动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

" E' m5 M0 P& j( B- D+ ?& x: i变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
) |' i8 ^2 H  A; A" x/ s
1 变分法的基本概念
1.1 泛函
5 n: q7 e' T. `* b5 q
% q( B& R; X( s; v4 s

! z, o$ l" [: g. @9 L
1.2 泛函的极值
5 \2 _- |; M" s% j. z2 W
5 B8 I6 i6 H+ e9 p8 \' G2 f

1.3 泛函的变分


: z% S8 o% c' Z


$ t4 H3 d- B% M( t/ X1.4 极值与变分
& R$ O2 E- x6 `# P' Q4 B! X利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
- W6 x+ v7 u2 t/ a$ ]% S: \$ f
4 u) L. N( }" @0 S
# w4 n! l4 A' [( I
1.5. 变分法的基本引理
; v( E1 @9 m& d7 w3 W$ w


2 无约束条件的泛函极值
9 J  c6 g/ y4 b/ h
) M9 Q% |/ p  ]2 j0 M! {/ r
# a+ X9 @5 f! R
/ F! J4 e7 w& `. B( j  J2.1 端点固定的情况
4 \" v; C9 B, k* L6 _1 q9 T) Q3 I* A, R
1 |3 I8 Q* @. s+ y
  {2 E% k. y7 C

4 I! l9 U$ Q  ^, j/ [6 |2.2 最简泛函的几种特殊情形


9 D* w% [) ^. D3 k3 q: o: R# h

# M5 h' f3 H8 D. ]% Q例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
: z9 n! e+ e4 d) j& j" C

1 |  {5 N* f' C4 K' P9 \2 ?


$ g6 b; l. w: m- o例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
5 F+ p: z# B8 h
0 N1 ?" H4 W' W- f

2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
5 z9 b/ B2 J" S3 ?
8 _  O. W! E/ A) M（ⅰ）含多个函数的泛函


/ {9 l9 N3 C. _& G$ q+ p( Z
2 O7 i! g" r+ `" t- `（ii）含高阶导数的泛函

( I5 R$ G' F$ [+ X7 Y- x4 w
" J9 \' T: K# |4 O5 E% I
+ n  [$ _- w, B( ~0 b' e3 X（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


4 [2 ?1 ^8 ~, i2 ?- ~, y
2.4 端点变动的情况（横截条件）
6 Z: I: i# `$ J. ~

0 Z6 B' p: N) Q+ Q

横截条件有两种常见的特殊情况：
6 G( h# f1 n  |. f
# v: B0 Z! e' E; H3 Q( ^( d: f& q
  F1 o0 O' J; X9 z. D9 O
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

9 C$ T4 s9 K6 U
  I: m$ w# }5 v! e

: W+ p3 E7 s: }- Y4 r* I
6 w$ n4 t9 J; S/ d* C* I

* o0 L; w' N, _. @4 E* y

4 最大（小）值原理
; ]4 b& s% c( B. |- ?


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5 n  h( K4 S: N: z' K3 u