V1 T7 B0 O- f
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

8 R* j! X0 V# Q8 ?2 E; g* f

% a# {7 @1 s0 [" ~/ q# o2.4 端点变动的情况（横截条件）


1 ]. H' _! \8 S0 ^2 X# J

+ a& }1 ^% q# a: H9 J3 w5 M6 g  \横截条件有两种常见的特殊情况：
9 h1 q# I) W9 c- y1 J
* Z3 A$ Z; j6 z& ^3 k+ e+ j
  I2 g+ X: X0 S# d. [7 b
) w1 r" {1 y9 K) z( l+ L' m5 J注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
' q5 z" ?4 g0 |3 s/ L& s8 }
& S- P9 H. C) A( }3 V 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

* Z, E' |% L" i4 Q# C9 Q3 i" c$ Y
! s3 T# t9 W; c% E


4 P# F# w" B5 U0 V1 C* C/ g
; J9 o2 l+ x% e# \! ?
+ @7 V8 n  g4 Y+ U+ Q

4 最大（小）值原理
) r4 ~5 p: Z: a% P
( ]4 y' {2 s2 G4 R# [9 ]
! J' Z1 \3 U! u6 [5 X* p; K" [
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& r- S+ l$ b# O/ k: d3 M$ r- t