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[建模教程] 市场营销问题 (一):用马氏链进行新产品的市场预测

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    1#
    发表于 2020-6-15 11:39 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    某公司开发了一种新产品,打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力,在大规模投放市场 前,公司营销部门进行了广 泛的市场调查,得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ,其中 A为新产品,表 中的数据的含义是:近购买某种产品(用行表示)的顾客下次购买四种产品的机会(概 率)。例如:表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客,下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75%,10%,5%,10%。请你根据这个调查结果,分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少?
    5 v" h" [2 I2 W9 j; l% z& J" d8 g- \7 i$ ]$ e* c

    0 S! \! D; ?  |( F7 u0 u5 O* ^9 p* q: A% u

    : h0 R5 b4 {( p1 p4 x" a
    ; M/ j6 c( T+ X5 H. z" w (1)问题分析
    ! c  g* k6 n8 h  q& v$ N7 b. c
      ^1 G# @) A" i/ [1 V" ]新产品进入市场后,初期的市场份额将会不断发生变化,因此,本例中的问题是一 个离散动态随机过程,也就是马氏链(Markov chain)。很显然,上面给出的表实 际上是转移概率矩阵(注意每行元素的和肯定为1)。要分析新产品 A未来的市场份额, 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
    ! O2 d5 \9 k' }1 @! G  W* n
      g  A# T, c3 `+ ~# v' C2 |(2)模型的建立
    * L1 w; @& v: \& o
    9 I+ d  a% ~$ G记 N 为产品种数。产品编号为i( N i =1, 2,...1 L= ),转移概率矩阵的元素记为,稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态,所以应该有    " [3 G( P" C+ z& f: z2 D
    ( z2 F. W6 B7 D4 T, T' K: ^1 ?
                                                                  (1)& ~' P# D  ^8 k7 j" Y" n' w

    8 B% W8 W. ?* c1 ^. h3 _2 e不过,这N 个方程实际上并不独立,至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束,即 N 种产品的市场份额之和等于1 1 O5 W# }; i7 ]6 m+ p" P

    + C3 X* Q. [3 y" E; F6 ?, c: d3 U% ]
    , A0 V, B; A* D! L. D& b; Y; k                 (2) 8 R3 _* M6 {2 n; X) e7 g

    7 i/ c5 M2 A0 T6 W9 G: x9 Q; n! F  Q7 J可见,这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组(当然,还应该增加概率  非负的约束)。如果把这些看成约束条件,那就是一个特殊的优化模型(没有目标函数)。
    # X* W) T, N1 ?% q1 R
    # I8 @1 n0 u0 e1 D (3)模型的求解
    ; `, u: W! X( q, I2 _0 @7 I" v: k' |* M
    LINGO程序如下:# ?& O, A2 |: O0 R3 Y% q

    % ~! n6 ]# \! t; W# c% mMODEL:
    $ e5 E8 r, W& xTITLE 新产品的市场预测;
    + ^. y, C2 u* y* B: dSETS:   
      S" d, y: l' l4 p$ p    PROD/ A B C D/: P;    1 V7 e0 U# z- f6 B9 c" V
        LINK(PROD, PROD): T; # |. b% L5 ~9 n$ h7 \; O  i
    ENDSETS
    2 |. |0 Y6 G7 Q! p6 d4 ~& o! fDATA: ! 转移概率矩阵;   5 h9 |4 E1 U6 `3 C9 F
        T = .75  .1  .05  .1       # {" Q7 Q  e9 [# c7 V0 a6 F
            .4   .2  .1   .3        
    ( \+ u" v1 _, W  P- k        .1   .2  .4   .3        5 K. p+ p9 r9 D# W2 P/ I
            .2   .2  .3   .3;
    ; c* W% N- p* e2 d  Z1 SENDDATA
    8 O5 W/ I0 Y3 P: ~1 y@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) ); ' m5 a/ Q# T& d8 d) m
    @SUM(PROD: P) = 1;
    , \, T7 C7 x* T: \$ ?! T$ }@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001)); 8 N- f1 G! J) J* b
    END 0 L( X$ q' ]9 V5 i' y" K5 P9 D
    可以指出的是,上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1,而且我们看到为了比较两个实数(如X和1)是否相等,一般不能直接用 “X#NE#1”,因为受计算机字长(精度)的限制,实数在计算机内存存储是有误差的。所 以,通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5%,15.25%,16.75%,20.5%。 3 ]* E4 u) S, C6 x; G

    : u3 Z0 m) x/ p" g5 ]8 I6 `5 V* _* L+ D0 ?9 }0 f
    2 Q5 |" v" \; l
    习题:假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户,现金帐户利息很低, 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来(收入和支出)只能通过现金帐户进行,如果 现金帐户中钱很多,就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户;反之,需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见,假设以万元为单位,现金帐户的钱数只能 是-20,-10,0,…,40,50(万元)之一,分别记为状态1,2,…,7,8,它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外,根据统计,如果当月现金帐户的状态位于i ( 2 ≤i ≤7 ),下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1,i,i+1 三者之一,并且概率分别为0.4,0.1,0.5;如果当月现金帐户的状态位于1,则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2,并且概率分别为0.5,0.5;如果当月现金帐户的状态位于8,则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8,并且概率分别为0.4,0.6。
    & p- l- j7 W* D/ g" g' ^" l: O. ^" F% S
    . T8 ]5 L& B4 `$ x: z6 k) W8 m1 ^& z6 V
    - \* L/ L2 _1 N/ m; n5 h; ?( u$ `! Y- q
    每月初你可以改变当前状态(即从长期投资帐户转入现金帐户,或从现金帐户转入 长期投资帐户),但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取 转帐金额5%的转帐手续费。请你建立优化模型,确定如果当月现金帐户的状态位于i, 是否应该改变当前状态,如何改变状态?
    # ~+ c; W! g6 j1 F( N" g————————————————( A, M5 H" M# V! `
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    0 N5 s9 u+ P7 s5 w/ ~- O* V原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812
    9 G8 q  d$ b' R1 U- y8 x
    - ]0 `$ w- L+ g. I
    ) w) f) N& R6 L5 C
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