市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
4 O" L' O/ r/ q$ y# y3 T
0 Z: q9 R& c5 v



3 N6 ^  Z+ M3 O0 e （1）问题分析

; p2 w% Q/ }+ A# e3 m新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
4 Y0 c8 c, h9 X4 M) c" w* b4 J1 S
（2）模型的建立
8 }8 l% `. y: F
记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   
+ ?; o8 C& ~* B# n
  Y, b7 [3 |& O                                                              （1）
) E) \5 B( q- l/ G' x, [, H
不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
+ q; }. }5 u8 R$ Y9 O9 ~

: s8 ~# ^, n' _7 r" j4 ]2 J                 （2）
- H; f* G( C3 ~: A3 N/ b4 G
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。

: }: K, F) u, I1 c （3）模型的求解

LINGO程序如下：
/ Y8 A! i" g: B2 D( V+ Y
2 D& t* t& m+ B: Y9 N( p: pMODEL:
TITLE 新产品的市场预测;
SETS:   
" _( h( a0 b# K+ ]) E! H    PROD/ A B C D/: P;   
/ y0 {8 ]9 f  G# o3 k    LINK(PROD, PROD): T;
9 ]; A1 `; f$ }! V2 fENDSETS
DATA: ! 转移概率矩阵;   
8 V& `2 y. W# f: l$ E; B* a    T = .75  .1  .05  .1      
1 e) p% f1 N0 N: F! g* b# ]  ?4 Q        .4   .2  .1   .3        
        .1   .2  .4   .3        
        .2   .2  .3   .3;
+ V" ?1 H  I; q" c$ M" B- \" W% _ENDDATA
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
! p. e* i% D, N@SUM(PROD: P) = 1;
) x/ V  I2 ~. ?8 z* p@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
END
- w  Y+ m) `9 T0 S可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。

3 ^3 y6 A  l7 p1 q. e6 k# W

习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。


% J: H% Y3 I+ N" d; y" ?
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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8 a, s2 z, e: r2 v& H# [- [0 r原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812

* T0 F  @  U3 Z) q# S! L