市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
( |% s  `! S- N/ P% }
+ Y' U6 ]6 y$ O7 ?* j& W& R9 v

, t0 v1 `/ K9 n1 v
$ `$ w4 m. e; v
（1）问题分析
1 e3 x3 `; }! T( }/ |8 }" O
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
6 q: u8 \7 k, j$ l0 N4 E: J
（2）模型的建立
; ~0 R$ t( x- c1 q: A8 c
( X- V; t$ U1 `8 b8 d记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

                                                              （1）

- O$ H: {! {' \, j0 d- m不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1


* n3 S5 w$ i3 H0 f2 u4 b                 （2）

! E" l6 s# \  N+ F+ q2 d可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
5 T: Q5 P- U3 L8 Q+ o% p" Q
（3）模型的求解

LINGO程序如下：

MODEL:
. R7 i. h  j* b: H# QTITLE 新产品的市场预测;
# Q3 H$ b- I3 T3 Z* C. bSETS:   
    PROD/ A B C D/: P;   
2 z( f' ~" ?5 n! s1 W  B8 g8 Z    LINK(PROD, PROD): T;
ENDSETS
DATA: ! 转移概率矩阵;   
) I( o) |: q- C2 C# |2 h    T = .75  .1  .05  .1      
        .4   .2  .1   .3        
        .1   .2  .4   .3        
7 G" M6 y1 s, U        .2   .2  .3   .3;
5 u0 d1 @* A; U* jENDDATA
) f6 A# G  l4 D6 S@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
@SUM(PROD: P) = 1;
$ p- m- |4 X$ p+ a. R( L1 Y' \@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
END
9 ?( s* I6 |9 {6 Y, y% r: R6 R可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
+ s8 c% A: g' d. e: p
& Q- `' W* ], }6 ]' F, E
; D; c% M6 y# s. p+ _0 c3 U- m5 p
3 F7 \2 q3 h* x& _! O9 C习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。
' r2 R5 [# A4 Y, M8 {' w( W

4 Y* \* x! ?1 o
每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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