动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
1 ~/ ?; r9 X0 a& w- I
变分法简介

, u1 w' [0 W) c0 ~变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
# ~( z1 }/ |% d- ^- Q( J1.1 泛函
6 Y6 ]: G, ~- u, q
; m/ Q( x: N9 E
% I( Z, D0 ~6 t  m9 _# v

) S* u1 V1 k9 }' O0 F 1.2 泛函的极值


9 Y% V4 o0 x/ r- P
' o$ b, n2 U4 R% K1.3 泛函的变分

+ N; v$ a  e) [9 t7 S
) z; m- l+ c! F
- c, o* \. u8 N* K

, M/ J) d7 i. E; v, V& i1.4 极值与变分
! I; W+ P$ R* ?  ~2 {利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
7 l2 n4 J, P- m! ?8 c) ^
2 |2 b8 W1 {5 p

1.5. 变分法的基本引理
5 S$ i5 ~$ p5 k2 U) `3 h

+ y: I0 w/ K4 X9 P$ A. ]
  y, v7 ~% Z) z2 无约束条件的泛函极值
5 p" _8 D  k; W$ }" F) I% D$ {
0 L4 ]3 G  t; {7 ^

2.1 端点固定的情况
3 k# N6 g- Y3 m1 A" @



2.2 最简泛函的几种特殊情形

: l0 b( m  L; w' ~

6 H1 n  W2 ?% p& M- C
& m9 H' ?' Y/ q例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

# m- [( c4 A& p4 k
3 Y& b4 m, Y0 y  |* b& B, K# n
2 x/ Y0 W2 S" c0 o1 Q
8 _+ C  X5 }+ u7 q; ~* @* @
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



2.3 最简泛函的推广
1 L) n* R1 Y0 z7 ?% Q; d$ X最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函
5 A$ T" T+ @. X2 v9 `2 x9 F
5 g6 x" ]* D4 O
8 z  n- D. B# W3 ^' y3 D# q1 H! P
+ V- U% S* q" h) A  T（ii）含高阶导数的泛函

2 k0 f1 U( ^0 j/ B7 e. G
3 ]7 \' q1 x. N9 s4 D. M; }* L
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
9 J7 N. }4 O8 J8 @0 y! G" f: C) [
0 H+ d: B& D$ q# M

2.4 端点变动的情况（横截条件）

1 j. |8 g& K7 K, ~. a


横截条件有两种常见的特殊情况：
$ O( i* l% f: e
0 ?3 E, g4 n& c9 j
: I. f/ |% v) e0 V' p+ S0 [# |
, X! j! p- Z* i0 I* q9 U注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
$ ~. q% o5 i& G5 p. s+ e! L
' I! _$ }3 h3 c# Y" @; f 3 有约束条件的泛函极值
7 w8 k7 R# {0 J9 t5 z在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统


; a; w' k# N. w* r' D


% ]5 g% Q) b3 S! ~* H
2 O1 \2 ~+ D. O9 D: D
& s5 W" A0 y3 L. z) v1 L

. |5 _+ T  n0 \/ L  W7 G2 }2 _* u/ a4 最大（小）值原理

2 ^3 \( H8 U* V/ ?  g
- d9 Q  j3 X8 i# i, J
% o2 A2 ~8 _. W8 [: `9 L6 c————————————————
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