动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
" t4 e. B% C9 ^6 g' Y
+ y3 `! _) j: [$ i' S变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
5 N; y! K! L( `+ a
8 {4 h  S1 r$ ~1 变分法的基本概念
1.1 泛函
1 H0 s5 r4 D/ S% r- d
$ E1 k( D* e! m0 |4 x
7 |! J) f+ {' P9 u

, K! M- W* O+ S9 c7 v; G. e' F 1.2 泛函的极值

0 `3 o4 G; O# R
( f7 K) g% m0 i6 c' g- l) y3 G) Z
7 Z+ u/ N9 s& ]3 ?( b' Y- x+ K1.3 泛函的变分
1 r6 [9 E6 R  Z( m6 r  J. p/ U& V" n



3 z. N# T# p  [$ @
0 b' h, |9 W2 c$ j% O1.4 极值与变分
" b: a' T. A  n8 q8 _0 P% k利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
. ~) z. _, i  A
3 W+ s3 S( l. ?) i/ B
; Y, v& |9 z: A5 j9 ^5 j
1.5. 变分法的基本引理
! Q: L! f$ L6 I& |$ Y) C
/ L2 J5 y, |5 _1 _6 z- Q. d

4 w$ N, G% f# s/ ~3 E) a# X! e1 q2 无约束条件的泛函极值
% O) X% d3 t9 S% X
6 Z* G% z2 u; B$ o5 H' h0 p; M9 [# H
4 O- i1 M2 Z" J9 H. Q/ B1 W( P
2.1 端点固定的情况

  W1 }/ I5 L7 I0 s  u

* a8 }, I. H+ I0 X) o( p, n- N- \
) a  u9 p5 U9 g/ N5 d9 g( ~2.2 最简泛函的几种特殊情形




# L' [! P: e8 q9 \. _/ {例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
7 g" c  Y/ ~/ z# Q5 }8 k6 o
! B) ~: N. g3 |3 }
$ ?! B# |# |; G

! q0 R7 @, r# [7 h+ @% [# _
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

( h1 r1 Z4 a( u* n2 E7 x" |

( r+ I2 g+ l% D" U; a& l* W% _2.3 最简泛函的推广
5 Y0 i2 K/ k. ]+ c& G9 C最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
: d$ Q; f+ }, ^  r# e
（ⅰ）含多个函数的泛函
, Y- j5 g/ `3 f' \# S" f( ]  U7 k
* m8 w6 i3 Z9 q

0 d$ d. {) d5 R" i, [+ p（ii）含高阶导数的泛函
3 c# ^+ z: U: Z/ G2 n1 q


（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

- p! G/ j* o4 \. H) z
) _; G. q3 h: J" N6 M4 l4 [4 R3 M
2.4 端点变动的情况（横截条件）



: ?4 U( }1 f. g/ R/ c6 |
横截条件有两种常见的特殊情况：



3 d, X+ Y& v5 q. ~8 @# M注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
/ }3 S6 M# u4 `
/ ?" E% W" [- n 3 有约束条件的泛函极值
  U- }$ I7 n1 X% ~5 b9 w, k& \; s; Y& m在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
6 ?! `* Z5 E& W( {$ u$ X


$ V2 ^" u, @, y. g0 J, n7 I

( V# z7 h4 N! P% \5 p

8 d4 m0 |: j# u/ r# |- t. v

5 G' y2 u7 K# z2 e. S* a6 q4 最大（小）值原理
2 J- F, N8 {) _5 n
7 O6 i- c2 b1 ^, `9 o
. z9 M/ _% [5 u" Q8 p& D; i
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* V+ ~" U/ }3 x# o/ p7 h0 i$ F+ {

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