有瓶颈设备的多级生产计划问题

浅夏110

问题实例 ：在制造企业的中期或短期生产计划管理中，常常要考虑如下的生产计划优化问题： 在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照一定的生产目标（通常是生产总费用 最小）编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题 （lotsizing problems）。所谓某一产品的生产批量（lotsize），就是每通过一次生产准备生 产该产品时的生产数量，它同时决定了库存水平。由于实际生产环境的复杂性，如需求 的动态性，生产费用的非线性，生产工艺过程和产品网络结构的复杂性，生产能力的限 制，以及车间层生产排序的复杂性等，批量问题是一个非常复杂、非常困难的问题。 我们通过下面的具体实例来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级” 的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。

例 1  某工厂的主要任务是通过组装生产产品 A，用于满足外部市场需求。产品 A 的构成与组装过程见图 1，即 D , E,F,G 是从外部采购的零件，先将零件 D,E 组装成部件B ，零件 F,G 组装成部件C ，然后将部件 B,C 组装成产品 A出售。图中弧上的
数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系 数），例如DB弧上数字“9”表示组装 1 个部件B 需要用到 9 个零件D；BA弧上的 数字“5”表示组装 1 件产品 A需要用到 5 个部件B ；依此类推。
/ E* |& n+ C) S" g( n

; d' `4 y/ y% M9 C8 T: ~- q
- w0 k3 C9 h3 ]1 _! N$ E假设该工厂每次生产计划的计划期为 6 周（即每次制定未来 6 周的生产计划），只 有最终产品 A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表 1 第 2 行所示。 部件  B,C 是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。 B,C的能力消耗系数分别为 5 和 8，即生产 1 件B 需要占用 5 个单位的能力，生产 1 件C 需 要占用 8 个单位的能力。  


, _% Y$ k: }7 N
9 B2 z7 y4 ]& q7 C1 g9 N" l对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂 需要一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比） 。 这些数据在表 1 第 5 、6 行给出。

! g& `9 v, P! u按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第 6 周结束后留下任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上 就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品 A。 在上述假设和所给数据下，如何制定未来 6 周的生产计划。

  D6 |/ A, `1 _$ W* [2 i! K$ S2  建立模型

（1）问题分析
! J6 b* G$ L1 ^5 j. T/ v
: o, {0 y6 u$ ?* V% f$ ^1 l这个实例考虑的是在有限的计划期内，给定产品结构、生产能力和相关费用及零 部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等） 的外部需求之后，确定每一生产项目在每一时间段上的生产量（即批量），使总费用最 小。由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备（setup），所以通常的 讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用。其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？这是因为本例中 假设了不能有缺货发生，且计划初期和末期的库存都是 0，因此在这个 6 周的计划期内 A的总产量一定正好等于 A的总需求，所以可以认为相应的直接生产成本是一个常数， 因此就不予考虑了。只要理解了我们下面建立优化模型的过程和思想，对于放松这些假 定条件以后的情形，也是很容易类似地建立优化模型的。

（2）符号说明
! p% w4 F! X' r
为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：
2 P3 f; _/ `) @+ N
N ：生产项目总数（本例中 N =7）；
* C1 @. e" A" \0 l7 P
T ：计划期长度（本例中 T =6） ；

K ：瓶颈资源种类数（本例中 K =1 ）；

M ：一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用；

& A, h* K" Q: { ：项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品 A有外部需求）；

：项目i在t时段的生产批量；

：项目i在t时段的库存量；

：项目i在t时段是否生产的标志（0：不生产，1：生产）；
& Z, v6 s: Q) z
, L$ {! P: L$ I0 k ：产品结构中项目i的直接后继项目集合；

3 x( w$ j" P/ O; E) W, F- d0 _; Y ：产品结构中项目 j 对项目i的消耗系数；
& K2 B7 ^& k4 |) U# m& H
：项目i在t时段生产时的生产准备费用；
. Q" C3 B9 h: k  v; L. Z! a
  ：项目i在t时段的单件库存费用；

：资源k 在t时段的能力上限；

# A" s2 k1 n! e. w6 K. e3 v' i ：项目i在t时段生产时，生产单个项目占用资源k 的能力；
: V" o' q; |6 i$ x* u" `9 y
8 }! _% ]" A. D  h2 F5 F7 w

9 K4 M% L9 v% D6 X8 l（3）目标函数

) u8 @' J: Z  R% n7 u这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该 是每个项目在每个阶段上的生产准备费用和库存费用的总和，即
* @+ n  S% u) ^* v1 S9 N2 C
                                 ( 1 )
2 u0 F% q9 M6 E
（4）约束条件

