动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
) @- j# D3 n9 E2 D0 w
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

+ J' ^0 e6 W; |3 v7 D- m. n& F& v& a1 变分法的基本概念
$ M3 q3 e* x! l# Z3 ~1.1 泛函

( j* Z" V; Q' o: B) o
( D% R4 Y" R9 w
1.2 泛函的极值



1.3 泛函的变分
4 S% R! d+ U) B1 x' X0 |: T/ M

7 b3 ]. q7 @+ l" _
- g" {4 ~: Q  s* S( Z% M
8 T& v' [- {7 }7 {+ d5 O$ d1.4 极值与变分
. h, ?: ~- i: M0 w: A利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

- Q$ P# J& X3 ^
2 d% M3 O0 r" c8 J  }6 d" A% I3 i6 r
7 [* s* d/ x: J" |( ^7 b1.5. 变分法的基本引理

( c$ [. B% u3 k7 u& X1 @
# L3 ^) ~5 y6 `) v+ m
: ~/ x' [/ N: O9 D+ z% w8 C2 无约束条件的泛函极值


) I5 f: v0 h* {# d% ]
2.1 端点固定的情况


; n" n7 B5 B% s* B  \0 d2 U& \$ B1 D
0 f6 V0 s/ f" M3 a! {5 d
2.2 最简泛函的几种特殊情形
" \/ W; r$ p: d' n

3 p$ |7 F- k- w8 J  L- X+ `

$ |6 V8 _4 h% S
7 v: v9 ~+ x9 }$ x' y! I例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。


6 C0 _' ~, O' d* a0 a- m  v; ^
! B  x- O9 R5 n$ v2 p& S

* k! A2 t7 p; }! L1 d( M例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
. u* D! w4 ~% T+ N, h* S
' c# E! D: Z% h, l9 c# ~

2.3 最简泛函的推广
7 d4 s2 M- s" k最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
! N5 \; b9 H+ X4 X% ]3 f4 |' X
（ⅰ）含多个函数的泛函



6 K  O1 k% c6 D（ii）含高阶导数的泛函

: `$ V* p* I0 k7 i, V# \8 ^- }
. x" _6 k. x1 V/ @8 j: F  s- L& u
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

) P: C2 s7 d3 E3 w6 I
1 f/ b2 [3 q9 L4 Q( o% T; J0 L
# d. [6 l  E' [4 L. F0 @2.4 端点变动的情况（横截条件）
5 H3 R, p8 s+ k



横截条件有两种常见的特殊情况：
& k. ?# P, h% u+ \0 m0 i

/ W3 n* r" `( X* m+ e
& O( }8 k2 r1 b$ t- x0 {' k; d注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
1 z( u+ B# \3 u) q+ Y& U& Q# `. Y
1 N. q0 y. m7 }) R4 ?6 [. H, K 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
! Z, z4 f6 a5 K" W0 \; \
) g  C' |+ V! @/ d7 X

: [+ \" v6 g/ ^7 d) m. O: a

, }8 E7 o) }5 a+ i+ H5 S4 v


. a/ q2 N. S/ O* x8 J, C0 L
' {" B/ I4 ?% b* i" Q4 最大（小）值原理

- s7 `: o# }4 j3 s6 X
7 P. K! t/ l6 k, Y4 D6 k+ r8 H4 Z2 [
: Q5 D) [8 r8 L3 x: S————————————————
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( m, E, ^/ h, a& U