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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
" t4 e. B% C9 ^6 g' Y
+ y3 `! _) j: [$ i' S变分法简介# V7 i/ w" t& h6 {, p
) T6 f0 U6 F# z5 _$ E v
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
5 N; y! K! L( `+ a
8 {4 h S1 r$ ~1 变分法的基本概念 g( p+ f2 ?* f9 l( l1 i$ q
1.1 泛函
1 H0 s5 r4 D/ S% r- d
$ E1 k( D* e! m0 |4 x![]()
7 |! J) f+ {' P9 u" i& v2 p* }3 o( n
, K! M- W* O+ S9 c7 v; G. e' F 1.2 泛函的极值, H. h( k0 l6 |1 d6 l+ p
0 `3 o4 G; O# R![]()
( f7 K) g% m0 i6 c' g- l) y3 G) Z
7 Z+ u/ N9 s& ]3 ?( b' Y- x+ K1.3 泛函的变分
1 r6 [9 E6 R Z( m6 r J. p/ U& V" n# M# w+ ~9 q; J. y/ @
9 V$ G2 n: L7 X) G$ P9 W B
8 a, @/ A6 Y) u
![]()
3 z. N# T# p [$ @
0 b' h, |9 W2 c$ j% O1.4 极值与变分
" b: a' T. A n8 q8 _0 P% k利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:
. ~) z. _, i A
3 W+ s3 S( l. ?) i/ B![]()
; Y, v& |9 z: A5 j9 ^5 j$ z! [3 g2 t& }4 p c
1.5. 变分法的基本引理
! Q: L! f$ L6 I& |$ Y) C
/ L2 J5 y, |5 _1 _6 z- Q. d , H0 ^% E6 ^/ c
4 w$ N, G% f# s/ ~3 E) a# X! e1 q2 无约束条件的泛函极值
% O) X% d3 t9 S% X
6 Z* G% z2 u; B$ o5 H' h0 p; M9 [# H![]()
4 O- i1 M2 Z" J9 H. Q/ B1 W( P/ C5 w. m' W0 Q! Y8 P' q
2.1 端点固定的情况/ U* S& Y/ j8 K/ L
W1 }/ I5 L7 I0 s u 1 M# H! v: Q" o, c
* a8 }, I. H+ I0 X) o( p, n- N- \
) a u9 p5 U9 g/ N5 d9 g( ~2.2 最简泛函的几种特殊情形 B3 [& ]8 E, o) s, [
7 Z% l3 C3 e4 U1 e+ Y K) `
" \- Z5 ]- h- O' W% G7 Y2 H
- @/ x6 R# E3 P9 Y' d q
![]()
# L' [! P: e8 q9 \. _/ {例 1 (最速降线问题) " i4 ?3 W) s) K! _/ h/ k2 p; x
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
7 g" c Y/ ~/ z# Q5 }8 k6 o
! B) ~: N. g3 |3 }
$ ?! B# |# |; G![]() r! e0 I9 E& t" f
! q0 R7 @, r# [7 h+ @% [# _* D0 q' E* b" A! ]/ e8 Y
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程# O! b8 P& o! J! C. [- Y2 Z! F, D! H
( h1 r1 Z4 a( u* n2 E7 x" | ( l; A& T: z E: n! S
( r+ I2 g+ l% D" U; a& l* W% _2.3 最简泛函的推广
5 Y0 i2 K/ k. ]+ c& G9 C最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
: d$ Q; f+ }, ^ r# e% G, q5 n' k( p) \9 V
(ⅰ)含多个函数的泛函
, Y- j5 g/ `3 f' \# S" f( ] U7 k
* m8 w6 i3 Z9 q ' J9 v2 _, R |& g& V/ D
0 d$ d. {) d5 R" i, [+ p(ii)含高阶导数的泛函
3 c# ^+ z: U: Z/ G2 n1 q, @8 U( s6 m- x( \
! Q0 l4 ]4 ]- \; W( H# A
J+ o6 s8 s0 k3 {8 b3 t# `: {$ h
(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程9 ]8 E( e7 ^) b
- p! G/ j* o4 \. H) z![]()
) _; G. q3 h: J" N6 M4 l4 [4 R3 M* C. o* i c6 Z8 S. Y
2.4 端点变动的情况(横截条件)" |7 _) D( L- q+ N- n! V7 D
; `! g* k6 ^) N' N9 @. x
c8 N! B& N0 w) x# g5 U2 q
: ?4 U( }1 f. g/ R/ c6 | : b; O. J) Z/ u, n U2 A# x) W
横截条件有两种常见的特殊情况:6 ?# S: Z' Z2 o1 u' h
* L) M6 J7 K7 E
0 \9 u5 W: U: N' M
3 d, X+ Y& v5 q. ~8 @# M注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
/ }3 S6 M# u4 `
/ ?" E% W" [- n 3 有约束条件的泛函极值
U- }$ I7 n1 X% ~5 b9 w, k& \; s; Y& m在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
6 ?! `* Z5 E& W( {$ u$ X! r# O- v- V9 ~- k. J/ ]
. D1 V9 g! m' G6 ] K
$ V2 ^" u, @, y. g0 J, n7 I % e0 n4 _% B; p5 ^
( V# z7 h4 N! P% \5 p }+ G: a4 ^$ e6 ?0 n: f+ V
![]()
8 d4 m0 |: j# u/ r# |- t. v! c9 }( m4 E1 S) F; @9 X9 Z0 @
5 G' y2 u7 K# z2 e. S* a6 q4 最大(小)值原理
2 J- F, N8 {) _5 n
7 O6 i- c2 b1 ^, `9 o![]()
. z9 M/ _% [5 u" Q8 p& D; i3 c! q6 }* M C
————————————————5 V4 p0 g, i7 O. C, p9 y
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3 V& j7 a" K8 I2 C. Q4 p原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
* V+ ~" U/ }3 x# o/ p7 h0 i$ F+ {6 v5 n) L( i% n
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