市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？
) U9 I7 T) |  q+ W& f9 a



. f8 D3 E0 }. c# q9 r& O2 b
7 f' o. i9 k. y$ Q% C （1）问题分析
5 y3 Q% t7 C5 |% S) [8 G# r
新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。

: v0 M+ {; m  s+ K（2）模型的建立
4 T0 V! f8 f) E* W
6 z* {  P' {. t6 B7 V! N4 W( a9 G7 ?记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

& ~5 K" _% q  Q* G                                                              （1）

# h+ A7 q7 `( e+ V& ~" W6 ~! c不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1

4 l4 `. P4 l* ]  f* b: S* R
                 （2）

可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。

, F, g) G+ l6 ]2 J4 s （3）模型的求解

LINGO程序如下：
1 J% A% D; X* T: S7 w; E
4 U% ^' t  o/ d% E- A/ `MODEL:
9 c3 |( E- `# j  ?7 L6 PTITLE 新产品的市场预测;
- p. }0 M% V6 ?1 |& p- ASETS:   
    PROD/ A B C D/: P;   
    LINK(PROD, PROD): T;
ENDSETS
DATA: ! 转移概率矩阵;   
    T = .75  .1  .05  .1      
' j# d7 c5 w) Z% J/ Y4 \+ p        .4   .2  .1   .3        
! q1 z$ U( H& q& o  T; C( L8 B        .1   .2  .4   .3        
        .2   .2  .3   .3;
# D# v' h; G2 H: Q1 L4 D5 fENDDATA
# r  _  y2 M+ ~6 G4 M+ A3 ^4 [@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
8 _/ F& v' r# R* W/ w; H: u4 g@SUM(PROD: P) = 1;
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
/ t8 y6 P2 T9 R% Z. N7 pEND
可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。



2 z, k8 s* B9 }2 }3 j" H习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。



; X# c/ ~( ~7 E9 ^( @ 每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
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