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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
0 p/ c3 Q( D* v2 R) {0 J1 O9 k( s5 g
9 R! V7 H. {8 O变分法简介5 ^+ ^6 f4 y; Y7 d6 _4 ~
' i3 d$ ~% x' B \1 I6 x变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。- l* y, G. z3 Z0 i/ T7 W" U1 b6 x
5 Z' p: C5 q& D: R; g0 \1 变分法的基本概念" b4 z4 |, j. x, {5 m& k
1.1 泛函; ~# l) t3 ^ `
7 v; O) X0 ?; ]" d: g! R
![]()
J0 k& s) [/ T5 v( \
& F8 S; u# F" V3 ~" O- f/ N
! W7 Q8 I( J2 ?6 l& G" E 1.2 泛函的极值
# K& D: D7 L( p* t
( W; Q& V b& U2 j$ E # d+ h; [/ q/ f( \* L5 x, @5 ], Q
% x+ i% Z8 F% }$ f
1.3 泛函的变分% [* x: E" T3 d! b
) B( w0 s: y4 |9 }. J6 \
1 i' P/ `9 G6 h3 ]; f* u
) }4 i) {8 n4 h, N, @6 h6 I
![]()
1 Y* h# V; J m' ^, ]5 _
9 `! H1 w/ j; w( i, a& y) P& C& Y1.4 极值与变分
4 D- O! P; ?: b! y/ J, Y; a- h利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:7 N7 E( k: C& B4 |" p7 z
6 s+ r9 z, k' w, g3 `
![]()
7 l+ C, j7 F1 M' T& u3 ]
9 W, q% J& |: k- x. l1.5. 变分法的基本引理) F' Z$ N& [, u7 U9 ~; U3 H
- n* Z8 B5 d+ x![]()
6 G9 V* K8 W# i. m! v6 V: a, Q- \; f0 X
2 无约束条件的泛函极值$ t0 B2 X+ B$ N0 t9 v d7 t
- M- n0 F* ?6 J' s7 B0 Q& q ! g$ U& s' G+ W& d4 j& }
5 \; V9 l9 o' j$ c2.1 端点固定的情况
2 [- ~1 h p0 g3 T( R* j0 ~) w$ \" c, S& e% o
![]()
# D. z; O- a/ |( t9 O% {, D4 _
# G4 A) Q" T4 Y I( h* W3 t
$ j0 N/ m' r# V2.2 最简泛函的几种特殊情形
' D3 H9 w& ]' x) x3 ^
! @1 K$ Y& h2 i, E![]()
) ^ @4 s( F' d; v6 ]! n3 O
- i* b1 |" P- [# X6 M8 p![]()
2 h5 |: {/ e; U# {/ C例 1 (最速降线问题) p! j9 r+ N- J' v
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
5 b6 m/ D A5 K C' W; W6 \, _8 g
! V0 A' Y$ O% r: l5 n
( j2 n3 U( n6 T! W$ Q![]() ![]()
% U) r5 |; \% y/ o y$ n5 ]$ B- W9 N3 W. i6 D# ]
9 Y9 c2 V5 ~" d# l, j0 _
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
3 f) G' B+ I- {4 A8 [1 I
9 j! E8 V F5 m![]()
$ Q1 Z* |7 p3 k
% a2 n( W, U9 Y0 Z2.3 最简泛函的推广: c) i5 b# w1 L7 V
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。3 x& b) @* T1 q9 O$ E* q. M
! i2 j. T2 [8 ?(ⅰ)含多个函数的泛函
% \/ R& y. b. s8 C. W
. I/ W" n) Z' ?$ t$ v # c4 `& n' Z$ m6 X3 D; M b) E
$ c) e; D* j9 S" j' c* P" [(ii)含高阶导数的泛函/ C% H2 \) ~$ }
# ]2 \5 V) F$ V: ~7 m2 r
* ^( M1 y d# ]! H6 o
7 k( t8 C5 Y6 n2 S2 v(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程
. x9 o3 s" I* [, V8 \8 F( |/ J1 r( t1 h' S. M
) W6 i2 ^: g9 Y S* r1 Y3 h
: O% |! G" s. Y- H: Z
2.4 端点变动的情况(横截条件)
# d7 n1 r5 V4 Z4 w+ k; \, i4 @
c' v: m- A: [) p& T2 @![]()
4 Y; @$ b9 |2 b5 x, U+ w8 o: \4 r) B) X
% h/ e7 Z! b, i$ a
横截条件有两种常见的特殊情况:: ^+ C" H9 \- `; v
+ d* Z, ^; A1 z( `9 u
![]()
6 v7 o u- ^6 L- O7 d) a
G, j7 W8 y% D% k ^" i注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。9 n9 b: {8 {0 V; F) z
! U3 C$ v, t7 ?& n3 _ 3 有约束条件的泛函极值) i. x: x& M, {2 _, C8 h
在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
* }4 `* i9 _6 \7 \( \) F5 S+ r' i
- U6 U( r* }; s6 Z" ]; k![]()
, y4 m* U" ~4 k8 h
" M7 x# v0 Z. u! u3 A 5 a1 M5 M! b# `; k
! P0 L, |, ^( J8 L" J# N1 f" I: ?- n G: A
![]()
% Q( }' j$ Z: K& Q
. n( y- d. a' G% N; E, i1 Y4 u. a6 [1 u( n* T1 J3 @
4 最大(小)值原理
. c' E X+ |% v4 U
6 i/ l$ o* z% B/ _6 U![]()
6 U4 K" r" s% t/ z
% Y1 n# u7 l* `————————————————" y) G" Q( V9 C8 k& u
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& k# ^6 m( E( Z: c, o* h0 z6 f
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