有瓶颈设备的多级生产计划问题

浅夏110

问题实例 ：在制造企业的中期或短期生产计划管理中，常常要考虑如下的生产计划优化问题： 在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照一定的生产目标（通常是生产总费用 最小）编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题 （lotsizing problems）。所谓某一产品的生产批量（lotsize），就是每通过一次生产准备生 产该产品时的生产数量，它同时决定了库存水平。由于实际生产环境的复杂性，如需求 的动态性，生产费用的非线性，生产工艺过程和产品网络结构的复杂性，生产能力的限 制，以及车间层生产排序的复杂性等，批量问题是一个非常复杂、非常困难的问题。 我们通过下面的具体实例来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级” 的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。
. K/ K8 h3 G5 @6 H& \: m
) b% ~# x( \% v! G例 1  某工厂的主要任务是通过组装生产产品 A，用于满足外部市场需求。产品 A 的构成与组装过程见图 1，即 D , E,F,G 是从外部采购的零件，先将零件 D,E 组装成部件B ，零件 F,G 组装成部件C ，然后将部件 B,C 组装成产品 A出售。图中弧上的
数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系 数），例如DB弧上数字“9”表示组装 1 个部件B 需要用到 9 个零件D；BA弧上的 数字“5”表示组装 1 件产品 A需要用到 5 个部件B ；依此类推。

3 F' ^! h, Z+ B& P, b2 V
) F: Q8 V, G* M- e' f! Z6 ?+ E: R
假设该工厂每次生产计划的计划期为 6 周（即每次制定未来 6 周的生产计划），只 有最终产品 A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表 1 第 2 行所示。 部件  B,C 是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。 B,C的能力消耗系数分别为 5 和 8，即生产 1 件B 需要占用 5 个单位的能力，生产 1 件C 需 要占用 8 个单位的能力。  
5 R8 ?: d6 J2 H( j8 Z2 P8 d

) N) I2 X6 p. a1 L, V* ?% S
9 c+ a& }. O4 \( d1 O对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂 需要一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比） 。 这些数据在表 1 第 5 、6 行给出。

按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第 6 周结束后留下任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上 就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品 A。 在上述假设和所给数据下，如何制定未来 6 周的生产计划。
$ r% J3 r* d3 d! O
8 N: X3 y( Z: o3 D/ R2  建立模型
; z1 S( H7 r# |# e/ O, [
（1）问题分析
4 F# U* P6 M# V
这个实例考虑的是在有限的计划期内，给定产品结构、生产能力和相关费用及零 部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等） 的外部需求之后，确定每一生产项目在每一时间段上的生产量（即批量），使总费用最 小。由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备（setup），所以通常的 讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用。其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？这是因为本例中 假设了不能有缺货发生，且计划初期和末期的库存都是 0，因此在这个 6 周的计划期内 A的总产量一定正好等于 A的总需求，所以可以认为相应的直接生产成本是一个常数， 因此就不予考虑了。只要理解了我们下面建立优化模型的过程和思想，对于放松这些假 定条件以后的情形，也是很容易类似地建立优化模型的。

& L, c( ?" J. C1 S) Y（2）符号说明
/ [  Y( W; d, E4 X" K3 y( B! w! K
2 H; ~! x0 @9 Y$ f为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：
( l3 y; r3 M3 ~! u
5 v5 L" `+ J: wN ：生产项目总数（本例中 N =7）；

* H* P$ t% y& w4 b% m/ \$ b4 D& qT ：计划期长度（本例中 T =6） ；
, l7 C/ T. A3 P1 ?
K ：瓶颈资源种类数（本例中 K =1 ）；
/ X: G5 A' X9 f5 g
0 I- R: o) Q+ c1 w6 l6 f8 [" kM ：一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用；

：项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品 A有外部需求）；

：项目i在t时段的生产批量；
$ \4 ~% r. w& |& {7 f" d+ _. G. A
0 n; x% P2 U# E0 O) R0 I% q ：项目i在t时段的库存量；

, ~" F8 v+ S" ]" \- t ：项目i在t时段是否生产的标志（0：不生产，1：生产）；
9 M+ p0 F( ?% x; _* H; Q
：产品结构中项目i的直接后继项目集合；
+ x+ Q' G- k0 e  ^  x, r1 ]
：产品结构中项目 j 对项目i的消耗系数；

