动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
5 H- k& W6 n/ s! E
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

0 D: d( ^) i% M' U" [+ E1 变分法的基本概念
1.1 泛函
& J, }0 k5 P2 ]$ j
( K! |# x; V) b
7 [! D6 Q4 V1 ^$ u- r

1 }. r% I9 s1 ^ 1.2 泛函的极值

9 K$ U' N1 y; ]. r) c
/ z3 ~3 b8 F% Q2 [2 }
1.3 泛函的变分
+ ]6 }% O+ H" q% V
& C- g, _# r7 Z/ ?. m



& b- s9 T" ^( ^8 o1.4 极值与变分
2 Q! w' g# w+ c4 S  e* u利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



: P  a& h; @( v' F, U* `3 Z1.5. 变分法的基本引理
+ |8 S) R& O+ D* `! u' p
0 @+ }2 R3 W$ L

2 无约束条件的泛函极值



2.1 端点固定的情况


# e! Q1 j" w2 v' X# `  M4 _2 E2 X

& [& b4 N1 D! l7 a, ^* j8 r' a2.2 最简泛函的几种特殊情形
3 I9 d# }8 L  D" F7 p% [9 u( a$ U


2 F6 k5 M9 [' E1 I
8 m( O1 m( }: Q5 s0 c" I; [# H0 I例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。


  Q6 b5 v9 }# |; @3 [2 ?
7 }1 U4 F( p; V" n# i

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



2.3 最简泛函的推广
9 E3 t0 W6 @* K8 J最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函
$ \5 _5 D9 R" @. f


4 R% _! R# ~; Y- R8 i: g! g# v（ii）含高阶导数的泛函
/ L: Y* ~3 F# i3 M
# R6 o% b: u0 M) O7 B8 v) r' c4 }
5 I: [6 x/ e" `" M, A$ G6 r
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

' w; ~% m/ t; j1 [/ D
- o+ k; e  v" f$ r; d! N
2.4 端点变动的情况（横截条件）
9 w1 r. L  i( C
% B* ~' B- j, S; W4 L+ B
- u% `; |: f& H& b& u, b* r+ z

. E5 g0 X6 v) a  N% y横截条件有两种常见的特殊情况：

9 R. `/ z: |5 U& ?& p4 a
! g/ t- a/ C% {
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
; z( c, V7 E9 c* S
6 a9 o7 N; C( F7 o( Y# q* i; ?( d( g 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
) ]7 ^) ?6 w3 f: c% x
; o1 o. L! q2 R
/ }3 V9 r. j4 c5 X2 W; @% K! L
, k) c' D7 M3 r. i* i2 W+ w, v
- J" z7 t. v0 `


4 R" Q" \# ?' l. N
5 C2 T! b: F: P2 ]# d# O  o7 y- Q
7 ?& A/ k8 K) ]: e4 最大（小）值原理
1 z3 B6 Q5 v+ `0 N


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: j+ O/ i4 Q2 \% C7 T. [原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497


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