这个问题中的约束有如下几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对  是  0− 1约束）。 所谓物流守恒，是指对每个时段、每个项目（图中一个节点）而言，该项目在上一个时段的库存量加上当前时段的生产量，减去该项目当前时段用于满足外部需求的量 和用于组装其它项目（直接后继项目）的量，应当等于当前时段的库存量。具体可以写成如下表达式（假设 ）：

                       ( 2 )      

8 o* ~3 J% p* \, V" v资源能力限制比较容易理解，即

                      ( 3 )         
, L; [. V8 W0 A+ a0 X
; b/ S+ B: G7 o3 I
4 |8 _; `! G7 a
3  求解模型




5 G& O: G+ `! n; L/ u% Z
6 n# `7 x$ u9 H3 V  X0 p7 l

& _8 a( G: A& \' WMODEL:
$ j2 b' B) R% k' I$ g; I/ D9 V4 _% aTITLE 瓶颈设备的多级生产计划;
SETS:
4 s! s- T* J% C: c; f! PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，   A=对瓶颈资源的消耗系数;
PART/A B C D E F G/:Setup,Hold,A;
! TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;
! A* K$ V5 c  `/ @3 g! v* tTIME/1..6/:Capacity;
! USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;
USES(PART,PART):Req;
! PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,   X=产量（批量）, Y=0/1变量，INV=库存; PXT(PART,TIME)emand,X,Y,Inv;
. v0 ]. W6 C7 }# C& nENDSETS
# n* e- N+ p* V5 J1 Z1 B! 目标函数;
[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));
! 物流平衡方程;
& d* p+ n( T4 M( U- v) d: c0 H@FOR(PXT(i,t)|t #NE#
3 t" e% o7 ~/ ~- _7 n4 }, O1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req( i,j)*X(j,t))); @FOR(PXT(i,t)|t #eq#
' [3 ?. J8 R% D8 P7 Q1 n- h( u1:[Ba0]X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t) ));
! 能力约束;
; d' o, j& d6 V3 q2 s4 Z@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));  
7 I% y- u4 F/ j" f7 x+ c+ m, r: [; o8 D! 其他约束;
( \2 a  h% q5 Q& ^4 ~M = 25000;
6 g" g& D6 b0 ?5 r& L$ _2 w+ G- i@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));
( P! P# n) e6 D3 C! \/ M$ f5 I6 m@FOR(PXTBIN(Y));
DATA:
Demand=0;Req =0;  
Capacity=10000 0 5000 5000 1000 1000;
1 ]# I) d9 ]) d' @# eSetup=400 500 1000 300 200 400 100;
Hold=12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04;
A=0 5 8 0 0 0 0;
ENDDATA
) g- `9 k2 k& {/ N, T8 a2 c! |& zCALC:
demand(1,1)=40;demand(1,3)=100;
demand(1,5)=90;demand(1,6)=10;
req(2,1)=5;req(3,1)=7;req(4,2)=9;
req(5,2)=11;req(6,3)=13;req(7,3)=15;
ENDCALC
END
, W9 d! k  U* r, U2 L- \# h7 C: i
5 ^) g* [. D0 A+ X" b
6 [% i5 {( e* o5 M4 z习题：

1 l4 q" j" }( M1．某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资，每年冬季（9 月中旬至来年 5 月 中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间，而夏季为 4000h。如果这些劳动时 间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。

; v, `  \4 O2 O: C$ J' `, x0 h现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。 农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始 投资。每头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏季付出 50h 劳动时间，每年产生的净现金收入为 450 元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬 季 0.6h，夏季 0.3h，年净现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏 的大小限制了最多能饲养 32 头奶牛。

根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如表 11 所示。建立数 学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。
( U6 C' ^$ {& L' }$ {


2．如图 4，有若干工厂的排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居 民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂 的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量 成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。 处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水 浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。


' E6 a( G2 z# l% b
$ Y, p, _7 y! ^* }) h

" @0 }9 O4 _+ s2 ?) n先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：
* k7 w& A5 ]6 K& V. h
! F: ^6 I3 q( P( X（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

$ p5 A* z8 w  R2 f! g) S（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？
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