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[LV.6]常住居民II
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动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
5 H- k& W6 n/ s! E 2 _8 _4 }% q! y" p, b
变分法简介. ^+ `# U# o9 o. R8 C; Z- L
! E2 e1 w8 S/ m6 ^8 C
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。, V# u8 W; X+ p# V; ]5 j3 X* K
0 D: d( ^) i% M' U" [+ E 1 变分法的基本概念# d Q6 h6 B% y
1.1 泛函
& J, }0 k5 P2 ]$ j
( K! |# x; V) b
7 [! D6 Q4 V1 ^$ u- r J' [5 e6 M( l ]0 x& z
1 }. r% I9 s1 ^ 1.2 泛函的极值5 u/ a- \) K9 v+ L# K# E* C l
9 K$ U' N1 y; ]. r) c
/ z3 ~3 b8 F% Q2 [2 } 4 f$ p; B d- o$ L' L B
1.3 泛函的变分
+ ]6 }% O+ H" q% V
& C- g, _# r7 Z/ ?. m 5 Y8 A( z* O. _1 b
% e7 `/ H2 r0 L& y
- r, `- M" U5 u* w0 M8 R( c
& b- s9 T" ^( ^8 o 1.4 极值与变分
2 Q! w' g# w+ c4 S e* u 利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:4 A& c& B! [& q2 p
/ f) w! v" b) U6 d5 M( n f
- n4 {" X; |; ^* G- i( P) T
: P a& h; @( v' F, U* `3 Z 1.5. 变分法的基本引理
+ |8 S) R& O+ D* `! u' p
0 @+ }2 R3 W$ L * m# s9 q+ d" L
" ]! ?/ R& `& V2 ?/ l( D+ x C5 ~
2 无约束条件的泛函极值 p+ O9 g9 W, _6 Q, Q! T% v$ j
( M& H7 K3 `. h& X9 a
4 G, ^9 S, R$ k+ d( ]4 ^9 ^/ V& R7 o
0 ^. n) l) v" ]2 X6 P
2.1 端点固定的情况; Y& U* a$ ~6 T) _* P& C- w1 w
6 Z4 Q# D: [: H) Y: @
# e! Q1 j" w2 v' X# ` M4 _2 E2 X & x( w9 u, N) W; z
& [& b4 N1 D! l7 a, ^* j8 r' a 2.2 最简泛函的几种特殊情形
3 I9 d# }8 L D" F7 p% [9 u( a$ U " ?- d/ a' P0 W. P8 N) ]; D7 u
* n! `& D$ h+ E& m1 F$ C0 v
2 F6 k5 M9 [' E1 I
8 m( O1 m( }: Q5 s0 c" I; [# H0 I 例 1 (最速降线问题) ; p, f6 g* i1 _
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。( A+ K# ~$ J' E4 }
$ Q, u2 m) Y" c D5 X. d/ B' ?; U
Q6 b5 v9 }# |; @3 [2 ?
7 }1 U4 F( p; V" n# i 2 z5 f- h/ @& ]) [9 H5 I- R( K
/ \' J" z5 g/ T# d4 z: ]/ d
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程* q9 q: R% ~ e8 a& N4 R
7 a' p7 V# n" q, S/ t
$ A, n" J0 A- f
9 ]( M( f! u# b2 Z( k
2.3 最简泛函的推广
9 E3 t0 W6 @* K8 J 最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。& F* \- y& Q! e/ {7 `" |
: l* c+ W, n( ^9 J7 g
(ⅰ)含多个函数的泛函
$ \5 _5 D9 R" @. f , z* y% H: X0 b
1 ^' r7 K+ `4 q
4 R% _! R# ~; Y- R8 i: g! g# v (ii)含高阶导数的泛函
/ L: Y* ~3 F# i3 M
# R6 o% b: u0 M) O7 B8 v) r' c4 }
5 I: [6 x/ e" `" M, A$ G6 r & }; I( @$ `; j5 N, D. f
(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程# _( I) x% c1 i" a# S. r; W
' w; ~% m/ t; j1 [/ D
- o+ k; e v" f$ r; d! N - R( X! u4 v4 }) c
2.4 端点变动的情况(横截条件)
9 w1 r. L i( C
% B* ~' B- j, S; W4 L+ B
- u% `; |: f& H& b& u, b* r+ z # \3 D {' E8 z7 q3 r" G8 D
. E5 g0 X6 v) a N% y 横截条件有两种常见的特殊情况:& P. y) M* T" S4 F" H' \
9 R. `/ z: |5 U& ?& p4 a
! g/ t- a/ C% { / U1 Z8 x' ?; l- P% L7 |
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
; z( c, V7 E9 c* S
6 a9 o7 N; C( F7 o( Y# q* i; ?( d( g 3 有约束条件的泛函极值4 ?0 t- R# V0 U y6 ?
在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
) ]7 ^) ?6 w3 f: c% x
; o1 o. L! q2 R
/ }3 V9 r. j4 c5 X2 W; @% K! L
, k) c' D7 M3 r. i* i2 W+ w, v
- J" z7 t. v0 ` 8 A) u, a" v, ~5 R, s0 x
! s0 Z' N" r, ?8 S J9 u0 g& z
4 R" Q" \# ?' l. N
5 C2 T! b: F: P2 ]# d# O o7 y- Q
7 ?& A/ k8 K) ]: e 4 最大(小)值原理
1 z3 B6 Q5 v+ `0 N ; t3 l2 c M4 l: N+ z. Q4 G |
' g& q, u5 n* y+ l3 P
" i4 k# O' G3 }) k5 C; L) c7 `; v
————————————————( {2 g2 n/ Y- J& ]: e0 {" L" D6 ]
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: j+ O/ i4 Q2 \% C7 T. [ 原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497" N+ Z9 f+ {) c' n$ G$ h# S
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