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[建模教程] 动态优化模型/ 变分法:泛函、极值、变分

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    发表于 2020-6-13 09:50 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
    3 [" Z# P; f3 A  E. J2 Y8 E6 M( n3 ?9 K1 \2 I" h5 n$ f8 f
    变分法简介0 Z" V% w" s' s3 P( o
    7 i) Y- l3 w, Y) N* z
    变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。8 v7 w; n# ?- ?: o# D2 f' Z

    . ~0 f  z" X7 Z" W/ F1 变分法的基本概念) T) U4 w, D/ y
    1.1 泛函6 L7 ?- w3 {8 e& b

    & z- S* n( T  O, }/ n" [7 s6 ~/ Y: Q' R$ R9 N6 A

    9 B) ~7 I. Z/ w* U
    3 `7 h- ~7 s* r0 e/ e: s6 o# J2 d 1.2 泛函的极值
    - |/ [8 v: j" `' [
    4 ~4 N% G3 c: t; J; M* g0 e, X" }/ a5 w9 V/ Y

    7 d& @, P. K3 E& Z( m1.3 泛函的变分
    / ^+ r/ X6 S7 w+ L* h4 J( L: _( l& I& }$ G  Z% |
    * _6 M- ]  V3 k: C& z+ g

    * L4 l1 k5 [3 f* ?5 Y9 M0 g- w/ N; m* q* W. v

    : ?5 U- C- v2 e( ]) Z8 \' U1.4 极值与变分1 g) {; v3 T' ?7 [: O
    利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:- Z7 r: W! C# q) s  `& c
      o7 I. t7 U7 \
    - o" j; U/ K, _$ d( n
    ! K8 ?/ b0 v/ k8 I7 I9 U5 X
    1.5. 变分法的基本引理1 ~5 ]! t0 i9 L8 ?9 a
    % q+ t1 W: D- {5 W

    ( c: e5 y& E. e# E5 U2 h  |+ ~5 d4 X! r" D
    2 无约束条件的泛函极值
    + y( C: \( g  k
    8 k4 j5 ~* u  K& Y- _6 y4 E8 f# }  D# _4 w9 r, u" E- B1 O. Q. R
    , e- s% I8 l9 z8 {: Z3 ?
    2.1 端点固定的情况; r6 x8 ?  r& ^

    - k5 [- R2 i* z! y3 K$ n' ]5 C1 ^/ D/ @  |

    " P# v8 f8 Y. s$ O( N4 |2 D) x
    3 H7 b  D# a. A7 O* r! c2.2 最简泛函的几种特殊情形$ s8 Q0 u4 L5 ~( \3 y- j3 P

    4 ~- N# v. ?/ _( \
    ' G% Y  T- T( w0 c/ }' ]! ^4 R" w3 Q
    2 |  d1 U. I7 ?  J
    1 i; y, F1 K8 O3 W/ y  t6 v0 N! l例 1 (最速降线问题)  ; f1 T0 ?/ N8 V! v: \4 j8 J
    最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
    4 E" d+ c5 i8 s7 E. @8 g8 B5 v" X! \; e
    6 M: K  }  s: e! [0 p/ M  e& J3 H! p6 W( F$ E
    9 C% p" W5 @1 m; h
    $ }. J& ?$ T8 ~) g% O

    0 k' d! w0 [% ^$ h' J例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程6 S+ e! M, c: V8 ^* T* I: j5 ~4 ]
    # W% f% o5 r! m  J; }) i7 {! w

    $ F3 ~- h4 z# E1 w
    & j. E1 B6 y- _2.3 最简泛函的推广
    3 h2 T; R% P! Z7 j$ ~最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
    # r1 U, f( b: t6 j% Q% \( f
    0 s* Z9 f8 b9 N2 c- k(ⅰ)含多个函数的泛函( X- T6 ]* g1 W6 X; M

      x% K3 i" ^: v3 ~1 I2 [0 l, G3 P" Y/ H/ }; W, ?

    , l( Y% v+ H! V(ii)含高阶导数的泛函/ n6 V# F2 U$ h/ h8 J, C

    / A+ F$ o) q2 [6 Q$ B0 O4 S: o+ N5 Z; ~5 I: H/ u0 i: t( X
    " U% m9 b( `# Y& Z5 b
    (iii) 含多元函数的泛函、奥式方程+ _" d* J% f+ E+ i  ~* s* n

    + u- Z# y6 t# M4 ~2 b( d
    ( B$ y+ e8 @2 ]( }. a; ?# e7 V( J$ R& g" ?) X
    2.4 端点变动的情况(横截条件)
    9 Y$ e4 `; j! `6 U( W4 t
    ( p  `! ~3 m/ w9 \- a) e  V0 m0 |5 c, u( T5 R! h
    # i5 k& o1 I( e, J' S
    ! H4 x8 Z" n6 V0 M+ S/ r
    横截条件有两种常见的特殊情况:
    3 V3 X5 c5 g0 D' P# _7 m; O  K' v& n& w4 E$ i  M

    . Q- u6 c. I  l2 O& ~" u" r6 m" S4 _- a$ w4 {- F
    注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。7 Q$ u' J  y2 o9 |1 P5 I! |' ]) E
    : d. _3 g% h6 B. y
    3 有约束条件的泛函极值
    % u) A+ [8 y$ f6 M在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
    1 |2 c% v- t4 `% @9 f( M1 O* l
    % }/ H+ d4 V  C2 y3 M
      K, y& ^5 X  d! O6 }, e( f4 @6 p2 }. H+ Z5 u( ~3 H1 u

    ) I& C' }% O1 \7 y: D: v# O8 \7 ?4 o' b/ R" u
    7 e- s* x, Y6 P) c# H- |( L( ?" v' c0 I, \
    ) z* r+ i  Q/ D
    1 j8 D& }# v; e6 b$ Y( k9 o, I
    0 {9 n+ i$ P4 L" F" }# Y
    4 最大(小)值原理  J# I9 y8 |9 y! U/ U
    - H9 G  i: i2 i2 m! N2 M

    : k5 a8 I& F3 ?. t
    . @, T& T) M3 A/ p# l8 `! y" B————————————————
    # f, y) H" U) n1 |# b8 k) Z0 i版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    ; s2 x7 g! k2 n原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
    * o5 T& h/ U) h# c3 S
    ! g% ^0 B% g# ~8 Z  U0 a: M* ?3 |( @- I8 z4 r, D; O" }
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