动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
0 p/ c3 Q( D* v2 R) {0 J1 O9 k( s5 g
9 R! V7 H. {8 O变分法简介

' i3 d$ ~% x' B  \1 I6 x变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

5 Z' p: C5 q& D: R; g0 \1 变分法的基本概念
1.1 泛函


  J0 k& s) [/ T5 v( \
& F8 S; u# F" V3 ~" O- f/ N
! W7 Q8 I( J2 ?6 l& G" E 1.2 泛函的极值
# K& D: D7 L( p* t
( W; Q& V  b& U2 j$ E

1.3 泛函的变分




1 Y* h# V; J  m' ^, ]5 _
9 `! H1 w/ j; w( i, a& y) P& C& Y1.4 极值与变分
4 D- O! P; ?: b! y/ J, Y; a- h利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：


7 l+ C, j7 F1 M' T& u3 ]
9 W, q% J& |: k- x. l1.5. 变分法的基本引理

- n* Z8 B5 d+ x
6 G9 V* K8 W# i. m
2 无约束条件的泛函极值

- M- n0 F* ?6 J' s7 B0 Q& q

5 \; V9 l9 o' j$ c2.1 端点固定的情况
2 [- ~1 h  p0 g3 T( R

# D. z; O- a/ |( t9 O% {, D4 _
# G4 A) Q" T4 Y  I( h* W3 t
$ j0 N/ m' r# V2.2 最简泛函的几种特殊情形
' D3 H9 w& ]' x) x3 ^
! @1 K$ Y& h2 i, E
) ^  @4 s( F' d; v6 ]! n3 O
- i* b1 |" P- [# X6 M8 p
2 h5 |: {/ e; U# {/ C例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
5 b6 m/ D  A5 K  C' W; W6 \, _8 g
! V0 A' Y$ O% r: l5 n
( j2 n3 U( n6 T! W$ Q
% U) r5 |; \% y/ o  y$ n5 ]$ B

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
3 f) G' B+ I- {4 A8 [1 I
9 j! E8 V  F5 m
$ Q1 Z* |7 p3 k
% a2 n( W, U9 Y0 Z2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

! i2 j. T2 [8 ?（ⅰ）含多个函数的泛函
% \/ R& y. b. s8 C. W
. I/ W" n) Z' ?$ t$ v

$ c) e; D* j9 S" j' c* P" [（ii）含高阶导数的泛函



7 k( t8 C5 Y6 n2 S2 v（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
. x9 o3 s" I* [, V


2.4 端点变动的情况（横截条件）
# d7 n1 r5 V4 Z4 w+ k; \, i4 @
  c' v: m- A: [) p& T2 @
4 Y; @$ b9 |2 b5 x

横截条件有两种常见的特殊情况：


6 v7 o  u- ^6 L- O7 d) a
  G, j7 W8 y% D% k  ^" i注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

! U3 C$ v, t7 ?& n3 _ 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
* }4 `* i9 _6 \7 \( \) F5 S+ r' i
- U6 U( r* }; s6 Z" ]; k
, y4 m* U" ~4 k8 h
" M7 x# v0 Z. u! u3 A

! P0 L, |, ^( J8 L" J# N1 f

% Q( }' j$ Z: K& Q
. n( y- d. a' G% N; E, i1 Y
4 最大（小）值原理
. c' E  X+ |% v4 U
6 i/ l$ o* z% B/ _6 U
6 U4 K" r" s% t/ z
% Y1 n# u7 l* `————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
& k# ^6 m( E( Z: c, o* h0 z6 f
$ \* ~" o# c: B( u6 f: R9 ?6 M( @