市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
% U* r" X2 O- [% w! \- C3 r8 d
& e8 \- c8 a# t1 W+ j7 c5 f7 `) P

( I& h7 i! E1 U4 g- m

（1）问题分析
4 i8 q$ Y, ~  m/ t  \$ n
6 q& K7 N5 O+ O" a+ r& o4 G; @新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
& u$ R6 C; [- i$ [+ j: F. l1 H4 J5 _0 X
$ H0 P# o6 }* u2 ~) S; }1 x（2）模型的建立

记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

; V0 U+ |+ x* C" ]- v- K                                                              （1）
6 h6 G6 F& {" i* @6 t# \
5 b  e: O: e! l9 G8 ~6 I$ k5 f不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1
. E# T" k9 F( D* b

                 （2）

  \" B8 [. s9 O+ F可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。
8 L8 ?: s1 D- W: ]& i: C0 Q  I* g- Q
（3）模型的求解
" v1 `4 B6 C3 \1 Q' h: {
LINGO程序如下：

. B" ], K: U! ~9 xMODEL:
TITLE 新产品的市场预测;
- S) K& V$ R' I- {3 N. a/ {: @; NSETS:   
/ O" J# n( X+ r7 I0 m    PROD/ A B C D/: P;   
    LINK(PROD, PROD): T;
, ?$ x  z. n0 s; ^1 v' i: R4 TENDSETS
( B- o. R$ g& j$ L6 H  ?3 f& MDATA: ! 转移概率矩阵;   
    T = .75  .1  .05  .1      
        .4   .2  .1   .3        
9 {) y+ b, f3 d" D; p. \        .1   .2  .4   .3        
2 Y7 t: L* ]5 [+ z# R! j+ O) R        .2   .2  .3   .3;
8 A) o, O, B/ _, w. B* n5 vENDDATA
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
@SUM(PROD: P) = 1;
- N+ R' c% E4 `# k@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
* _, U: g8 Z$ y* {& W+ x2 W* I% |END
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
) d1 @) i) @' z# P/ y/ Z
- V: F7 Z/ A. A0 z

1 r! K% ^0 F: G% f习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。


3 i) s. T( x0 r$ y& N, n
; O: K1 r& S: t! r 每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
7 b* b" V: G% O" z  A: @, z————————————————
( ]) r! |* d. q- g8 n2 {4 C版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812
4 S4 g" k2 g( t, `& L) L' R