动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
9 T( r; ^' w& Q# W, D4 S
" d% [6 \1 @+ A8 U) N变分法简介

# Q# i6 Y; T, |" I9 m+ p变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
: h7 p: I  t8 q' ?* O
1 变分法的基本概念
- _* l7 M; _6 [& D" w1.1 泛函



( C* T- `& k( S( J 1.2 泛函的极值
; @8 X+ O# u( {5 J4 a0 Q3 C0 h; j
- f5 q3 x/ v, ^$ x' o

0 o7 x: M9 F3 J1 s& c1.3 泛函的变分


5 Z* G( d1 [6 t/ l1 k9 [
$ v3 n5 \5 K; t  e% S
1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
6 E+ N+ E' M1 U/ f9 |! \
  C7 c' R* O' P/ T6 `# F
% n! m- I) o$ G( L
1.5. 变分法的基本引理
  u$ E3 r) }0 C2 M
3 ~( H% _' D4 T6 R
' M$ _+ J% u; I0 W+ H5 Q5 r- }& W
2 无约束条件的泛函极值
! K; F  e3 b* K' G' [0 i; d2 o
& U) ]4 B2 {. i$ S( F* \3 T# L

2.1 端点固定的情况


/ p" F! S1 O3 n/ V0 U
: Y3 E1 |5 T" V3 E2 _3 z
2.2 最简泛函的几种特殊情形
% g: Y( \, m- \+ w' U1 T+ W' Y* |

& J6 q7 e* A3 d: ]7 V/ _
: B8 |4 ?: f. R+ O& Y
6 n; y6 V! W& U  M$ G
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。



3 j* X9 \; c. a4 y8 C

* u+ C8 A# Y7 m1 g6 @例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

/ x1 E- ]  N3 e/ ^7 y( \

2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函
: q, q1 B3 i" d$ Y) |+ m
2 T/ O7 W% f5 F4 o. J. T+ ?- |; x
) t% k5 L8 }+ ~1 j  N/ q
（ii）含高阶导数的泛函

) b$ j) m4 d' p( Z6 @

! x* h/ O# J6 G2 _# [（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
6 Y) x# z& A) P" b, l- r7 [
  y1 ]/ o- D% X' B5 n
( o1 n! n% C! S+ C) M
2.4 端点变动的情况（横截条件）
" l0 G$ `4 c( o, n" B8 l) |

+ a& f+ |/ K7 }4 `, a

) R0 N9 n  _0 X$ N横截条件有两种常见的特殊情况：

% l1 @# ~5 a0 A/ y5 T* i& j% {# N3 f

* G' l! A0 @# K3 j- ]1 O' ]% W注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
7 l, I+ D( ?% r
3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
/ E0 R" s$ |- {& R3 e( B


; ]% ~# U$ d4 y5 Y4 q
2 P1 r' Z# e$ Y



  A$ n( v( t: C, f, b; R1 [8 D* k
' k6 I6 I2 d- e0 ]! G: e8 |# ]4 最大（小）值原理
3 ~+ o8 T$ X8 J3 i
; \9 I* ~2 y  F$ a2 h
0 `# x, T+ ?6 b0 Q4 p7 ~
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