动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
3 [" Z# P; f3 A  E. J2 Y
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

. ~0 f  z" X7 Z" W/ F1 变分法的基本概念
1.1 泛函

& z- S* n( T  O, }/ n" [7 s

9 B) ~7 I. Z/ w* U
3 `7 h- ~7 s* r0 e/ e: s6 o# J2 d 1.2 泛函的极值
- |/ [8 v: j" `' [
4 ~4 N% G3 c: t; J

7 d& @, P. K3 E& Z( m1.3 泛函的变分
/ ^+ r/ X6 S7 w+ L* h4 J( L


* L4 l1 k5 [3 f* ?5 Y

: ?5 U- C- v2 e( ]) Z8 \' U1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



1.5. 变分法的基本引理


( c: e5 y& E. e# E5 U2 h
2 无约束条件的泛函极值
+ y( C: \( g  k
8 k4 j5 ~* u  K& Y- _6 y4 E8 f# }

2.1 端点固定的情况

- k5 [- R2 i* z! y3 K$ n

" P# v8 f8 Y. s$ O( N4 |2 D) x
3 H7 b  D# a. A7 O* r! c2.2 最简泛函的几种特殊情形

4 ~- N# v. ?/ _( \
' G% Y  T- T( w0 c/ }' ]! ^4 R" w3 Q
2 |  d1 U. I7 ?  J
1 i; y, F1 K8 O3 W/ y  t6 v0 N! l例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
4 E" d+ c5 i8 s7 E. @8 g8 B5 v" X! \; e
6 M: K  }  s: e! [0 p/ M  e



0 k' d! w0 [% ^$ h' J例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


$ F3 ~- h4 z# E1 w
& j. E1 B6 y- _2.3 最简泛函的推广
3 h2 T; R% P! Z7 j$ ~最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
# r1 U, f( b: t6 j% Q% \( f
0 s* Z9 f8 b9 N2 c- k（ⅰ）含多个函数的泛函

  x% K3 i" ^: v3 ~1 I2 [0 l

, l( Y% v+ H! V（ii）含高阶导数的泛函

/ A+ F$ o) q2 [6 Q$ B0 O4 S: o

（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

+ u- Z# y6 t# M4 ~2 b( d
( B$ y+ e8 @2 ]( }
2.4 端点变动的情况（横截条件）
9 Y$ e4 `; j! `6 U( W4 t
( p  `! ~3 m/ w9 \


横截条件有两种常见的特殊情况：
3 V3 X5 c5 g0 D' P# _7 m; O  K

. Q- u6 c. I  l2 O& ~
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
% u) A+ [8 y$ f6 M在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
1 |2 c% v- t4 `% @9 f( M1 O* l
% }/ H+ d4 V  C2 y3 M
  K, y& ^5 X  d! O6 }

) I& C' }% O1 \7 y: D: v# O8 \




4 最大（小）值原理


: k5 a8 I& F3 ?. t
. @, T& T) M3 A/ p# l8 `! y" B————————————————
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