市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？

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) ?) H0 |5 l5 D. _" S" V6 j
（1）问题分析
$ c6 \3 V# t. x
1 z* G1 b. M( o' ~  G新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
+ U1 o( O7 M( y( c6 }1 {/ I
4 R' e+ [2 N( Z9 i- C1 L) E（2）模型的建立

& D/ a# n; t3 l5 h) h8 \( k3 d7 Z记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   
$ \) Q' n8 t' D+ f7 i" I: n( b1 V
# D8 \, D8 J3 p% l8 V' a3 z                                                              （1）

1 j) l, k9 C% w" ~5 L不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
% B. [8 ?+ L4 |6 f1 J# x
$ H. I  m* _- a
                 （2）
* q' |- ]1 c: V. t/ d8 H
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
7 c' {  q& W2 n
（3）模型的求解

; k# ^" e" }, @. h) ?LINGO程序如下：
$ C; l$ w! ^  ?. @5 F
% E3 `9 b& |, M  k3 E4 UMODEL:
6 W7 v$ S: S4 f" o0 `$ B  k9 \" HTITLE 新产品的市场预测;
SETS:   
    PROD/ A B C D/: P;   
9 O) B: S' f* S, o# |" b8 Q    LINK(PROD, PROD): T;
; s- ?1 L9 q2 e6 o5 L1 vENDSETS
DATA: ! 转移概率矩阵;   
    T = .75  .1  .05  .1      
        .4   .2  .1   .3        
& y7 `- P* X- a; ]1 I5 ?, @        .1   .2  .4   .3        
        .2   .2  .3   .3;
ENDDATA
% }! T" I5 @, X% J5 J% D( m1 h@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
@SUM(PROD: P) = 1;
. b  S% R6 y2 R8 ?; v: w@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
END
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。


6 n( x7 H8 ^  J+ Q
; f/ V4 V" |0 {: C9 g! I- T习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
; F+ Q3 W' s2 a
( m9 k& p  X/ D8 ]! q6 x
) Y+ v1 H+ Y# H" _6 v5 x* {
! ^. J- {" l1 i) Y4 _ 每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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( h( g) C. [- W原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812
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