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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
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动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。3 b$ L% J9 v; P+ Y
, X5 ]* q: F0 a' j2 S/ y) g8 C
变分法简介
5 l: ~% l" H5 J0 f# K; h+ w) Z$ y
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
u2 a% R; |) w2 b4 h) ?
4 A! |6 r8 W4 B1 变分法的基本概念
4 ~ p9 a' t* l& }. A, [! t$ F1.1 泛函0 M2 {$ |' @& I/ e- \1 `9 ?8 x
1 L+ G( O5 z; L, u& i8 F& I% }1 {
![]()
4 A4 Y1 C, i4 z8 y1 G6 v' {+ i3 }# ^. |, k1 ?
s! e4 Z- g9 c& I8 r. z* n* e 1.2 泛函的极值
$ W& l. ]$ ~; u+ F7 X7 {& ~* C! t' K9 Q$ `2 A8 e) Z/ A; X H
4 P$ C/ S0 }. d* v# Z& U
: E$ x" g& q7 Y- G
1.3 泛函的变分0 ^, C' T i- C2 H5 I3 f) o
* _6 ]- u9 i% p% I![]()
+ ]& B' }; g) z& \; g i5 t0 L) [6 T: C i' [5 a6 p2 k
![]()
! B" M! G! v. S: D. @. f8 L
' S/ g- H! H" f* M* u1.4 极值与变分
9 k2 Q' [% Q$ p! ?, ~# G3 v7 ?利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:; Y. J3 p+ p, W: r& b
( s0 h: z [3 A/ ^# d1 u( \# C
6 C' y( T9 o" f3 p
2 B' `7 u8 u7 m8 t( X$ ]
1.5. 变分法的基本引理
8 A) R, u ?7 U& X( a5 f0 D8 h* X4 o' K$ w% s
+ H; |: s+ G: e& s4 G
E2 d# x( o4 ` `% F: v# F2 无约束条件的泛函极值
8 q V* q5 J8 Q" \& z" N# Q1 L: j! ?0 g3 p9 j f N
s j. F8 B9 c/ x7 @: K
" P3 P$ n4 f+ Z( Q; r# b
2.1 端点固定的情况
0 D/ d _+ ~$ K" B0 g4 [4 L/ O3 K8 o" o3 G0 o. s
% n$ x5 x/ L9 S: B/ {
7 A" {) L$ I& w
* s/ N4 a7 v( ^
2.2 最简泛函的几种特殊情形
- |5 h- H( e+ k9 o* N6 ~, W8 X2 {. B0 C4 f5 o
( L, {$ ] k% m5 m
& X7 h# W( l; c- p o9 |1 b * x6 C- ^3 N5 R% j% v* K @
例 1 (最速降线问题) , D. |5 N; k! f- N( |4 m; ^
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
! H2 P- T6 N! {& K2 o
3 Y% G0 h$ E" ?5 o2 J, V8 C. d" g/ y/ w/ p9 j6 I( z, U
![]() 6 g8 Q% p9 A# {/ a+ r
# e1 z- L6 y! {0 R b/ f
- K0 P* R* _$ G
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
" t2 j+ U2 N* D9 }$ [8 l$ q& M; H% Q/ R7 T3 \
# H6 O+ ~) X) S5 B
! F" ~" B- W& K! ~2 M2.3 最简泛函的推广/ b" c! g5 E7 B6 ^7 D
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。# Q/ q% y7 Q" G4 f M' G
- R3 \6 p# T1 B9 A(ⅰ)含多个函数的泛函1 _) H4 x/ e$ i/ {6 y
# p) l( n% q3 ?% x/ R. G3 h6 G. s
![]()
) l }" U& E( K+ e9 q: Z' I7 x: V8 |& Z6 C% g, }
(ii)含高阶导数的泛函
& w% }0 p ^' Y# r" S. ^
; e v, u7 E- p5 {& C* I5 F1 @ * k3 q1 e; n ]0 O8 k4 w5 H
. g1 C" j' T4 X4 j7 l+ L
(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程! _& K% B1 c1 [1 Y+ c
O; T) _; y- Y7 L Z; _
![]()
' L; C3 A* Z! o: p7 ]5 h2 J
- B' @5 ^( |( n8 q& {: R2.4 端点变动的情况(横截条件)- R6 ~; V* D$ m$ A) Q; |4 [/ {
: {2 U: J9 c% p
& l! v p9 d6 l. Z+ {9 \* E
. } w2 X3 S; ]& z- O
: ?6 t* s: M8 z8 r/ R1 p# H- ?
横截条件有两种常见的特殊情况:
9 S" x/ c2 \- g4 T
8 i' W* F+ t* S1 d- b. J/ T![]()
6 M* a, y7 x7 R" Q* }0 r
6 D7 l! l d& {注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。$ ?5 @. J+ k4 e# I. {
) w0 R- O" q7 g5 i( V% y 3 有约束条件的泛函极值
3 W6 b* h) p3 T* x! }在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
( ~) Z7 ?) f4 T8 J5 P5 ] d# [& J4 V; g( P1 \1 R3 {
+ o8 A7 |3 S* J( y
6 Y0 l+ Z" u( F/ M: C" o" V: R
+ ^6 X* b7 a; X! h1 J
3 R- r) M; ^+ t4 `) F2 S" |$ y
7 Y+ V$ x& T- E- M# p6 z5 | % Z$ m5 X3 P* Y% f3 \ v, N1 S5 _
7 y; n/ G7 f. R# b+ `- w+ w8 u; ^9 a P; D5 ?# C$ \9 C3 h7 {' I) P6 M
4 最大(小)值原理
2 n* j1 M" j5 n5 r3 D( m! Z; B2 R& k& H9 w0 b1 M
![]()
/ W( G. Q# g( j- e: q( n& A
3 `4 T- R0 h P8 r$ E, a3 r" V————————————————! [( A3 f/ w$ @3 e
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) k6 t p" f3 s7 h- D5 H, u
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