：项目i在t时段生产时的生产准备费用；

  ：项目i在t时段的单件库存费用；
2 q) M  t! f& H/ w5 g" O: b% p) `
：资源k 在t时段的能力上限；
7 i/ o* G* P# `" r# r" `! y
" c9 j! F) @# C ：项目i在t时段生产时，生产单个项目占用资源k 的能力；
! V, f$ d& n* h3 b
$ N( n$ x3 z& u0 Y
0 C% q: P/ r' @5 G
. @1 z4 h4 p& t" h7 z4 _（3）目标函数
; f4 X& Z0 C7 [9 B
这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该 是每个项目在每个阶段上的生产准备费用和库存费用的总和，即

                                 ( 1 )
) L; ]8 O  B5 o% G9 D
. @. |3 g! P/ |- G; K9 m$ _（4）约束条件

这个问题中的约束有如下几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对  是  0− 1约束）。 所谓物流守恒，是指对每个时段、每个项目（图中一个节点）而言，该项目在上一个时段的库存量加上当前时段的生产量，减去该项目当前时段用于满足外部需求的量 和用于组装其它项目（直接后继项目）的量，应当等于当前时段的库存量。具体可以写成如下表达式（假设 ）：

$ f6 D1 E, M- C+ b- x                       ( 2 )      
$ N$ [/ Z, e+ a0 ?
资源能力限制比较容易理解，即
6 s& P  T! I1 F$ U9 u. a+ ]
                      ( 3 )         



3  求解模型
0 s/ B& ]; Y5 t  X7 y/ S' _( _






MODEL:
TITLE 瓶颈设备的多级生产计划;
; T' T' K5 B5 B3 @SETS:
, U3 u4 O; O0 l$ I  Y( g2 q! PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，   A=对瓶颈资源的消耗系数;
PART/A B C D E F G/:Setup,Hold,A;
! TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;
TIME/1..6/:Capacity;
; t% o/ }% Y' c3 t) u# h! USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;
USES(PART,PART):Req;
! PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,   X=产量（批量）, Y=0/1变量，INV=库存; PXT(PART,TIME)emand,X,Y,Inv;
6 T" e4 U3 n3 f8 ~# J  @ENDSETS
! 目标函数;
[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));
! 物流平衡方程;
@FOR(PXT(i,t)|t #NE#
/ E( H) `4 q* y+ ~& u% R% N9 e1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req( i,j)*X(j,t))); @FOR(PXT(i,t)|t #eq#
% O9 j; x$ b7 m9 e/ _9 \1:[Ba0]X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t) ));
1 h8 J. @+ y; K  X1 S- t! 能力约束;
@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));  
, K# Y' v2 }5 L2 O$ T! 其他约束;
# n2 _( y' }8 U' v" F5 _8 fM = 25000;
@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));
@FOR(PXTBIN(Y));
DATA:
# H$ f: D4 g+ b! VDemand=0;Req =0;  
  E# `! _# J1 N+ \' D2 @$ E; vCapacity=10000 0 5000 5000 1000 1000;
Setup=400 500 1000 300 200 400 100;
Hold=12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04;
A=0 5 8 0 0 0 0;
- C2 y% J# C, w2 X3 sENDDATA
' o" H4 k- _/ ^3 X; iCALC:
: c# ]0 |# j3 b$ H% f/ L( wdemand(1,1)=40;demand(1,3)=100;
7 X4 k. v) _7 f; rdemand(1,5)=90;demand(1,6)=10;
3 A8 C4 [, P" C7 m  wreq(2,1)=5;req(3,1)=7;req(4,2)=9;
1 G& ]8 A9 m' E& J: V8 Zreq(5,2)=11;req(6,3)=13;req(7,3)=15;
; @) p! p, h' x$ W; L' aENDCALC
, X! ~4 M' E' N9 T% AEND


  [4 V& h+ x+ J; V! j习题：
4 s; h( Z$ n0 e* Z" I- z
1．某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资，每年冬季（9 月中旬至来年 5 月 中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间，而夏季为 4000h。如果这些劳动时 间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。

现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。 农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始 投资。每头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏季付出 50h 劳动时间，每年产生的净现金收入为 450 元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬 季 0.6h，夏季 0.3h，年净现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏 的大小限制了最多能饲养 32 头奶牛。

根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如表 11 所示。建立数 学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。
7 H* b& r1 E# O9 B4 s( Z: R
7 w& a9 S- W' i. f9 [7 a
1 l) T: T3 w: l# C* y- m! S: @5 a% ]
2．如图 4，有若干工厂的排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居 民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂 的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量 成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。 处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水 浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。



/ k4 z% _& x# j; ~- J5 p  R; C

" C$ U5 J+ M; S# u先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：
3 N' R; X, x8 g& n
（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？
2 g+ V" G- b$ |( A' G
（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？
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