有瓶颈设备的多级生产计划问题

浅夏110

问题实例 ：在制造企业的中期或短期生产计划管理中，常常要考虑如下的生产计划优化问题： 在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照一定的生产目标（通常是生产总费用 最小）编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题 （lotsizing problems）。所谓某一产品的生产批量（lotsize），就是每通过一次生产准备生 产该产品时的生产数量，它同时决定了库存水平。由于实际生产环境的复杂性，如需求 的动态性，生产费用的非线性，生产工艺过程和产品网络结构的复杂性，生产能力的限 制，以及车间层生产排序的复杂性等，批量问题是一个非常复杂、非常困难的问题。 我们通过下面的具体实例来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级” 的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。

例 1  某工厂的主要任务是通过组装生产产品 A，用于满足外部市场需求。产品 A 的构成与组装过程见图 1，即 D , E,F,G 是从外部采购的零件，先将零件 D,E 组装成部件B ，零件 F,G 组装成部件C ，然后将部件 B,C 组装成产品 A出售。图中弧上的
( z2 ?5 P( M+ M5 w  d数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系 数），例如DB弧上数字“9”表示组装 1 个部件B 需要用到 9 个零件D；BA弧上的 数字“5”表示组装 1 件产品 A需要用到 5 个部件B ；依此类推。



假设该工厂每次生产计划的计划期为 6 周（即每次制定未来 6 周的生产计划），只 有最终产品 A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表 1 第 2 行所示。 部件  B,C 是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。 B,C的能力消耗系数分别为 5 和 8，即生产 1 件B 需要占用 5 个单位的能力，生产 1 件C 需 要占用 8 个单位的能力。  

# D  ~- q1 i4 h7 z- g

% k# i8 i: |: L5 r& b/ T. B9 [对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂 需要一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比） 。 这些数据在表 1 第 5 、6 行给出。

按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第 6 周结束后留下任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上 就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品 A。 在上述假设和所给数据下，如何制定未来 6 周的生产计划。
9 g; t1 a$ g8 P! @6 \! n
* f  q+ p6 M& G7 Y& g0 S2  建立模型

（1）问题分析
; J, U& ]( ~" |$ V! K
$ s; z- b) t, l- [) h2 l! `这个实例考虑的是在有限的计划期内，给定产品结构、生产能力和相关费用及零 部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等） 的外部需求之后，确定每一生产项目在每一时间段上的生产量（即批量），使总费用最 小。由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备（setup），所以通常的 讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用。其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？这是因为本例中 假设了不能有缺货发生，且计划初期和末期的库存都是 0，因此在这个 6 周的计划期内 A的总产量一定正好等于 A的总需求，所以可以认为相应的直接生产成本是一个常数， 因此就不予考虑了。只要理解了我们下面建立优化模型的过程和思想，对于放松这些假 定条件以后的情形，也是很容易类似地建立优化模型的。
8 F; W6 u" _& E/ f2 ?4 b$ n# D2 c
' x/ Z" T# P" {- [$ @" {9 Y3 f0 A/ N2 u（2）符号说明
. `# @! c0 }. o; W7 }0 P; V7 M
为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：

4 q2 v: ^" w; A0 V. J& v8 h/ t9 zN ：生产项目总数（本例中 N =7）；

T ：计划期长度（本例中 T =6） ；

K ：瓶颈资源种类数（本例中 K =1 ）；
. L, n' a8 X/ W1 _6 [- O5 k, X- r" i
6 L, ?  s) R* a8 aM ：一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用；
2 q2 t5 q. A3 p9 N  c
：项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品 A有外部需求）；
5 h* d$ g& M; ~: E
& Z. h9 e2 {& [5 k1 [8 H+ S ：项目i在t时段的生产批量；

! D0 q7 k& M0 g# g& Q' Z& o" S8 [8 A$ w ：项目i在t时段的库存量；
/ m* _3 @# S7 o: P" L( }  C
：项目i在t时段是否生产的标志（0：不生产，1：生产）；
9 C' ~3 h1 @& D# g/ m
; I% I) r$ F( o9 q6 b- r+ M& ] ：产品结构中项目i的直接后继项目集合；

0 H. m  m0 Z3 r. u ：产品结构中项目 j 对项目i的消耗系数；

：项目i在t时段生产时的生产准备费用；
# y( g1 y( ^! s7 _8 \
2 l: D# p1 y1 R( h- h" _1 \0 W  ：项目i在t时段的单件库存费用；

：资源k 在t时段的能力上限；
+ [% |) ^( c& C( M& P* V
：项目i在t时段生产时，生产单个项目占用资源k 的能力；
2 S* K2 o( P+ H


（3）目标函数

0 b' _$ @5 Q& C. `0 y* N2 Y; F这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该 是每个项目在每个阶段上的生产准备费用和库存费用的总和，即
: R1 H( w6 H, Y4 Q. V$ A8 B1 |' U
& S: ~4 W# U1 k& r( Z6 A. w' N                                 ( 1 )

