有瓶颈设备的多级生产计划问题

浅夏110

问题实例 ：在制造企业的中期或短期生产计划管理中，常常要考虑如下的生产计划优化问题： 在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照一定的生产目标（通常是生产总费用 最小）编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题 （lotsizing problems）。所谓某一产品的生产批量（lotsize），就是每通过一次生产准备生 产该产品时的生产数量，它同时决定了库存水平。由于实际生产环境的复杂性，如需求 的动态性，生产费用的非线性，生产工艺过程和产品网络结构的复杂性，生产能力的限 制，以及车间层生产排序的复杂性等，批量问题是一个非常复杂、非常困难的问题。 我们通过下面的具体实例来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级” 的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。
+ @- f" b" b5 d6 |, u. g! Z5 s; P
例 1  某工厂的主要任务是通过组装生产产品 A，用于满足外部市场需求。产品 A 的构成与组装过程见图 1，即 D , E,F,G 是从外部采购的零件，先将零件 D,E 组装成部件B ，零件 F,G 组装成部件C ，然后将部件 B,C 组装成产品 A出售。图中弧上的
数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系 数），例如DB弧上数字“9”表示组装 1 个部件B 需要用到 9 个零件D；BA弧上的 数字“5”表示组装 1 件产品 A需要用到 5 个部件B ；依此类推。



5 a$ @! g" H. R2 y" H- G假设该工厂每次生产计划的计划期为 6 周（即每次制定未来 6 周的生产计划），只 有最终产品 A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表 1 第 2 行所示。 部件  B,C 是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。 B,C的能力消耗系数分别为 5 和 8，即生产 1 件B 需要占用 5 个单位的能力，生产 1 件C 需 要占用 8 个单位的能力。  
5 l5 k$ j2 T& v( p
- p: o4 _( m7 H8 R+ t+ T) N2 e

+ T4 F7 o( D" [对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂 需要一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比） 。 这些数据在表 1 第 5 、6 行给出。
4 e. D5 e0 K8 o' [7 L
按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第 6 周结束后留下任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上 就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品 A。 在上述假设和所给数据下，如何制定未来 6 周的生产计划。

$ X7 Z4 Z/ w; t( i8 [2 p2  建立模型

* s  U0 k$ ?/ M（1）问题分析
  k6 Y0 s6 t2 q
& m2 ^, Z  V: q# P这个实例考虑的是在有限的计划期内，给定产品结构、生产能力和相关费用及零 部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等） 的外部需求之后，确定每一生产项目在每一时间段上的生产量（即批量），使总费用最 小。由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备（setup），所以通常的 讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用。其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？这是因为本例中 假设了不能有缺货发生，且计划初期和末期的库存都是 0，因此在这个 6 周的计划期内 A的总产量一定正好等于 A的总需求，所以可以认为相应的直接生产成本是一个常数， 因此就不予考虑了。只要理解了我们下面建立优化模型的过程和思想，对于放松这些假 定条件以后的情形，也是很容易类似地建立优化模型的。

（2）符号说明
5 F' K/ ^6 B; r4 E
/ ]9 t; L4 z( E/ \为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：

N ：生产项目总数（本例中 N =7）；
. Z3 v! A1 K+ G" h1 c
T ：计划期长度（本例中 T =6） ；
) E$ \/ D+ n) m! f9 ]
K ：瓶颈资源种类数（本例中 K =1 ）；

/ n" w* u9 ]2 u' H+ g4 f  ]M ：一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用；

1 c3 i* t# n: W  P% d+ X4 C# ?% _) S ：项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品 A有外部需求）；

' F3 N( I* ~& s8 l ：项目i在t时段的生产批量；
& d! z) P) R1 c7 y& S6 B3 S  y/ i! J
( U5 q2 s3 i+ j: h% R- ` ：项目i在t时段的库存量；

7 }$ a4 i6 d8 s, i$ J- Z ：项目i在t时段是否生产的标志（0：不生产，1：生产）；
4 ?- o2 [0 T7 M1 ]! b4 H
：产品结构中项目i的直接后继项目集合；

：产品结构中项目 j 对项目i的消耗系数；
8 {) W  ~/ {' O5 L4 h1 Z! E7 G7 M
+ b4 d' T* u* F ：项目i在t时段生产时的生产准备费用；

" T+ l+ i1 h6 k! f3 b2 t; K& N  ：项目i在t时段的单件库存费用；
# L& J$ Z% N$ u+ Z5 T+ S2 }
：资源k 在t时段的能力上限；

