市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
5 v" h" [2 I2 W9 j; l% z

0 S! \! D; ?  |( F

: h0 R5 b4 {( p1 p4 x" a
; M/ j6 c( T+ X5 H. z" w （1）问题分析
! c  g* k6 n8 h  q& v$ N7 b. c
  ^1 G# @) A" i/ [1 V" ]新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
! O2 d5 \9 k' }1 @! G  W* n
  g  A# T, c3 `+ ~# v' C2 |（2）模型的建立
* L1 w; @& v: \& o
9 I+ d  a% ~$ G记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

                                                              （1）

8 B% W8 W. ?* c1 ^. h3 _2 e不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1

+ C3 X* Q. [3 y" E; F6 ?, c: d3 U% ]
, A0 V, B; A* D! L. D& b; Y; k                 （2）

7 i/ c5 M2 A0 T6 W9 G: x9 Q; n! F  Q7 J可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
# X* W) T, N1 ?% q1 R
# I8 @1 n0 u0 e1 D （3）模型的求解
; `, u: W! X( q, I2 _0 @
LINGO程序如下：

% ~! n6 ]# \! t; W# c% mMODEL:
$ e5 E8 r, W& xTITLE 新产品的市场预测;
+ ^. y, C2 u* y* B: dSETS:   
  S" d, y: l' l4 p$ p    PROD/ A B C D/: P;   
    LINK(PROD, PROD): T;
ENDSETS
2 |. |0 Y6 G7 Q! p6 d4 ~& o! fDATA: ! 转移概率矩阵;   
    T = .75  .1  .05  .1      
        .4   .2  .1   .3        
( \+ u" v1 _, W  P- k        .1   .2  .4   .3        
        .2   .2  .3   .3;
; c* W% N- p* e2 d  Z1 SENDDATA
8 O5 W/ I0 Y3 P: ~1 y@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
@SUM(PROD: P) = 1;
, \, T7 C7 x* T: \$ ?! T$ }@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
END
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。

: u3 Z0 m) x/ p" g5 ]

习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
& p- l- j7 W* D/ g" g' ^" l: O. ^" F% S
. T8 ]5 L& B4 `$ x: z

每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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