2 u3 W( v: P3 O（4）约束条件
# l3 Z% A  E  V
) w2 N5 q7 B0 d1 G6 k; t8 Z这个问题中的约束有如下几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对  是  0− 1约束）。 所谓物流守恒，是指对每个时段、每个项目（图中一个节点）而言，该项目在上一个时段的库存量加上当前时段的生产量，减去该项目当前时段用于满足外部需求的量 和用于组装其它项目（直接后继项目）的量，应当等于当前时段的库存量。具体可以写成如下表达式（假设 ）：

5 I. S! P* b6 N- R                       ( 2 )      
1 T+ l8 g( _& |2 Z- s
" k( U- v3 |- [: o+ G4 f4 ~/ c资源能力限制比较容易理解，即

                      ( 3 )         

. Y. |0 [/ [" Y2 r' u: ?: _+ F0 F

3  求解模型
8 O* W& E& i; u
* A! t' ?+ {" v  Y8 I8 d4 D- a

( m, L; u* q& A( _
2 Z! A: x% D0 z/ P+ T

$ l1 P1 C7 V" N$ V6 V; j
$ w; N: R4 t+ _4 [+ S' ~) U. L) iMODEL:
TITLE 瓶颈设备的多级生产计划;
8 b# }  H! N' t6 w# VSETS:
/ Q; k1 l9 i% Y2 ?* D! PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，   A=对瓶颈资源的消耗系数;
, }* B# e! ?1 K9 C& e  e3 ePART/A B C D E F G/:Setup,Hold,A;
; A+ X7 D5 L! }( G( I! TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;
TIME/1..6/:Capacity;
! USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;
) m9 p! B: @. }( K, PUSES(PART,PART):Req;
7 F4 P1 s! F; P" y! PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,   X=产量（批量）, Y=0/1变量，INV=库存; PXT(PART,TIME)emand,X,Y,Inv;
, n% c. R0 T- D5 ZENDSETS
! 目标函数;
[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));
+ s; b5 d, k- s- y4 L! 物流平衡方程;
@FOR(PXT(i,t)|t #NE#
- {" ?0 J# ?1 }- u# }9 [  f$ [/ w  G1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req( i,j)*X(j,t))); @FOR(PXT(i,t)|t #eq#
5 r0 Z- Z- F8 J2 K" [1:[Ba0]X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t) ));
! 能力约束;
3 O8 g# o8 ]  [: F. ~! @7 D@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));  
! 其他约束;
" P/ r  C0 p8 L0 L& I, XM = 25000;
6 s2 l4 ~! {4 s% P& |( S9 D@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));
@FOR(PXTBIN(Y));
DATA:
Demand=0;Req =0;  
Capacity=10000 0 5000 5000 1000 1000;
Setup=400 500 1000 300 200 400 100;
1 e& z- c/ C7 T+ PHold=12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04;
7 w% ?* Z& Z" ?* i) u6 R0 e' N% pA=0 5 8 0 0 0 0;
1 M+ [* ~$ V( V6 X1 m8 }0 cENDDATA
8 x! e1 K! T( V, u( GCALC:
demand(1,1)=40;demand(1,3)=100;
) O  s5 c+ H! c$ I' f- q( sdemand(1,5)=90;demand(1,6)=10;
* o0 _- |1 L! c: Z: ]! }7 preq(2,1)=5;req(3,1)=7;req(4,2)=9;
req(5,2)=11;req(6,3)=13;req(7,3)=15;
ENDCALC
' `( K) X) f2 A. l, D' EEND

1 r+ Z9 W" G! X. R* O
习题：
2 U& s/ _& j& s5 e
1．某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资，每年冬季（9 月中旬至来年 5 月 中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间，而夏季为 4000h。如果这些劳动时 间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。

2 j1 x& \# S" W0 F& t( t$ e9 i2 F现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。 农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始 投资。每头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏季付出 50h 劳动时间，每年产生的净现金收入为 450 元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬 季 0.6h，夏季 0.3h，年净现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏 的大小限制了最多能饲养 32 头奶牛。
( n- }7 c& l( l# G+ z. V
根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如表 11 所示。建立数 学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。

2 B# D4 l" _8 p

& D! T' c; `" Q1 \: H2．如图 4，有若干工厂的排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居 民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂 的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量 成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。 处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水 浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。


7 C; U% Y' N4 w; @* ?4 z. \. [


先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：

; `) J, {" n2 p8 K（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？
% e  J" t, n" f& d; b) P4 ?' }
$ Y. c  p" d% a. g（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？
9 i( S/ p. R5 o3 W+ U* x3 n0 v  t————————————————
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6 U# X% s% s" [1 K3 V( @# @