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[建模教程] 市场营销问题 (一):用马氏链进行新产品的市场预测

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    1#
    发表于 2020-6-15 11:39 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    某公司开发了一种新产品,打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力,在大规模投放市场 前,公司营销部门进行了广 泛的市场调查,得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ,其中 A为新产品,表 中的数据的含义是:近购买某种产品(用行表示)的顾客下次购买四种产品的机会(概 率)。例如:表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客,下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75%,10%,5%,10%。请你根据这个调查结果,分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少?* ~. C& M9 s& Y- I( d+ ?
      k+ L+ c- W. o3 q! x

    6 d2 v8 ]/ W4 j( ?9 `- F
    8 I8 Q/ O1 a! W; h! D3 J- R6 {+ _5 V& B) j8 I1 t
    $ D/ ^1 K9 A0 y0 V2 R
    (1)问题分析0 F$ m- y' X6 H7 n; Z5 h

    ) \  C) D: V3 Z( A9 [  r新产品进入市场后,初期的市场份额将会不断发生变化,因此,本例中的问题是一 个离散动态随机过程,也就是马氏链(Markov chain)。很显然,上面给出的表实 际上是转移概率矩阵(注意每行元素的和肯定为1)。要分析新产品 A未来的市场份额, 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
    . o8 K5 r5 E8 ^2 }! T5 ]$ d- e$ a5 h& I
    (2)模型的建立 0 [2 J0 l2 t" T: N- t+ w
    7 o5 ~* o- O( E, ?' l! f9 t
    记 N 为产品种数。产品编号为i( N i =1, 2,...1 L= ),转移概率矩阵的元素记为,稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态,所以应该有   
    6 E4 ]; V3 \% M$ p8 I( A$ C% v$ ~6 z9 [) s5 a' k7 ~+ B5 K
                                                                  (1): [& {4 m3 ?' }9 x" R! D) d7 z
    $ n/ t7 W: q) J
    不过,这N 个方程实际上并不独立,至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束,即 N 种产品的市场份额之和等于1 * G3 U5 a# W8 X/ `9 S" x" [# g

    + ^. \$ b4 @- J/ d- P( Y
    , {9 N" Q7 M- J8 R+ r. J2 x                 (2) ) L! P6 g% R7 _- s0 c$ \; c
    + K. J2 Z% c4 Y+ Q$ [( X# H1 e
    可见,这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组(当然,还应该增加概率  非负的约束)。如果把这些看成约束条件,那就是一个特殊的优化模型(没有目标函数)。3 Z6 R8 x' E' L
    9 u0 z+ @, t# u6 |
    (3)模型的求解$ f% @# N9 E8 |$ _" n2 V  f7 I* v8 E! S
    ; l  m$ n* o/ e3 u6 x8 h
    LINGO程序如下:
    5 y7 t* Z6 p# F& s5 F8 g; v1 Z. y6 _" ?
    MODEL: ( p2 {& ^/ O" O0 g5 \5 U% F
    TITLE 新产品的市场预测; ( q/ `6 S% {) x# a+ I
    SETS:    , W; |( {8 X# Y) h7 s* P6 `
        PROD/ A B C D/: P;    # f# S5 l& [0 z. @  i0 Y% z
        LINK(PROD, PROD): T;
    $ h  [. t0 o) w' U. fENDSETS
    $ `# J, ?, y( G$ y, _; MDATA: ! 转移概率矩阵;   
    8 u6 A; U) v: x( a. l    T = .75  .1  .05  .1       ' t- z0 ?  _, l( c4 F& w
            .4   .2  .1   .3        2 a2 p% F, A( b& o4 J0 A
            .1   .2  .4   .3        : _: x6 ?  H7 v$ P+ y& I& A
            .2   .2  .3   .3;
    2 [; B6 r3 [% H9 O0 d5 T' Q- hENDDATA " w' E! o5 G& J1 r- u/ I
    @FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
    : O/ o3 {6 |/ i@SUM(PROD: P) = 1;
    # @) P7 e, A! C6 J* h@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001)); : r' B- Q3 M& |8 |& [; K3 B$ k
    END
    9 l' P3 }2 B, n2 Q' N可以指出的是,上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1,而且我们看到为了比较两个实数(如X和1)是否相等,一般不能直接用 “X#NE#1”,因为受计算机字长(精度)的限制,实数在计算机内存存储是有误差的。所 以,通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5%,15.25%,16.75%,20.5%。
    7 G8 D. `5 E7 h' Q5 A7 Q$ j0 i( I4 f' r1 e$ j; Z

    2 ?3 E- k- S+ c9 u: c- _7 g3 ^
    ; c- r+ A+ H$ l* a! o习题:假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户,现金帐户利息很低, 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来(收入和支出)只能通过现金帐户进行,如果 现金帐户中钱很多,就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户;反之,需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见,假设以万元为单位,现金帐户的钱数只能 是-20,-10,0,…,40,50(万元)之一,分别记为状态1,2,…,7,8,它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外,根据统计,如果当月现金帐户的状态位于i ( 2 ≤i ≤7 ),下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1,i,i+1 三者之一,并且概率分别为0.4,0.1,0.5;如果当月现金帐户的状态位于1,则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2,并且概率分别为0.5,0.5;如果当月现金帐户的状态位于8,则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8,并且概率分别为0.4,0.6。
    " d- O, m: d& s( n
    , Y6 F  Q$ S% c6 @, k, x$ U$ P6 K
    : ~3 S* v! E  t8 j
    7 O* a2 n2 D1 e2 r' Y# U' _+ v 每月初你可以改变当前状态(即从长期投资帐户转入现金帐户,或从现金帐户转入 长期投资帐户),但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取 转帐金额5%的转帐手续费。请你建立优化模型,确定如果当月现金帐户的状态位于i, 是否应该改变当前状态,如何改变状态?
      k/ d' A6 @4 O( U4 ^————————————————6 ~) ~6 H' q& W1 `
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。: c6 I/ O+ [0 Q; x
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812. h' Y9 Y4 u$ C) M# U
    ( \8 V3 f, t$ I4 C/ l. V+ i
    , |- k! |! ^7 Q5 U  w$ z
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