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[建模教程] 市场营销问题 (一):用马氏链进行新产品的市场预测

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    1#
    发表于 2020-6-15 11:39 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    某公司开发了一种新产品,打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力,在大规模投放市场 前,公司营销部门进行了广 泛的市场调查,得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ,其中 A为新产品,表 中的数据的含义是:近购买某种产品(用行表示)的顾客下次购买四种产品的机会(概 率)。例如:表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客,下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75%,10%,5%,10%。请你根据这个调查结果,分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少?
    4 O" L' O/ r/ q$ y# y3 T
    0 Z: q9 R& c5 v6 Q3 U3 ~, k. K  B; _/ [3 [, P
    * j% V) ?) T0 Z8 o% H; H
    6 d7 \# W7 K- r' H  t

    3 N6 ^  Z+ M3 O0 e (1)问题分析! j) E/ {9 M/ ]( A" `$ Y; J

    ; p2 w% Q/ }+ A# e3 m新产品进入市场后,初期的市场份额将会不断发生变化,因此,本例中的问题是一 个离散动态随机过程,也就是马氏链(Markov chain)。很显然,上面给出的表实 际上是转移概率矩阵(注意每行元素的和肯定为1)。要分析新产品 A未来的市场份额, 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
    4 Y0 c8 c, h9 X4 M) c" w* b4 J1 S$ n1 R  j+ }; I$ e
    (2)模型的建立
    8 }8 l% `. y: F: A8 @7 g- z% W5 u
    记 N 为产品种数。产品编号为i( N i =1, 2,...1 L= ),转移概率矩阵的元素记为,稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态,所以应该有   
    + ?; o8 C& ~* B# n
      Y, b7 [3 |& O                                                              (1)
    ) E) \5 B( q- l/ G' x, [, H0 {/ _9 r- g2 v3 i: a+ Q
    不过,这N 个方程实际上并不独立,至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束,即 N 种产品的市场份额之和等于1
    + q; }. }5 u8 R$ Y9 O9 ~, a, [" M. H5 i# q8 O

    : s8 ~# ^, n' _7 r" j4 ]2 J                 (2)
    - H; f* G( C3 ~: A3 N/ b4 G* T, M% ?& v7 l9 u, m
    可见,这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组(当然,还应该增加概率  非负的约束)。如果把这些看成约束条件,那就是一个特殊的优化模型(没有目标函数)。, ?( J( M3 }# \5 e9 h# b, i1 E  ]& l

    : }: K, F) u, I1 c (3)模型的求解8 `) k) K2 L0 h! J
    + Y! e( }# m# ^1 n" F
    LINGO程序如下:
    / Y8 A! i" g: B2 D( V+ Y
    2 D& t* t& m+ B: Y9 N( p: pMODEL: . U! i1 r* R- f, C7 S; i) q# A
    TITLE 新产品的市场预测; : `$ C/ r! Q- W: m8 @
    SETS:   
    " _( h( a0 b# K+ ]) E! H    PROD/ A B C D/: P;   
    / y0 {8 ]9 f  G# o3 k    LINK(PROD, PROD): T;
    9 ]; A1 `; f$ }! V2 fENDSETS + s/ v+ m5 B  D5 g7 {4 z
    DATA: ! 转移概率矩阵;   
    8 V& `2 y. W# f: l$ E; B* a    T = .75  .1  .05  .1      
    1 e) p% f1 N0 N: F! g* b# ]  ?4 Q        .4   .2  .1   .3        1 S9 w5 K4 e4 J( K6 F2 a) H* }
            .1   .2  .4   .3        ; q' ~, d; C0 z6 K$ [
            .2   .2  .3   .3;
    + V" ?1 H  I; q" c$ M" B- \" W% _ENDDATA 8 s: _' v5 ~( q+ `( Z
    @FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
    ! p. e* i% D, N@SUM(PROD: P) = 1;
    ) x/ V  I2 ~. ?8 z* p@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001)); 4 d" y' r1 q2 p9 p+ Z
    END
    - w  Y+ m) `9 T0 S可以指出的是,上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1,而且我们看到为了比较两个实数(如X和1)是否相等,一般不能直接用 “X#NE#1”,因为受计算机字长(精度)的限制,实数在计算机内存存储是有误差的。所 以,通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5%,15.25%,16.75%,20.5%。 / J5 ]& O( ^( |7 ]2 k% L/ M

    3 ^3 y6 A  l7 p1 q. e6 k# W8 x/ D( G' h$ [: {% e8 [
    % q' ~4 `! |; w! c9 G4 T! f* e
    习题:假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户,现金帐户利息很低, 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来(收入和支出)只能通过现金帐户进行,如果 现金帐户中钱很多,就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户;反之,需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见,假设以万元为单位,现金帐户的钱数只能 是-20,-10,0,…,40,50(万元)之一,分别记为状态1,2,…,7,8,它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外,根据统计,如果当月现金帐户的状态位于i ( 2 ≤i ≤7 ),下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1,i,i+1 三者之一,并且概率分别为0.4,0.1,0.5;如果当月现金帐户的状态位于1,则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2,并且概率分别为0.5,0.5;如果当月现金帐户的状态位于8,则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8,并且概率分别为0.4,0.6。 " {" x; U( v1 t& r  N( Y
      A! B3 b4 k" J6 N

    % J: H% Y3 I+ N" d; y" ?- O! a7 \5 @5 j0 ^& ]% R
    每月初你可以改变当前状态(即从长期投资帐户转入现金帐户,或从现金帐户转入 长期投资帐户),但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取 转帐金额5%的转帐手续费。请你建立优化模型,确定如果当月现金帐户的状态位于i, 是否应该改变当前状态,如何改变状态? ) e0 t1 D8 W" d0 ~5 m3 i+ t
    ————————————————# d" d. F+ b! u7 N* S% Z% v9 o9 N( Q2 H
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    8 a, s2 z, e: r2 v& H# [- [0 r原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812* A) n$ R! p; L5 R  V3 C

    * T0 F  @  U3 Z) q# S! L$ K3 @$ H8 O/ ]/ r
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