- 在线时间
- 791 小时
- 最后登录
- 2022-11-28
- 注册时间
- 2017-6-12
- 听众数
- 15
- 收听数
- 0
- 能力
- 120 分
- 体力
- 36352 点
- 威望
- 11 点
- 阅读权限
- 255
- 积分
- 13866
- 相册
- 0
- 日志
- 0
- 记录
- 1
- 帖子
- 616
- 主题
- 542
- 精华
- 12
- 分享
- 0
- 好友
- 225
TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
|---|
签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。+ A: j0 G% Z' k: A
" E' m5 M0 P& j( B- D+ ?& x: i变分法简介: ^, b/ b F5 {, }% O" E7 g! q
9 q" P( O9 |$ g# H& |5 \
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
) |' i8 ^2 H A; A" x/ s" [, L' T% `" c2 v
1 变分法的基本概念! w/ _8 P6 h& }8 L
1.1 泛函
5 n: q7 e' T. `* b5 q
% q( B& R; X( s; v4 s + L$ D. l G% L+ Q9 o1 m+ D( d2 z
! z, o$ l" [: g. @9 L' B# b0 y8 z# u$ l
1.2 泛函的极值
5 \2 _- |; M" s% j. z2 W
5 B8 I6 i6 H+ e9 p8 \' G2 f # X" f7 n$ e/ V1 s
e0 l: A+ n+ S
1.3 泛函的变分8 k4 q" `* d/ q- a2 }
^3 T: s1 O; i R$ G
![]()
: z% S8 o% c' Z. q6 k1 P. U- m, Y
7 `& s7 Y; j# B* ?
$ t4 H3 d- B% M( t/ X1.4 极值与变分
& R$ O2 E- x6 `# P' Q4 B! X利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:
- W6 x+ v7 u2 t/ a$ ]% S: \$ f
4 u) L. N( }" @0 S![]()
# w4 n! l4 A' [( I4 c, A5 P7 O V6 L5 l
1.5. 变分法的基本引理
; v( E1 @9 m& d7 w3 W$ w8 X" D$ H: F6 n* N# C& O
# K5 l o9 R; g/ H4 o* w
) h3 ^0 R2 k3 A* y8 K: w, g) b B
2 无约束条件的泛函极值
9 J c6 g/ y4 b/ h
) M9 Q% |/ p ]2 j0 M! {/ r![]()
# a+ X9 @5 f! R
/ F! J4 e7 w& `. B( j J2.1 端点固定的情况
4 \" v; C9 B, k* L6 _1 q9 T) Q3 I* A, R
1 |3 I8 Q* @. s+ y![]()
{2 E% k. y7 C3 z% t6 T8 l0 }) t
4 I! l9 U$ Q ^, j/ [6 |2.2 最简泛函的几种特殊情形" H" S; l$ x4 [4 I# t1 l
9 }" N5 @8 X9 D
![]()
9 D* w% [) ^. D3 k3 q: o: R# h2 {5 X6 L( h$ C/ @% w
![]()
# M5 h' f3 H8 D. ]% Q例 1 (最速降线问题) + V" d d8 k3 R9 @% C0 ?9 l6 g
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
: z9 n! e+ e4 d) j& j" C+ d7 v& _/ p! ?3 _! `
1 | {5 N* f' C4 K' P9 \2 ?![]() ' s- o4 Q- w; r m* x+ B" O
( B5 O: }# t% Y; ~8 `+ J4 G
$ g6 b; l. w: m- o例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
5 F+ p: z# B8 h
0 N1 ?" H4 W' W- f * \8 J q3 V2 i# j3 u- U0 I! T
! q% h2 O+ ]$ ]; M
2.3 最简泛函的推广& K# m: o5 ^- v% N
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
5 z9 b/ B2 J" S3 ?
8 _ O. W! E/ A) M(ⅰ)含多个函数的泛函0 O& _0 z% `7 q) L& b7 G
% Z K* }+ z# E' s
![]()
/ {9 l9 N3 C. _& G$ q+ p( Z
2 O7 i! g" r+ `" t- `(ii)含高阶导数的泛函- D1 e. O: b) s8 t4 y% J( R
( I5 R$ G' F$ [+ X7 Y- x4 w![]()
" J9 \' T: K# |4 O5 E% I
+ n [$ _- w, B( ~0 b' e3 X(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程& T5 ?. i& J. z' V/ `
9 q. K; x0 v& e) Z" m8 c# e' ^ y8 C
![]()
4 [2 ?1 ^8 ~, i2 ?- ~, y! L0 Q5 E$ R' e. E* d
2.4 端点变动的情况(横截条件)
6 Z: I: i# `$ J. ~7 v7 ~' v0 i7 B \. a
![]()
0 Z6 B' p: N) Q+ Q- N ^' m, Q1 c# l' T/ v; y
2 X+ }3 [; j# u' x7 o
横截条件有两种常见的特殊情况:
6 G( h# f1 n |. f
# v: B0 Z! e' E; H3 Q( ^( d: f& q![]()
F1 o0 O' J; X9 z. D9 O2 E K- w( r1 J5 A; n: z! @
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。 h0 H: O ~1 H( F' y5 J
+ W0 k/ a& X* d1 J* r7 w: h& M
3 有约束条件的泛函极值. u' m+ D6 D! G+ s ^; ^
在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统" C0 D6 w4 q4 U% O' T
9 C$ T4 s9 K6 U![]()
I: m$ w# }5 v! e6 e" _. |. f' r/ x8 x
![]()
: W+ p3 E7 s: }- Y4 r* I
6 w$ n4 t9 J; S/ d* C* I8 l) P b) _0 g$ B9 {
![]()
* o0 L; w' N, _. @4 E* y! L8 W9 o6 D! u- F$ D( {
! q, }6 ]; d3 L- a. h* ~
4 最大(小)值原理
; ]4 b& s% c( B. |- ?& L+ S$ x4 i( D) @1 x
1 q( w0 ]9 p F6 Z
2 K. S7 n) r- q, p. c6 }3 U: F
————————————————: j* |, Q4 C+ { j+ z4 D
版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。) E' n0 v9 j5 Z. }+ \
原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
5 n h( K4 S: N: z' K3 u2 L& E0 c" W% D) ~
* f$ g6 V6 Y( C5 c5 A6 r, B
|
zan
|