：项目i在t时段生产时，生产单个项目占用资源k 的能力；


) U$ X& S% D9 u8 {, c$ G% g2 W
  h( I$ z" G) h' o" J! m8 k（3）目标函数
; z$ i4 L! N/ }% B. T+ Q$ f" n
7 e3 h% l  {1 F& g" q这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该 是每个项目在每个阶段上的生产准备费用和库存费用的总和，即

7 Y0 A+ H/ Y5 k: {$ b7 X: W& R, b' z                                 ( 1 )
* i$ G4 k, Q3 @! Z5 Z
（4）约束条件
5 V6 T& v4 M5 n% _, x! o8 I
, w  `2 W' l+ k, O" t这个问题中的约束有如下几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对  是  0− 1约束）。 所谓物流守恒，是指对每个时段、每个项目（图中一个节点）而言，该项目在上一个时段的库存量加上当前时段的生产量，减去该项目当前时段用于满足外部需求的量 和用于组装其它项目（直接后继项目）的量，应当等于当前时段的库存量。具体可以写成如下表达式（假设 ）：

3 O# T  }) t) ^) O- {7 \* ~5 l                       ( 2 )      
; n; S7 N9 T, x6 y/ t" M
资源能力限制比较容易理解，即

                      ( 3 )         


, T; h; `$ m+ ~" u6 a. m4 F0 T
3  求解模型
7 V9 l* l4 b- q' u
8 I( v" l  _4 u

+ r1 t8 N" d& f! f0 z2 x, F& e
" B7 {$ O5 j$ J) N5 X( `

2 _  J- I. k! ^2 G5 T' I
' O7 {7 E. T- h+ nMODEL:
TITLE 瓶颈设备的多级生产计划;
' H. p) r- {# J  X4 Q% X$ q& OSETS:
& g7 ?, N, l. r8 k; @5 p; _! PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，   A=对瓶颈资源的消耗系数;
3 w/ J5 {/ q/ {5 R, z# {PART/A B C D E F G/:Setup,Hold,A;
! TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;
TIME/1..6/:Capacity;
; S& ?+ j4 {' \: G) j3 e- Q! USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;
USES(PART,PART):Req;
$ F* P2 K; R5 X! [: U( R! PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,   X=产量（批量）, Y=0/1变量，INV=库存; PXT(PART,TIME)emand,X,Y,Inv;
ENDSETS
2 J$ ]3 G% b, [9 m5 E% `( F! 目标函数;
[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));
! 物流平衡方程;
@FOR(PXT(i,t)|t #NE#
# x" ^( v" h+ h3 Y9 f' c1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req( i,j)*X(j,t))); @FOR(PXT(i,t)|t #eq#
: i0 |; o/ O# T, y% s1:[Ba0]X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t) ));
- z) R0 G' D, l' ^! 能力约束;
@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));  
! 其他约束;
- N  w4 I: y9 z1 V1 mM = 25000;
@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));
@FOR(PXTBIN(Y));
% d$ @1 r+ A+ E5 h; VDATA:
* F. b8 L. s1 ]  \Demand=0;Req =0;  
Capacity=10000 0 5000 5000 1000 1000;
Setup=400 500 1000 300 200 400 100;
Hold=12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04;
A=0 5 8 0 0 0 0;
: H4 c! `$ V3 x2 HENDDATA
6 e8 ?# @" \" ^' R+ e+ S! ~CALC:
demand(1,1)=40;demand(1,3)=100;
demand(1,5)=90;demand(1,6)=10;
req(2,1)=5;req(3,1)=7;req(4,2)=9;
req(5,2)=11;req(6,3)=13;req(7,3)=15;
ENDCALC
END


习题：

3 M% H) J, i7 P) l+ O' z! Z6 _& s1．某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资，每年冬季（9 月中旬至来年 5 月 中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间，而夏季为 4000h。如果这些劳动时 间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。

现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。 农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始 投资。每头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏季付出 50h 劳动时间，每年产生的净现金收入为 450 元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬 季 0.6h，夏季 0.3h，年净现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏 的大小限制了最多能饲养 32 头奶牛。

根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如表 11 所示。建立数 学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。
  B0 s$ ?5 Z0 Y7 Z( M
5 I8 q+ q. M0 _9 ~6 c

& `9 f6 O& x3 H$ b: @2 ~3 ?2．如图 4，有若干工厂的排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居 民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂 的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量 成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。 处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水 浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。
$ _+ t$ O8 P6 O( e$ T4 E, m. [8 e
# f' A" w  T3 w1 k1 t. n- U
' N' I; l3 P9 D# ~
* u" @0 b  I! B( l

先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？
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