动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
5 l: ~% l" H5 J0 f
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
  u2 a% R; |) w2 b4 h) ?
4 A! |6 r8 W4 B1 变分法的基本概念
4 ~  p9 a' t* l& }. A, [! t$ F1.1 泛函


4 A4 Y1 C, i4 z

  s! e4 Z- g9 c& I8 r. z* n* e 1.2 泛函的极值
$ W& l. ]$ ~; u+ F7 X7 {& ~* C


1.3 泛函的变分

* _6 ]- u9 i% p% I
+ ]& B' }; g) z& \; g  i5 t0 L

! B" M! G! v. S: D. @. f8 L
' S/ g- H! H" f* M* u1.4 极值与变分
9 k2 Q' [% Q$ p! ?, ~# G3 v7 ?利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



1.5. 变分法的基本引理
8 A) R, u  ?7 U& X( a5 f0 D


  E2 d# x( o4 `  `% F: v# F2 无约束条件的泛函极值
8 q  V* q5 J8 Q" \& z" N


2.1 端点固定的情况
0 D/ d  _+ ~$ K" B0 g4 [



2.2 最简泛函的几种特殊情形
- |5 h- H( e+ k9 o


& X7 h# W( l; c- p  o9 |1 b
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
! H2 P- T6 N! {& K2 o
3 Y% G0 h$ E" ?5 o2 J, V8 C. d" g



例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
" t2 j+ U2 N* D9 }$ [


! F" ~" B- W& K! ~2 M2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

- R3 \6 p# T1 B9 A（ⅰ）含多个函数的泛函


) l  }" U& E( K+ e9 q: Z' I
（ii）含高阶导数的泛函
& w% }0 p  ^' Y# r" S. ^
; e  v, u7 E- p5 {& C* I5 F1 @

（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


' L; C3 A* Z! o: p7 ]5 h2 J
- B' @5 ^( |( n8 q& {: R2.4 端点变动的情况（横截条件）




横截条件有两种常见的特殊情况：
9 S" x/ c2 \- g4 T
8 i' W* F+ t* S1 d- b. J/ T
6 M* a, y7 x7 R" Q* }0 r
6 D7 l! l  d& {注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

) w0 R- O" q7 g5 i( V% y 3 有约束条件的泛函极值
3 W6 b* h) p3 T* x! }在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
( ~) Z7 ?) f4 T8 J5 P5 ]  d





7 Y+ V$ x& T- E- M# p6 z5 |

7 y; n/ G7 f. R# b+ `- w+ w8 u; ^9 a
4 最大（小）值原理
2 n* j1 M" j5 n5 r3 D( m

/ W( G. Q# g( j- e: q( n& A
3 `4 T- R0 h  P8 r$ E, a3 r" V————————————————
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