飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

: C) ^5 i: O) Q. f已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

& F8 S; A  t& Q/ t6 x1 o如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？

, E8 l' \4 ~% u' b3 a9 n
4 ~: i7 I9 |4 @
' W+ c9 `& `' `; _5 V" h- o6 Q（1）问题分析

2 U% r7 [2 i! R, f- g  Q这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

（2）决策变量

设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
$ z2 x  k4 ?; p: j4 u- W) H4 Z1 X
（3）目标函数

# Y' Z: s4 D5 r2 _& v3 ?1 q优化目标是

" W: `$ K+ H' m- ~; x9 E1 u+ m
0 R# W' }; L% m0 ^7 j
+ |; ?) F$ N, H* Z: I' f% ]' U（4）约束条件

1 C. v- M9 I* S8 ]+ P2 A! S需要考虑的约束包括：

& F$ S* T8 i0 b3 w. S; `0 i' Ji）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。

/ z- m  F2 a! f, d* n

! a" B( K% ^8 w) S, y6 p" N% l) s! ~ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
6 R- T8 a+ R) G. M; V
& [  L4 X: M5 Q, k* z% X* |4 \
# ~% H0 T& w" i5 v
, z! i  N0 B# U% k（5）求解 编写 LINGO 程序如下

model:
9 ^$ _, Y8 l8 Z! I6 h0 Ysets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
2 `9 J* `+ }# b) G- D- hrow/1..3/:b1,b2;
6 T4 {& N4 Y: F, vendsets
data:
2 A5 z. s4 F; `; S& a# C' jc1=200 195 190 185;
+ A3 F+ c2 Q- F, b2 R# h0 p8 Sc2=10 9.9 9.8 9.7;
/ x# q: A: k2 G* b" [* b/ @c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
) K6 Q. P( \7 _0 Jb2=450 210 240;
% D1 K8 c. S) L/ p4 \$ x* V+ F# k0 Tenddata
( u+ ~. U2 O% u$ b/ D) Z1 J) smin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
! Z1 f5 s, X. h9 c' f2 cy(1)=10;
% o5 T8 X- z5 B# _# O6 ^@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
8 `* x1 [4 @; O& D. z6 M& O) rend
4 Y! R, I1 u7 H( \- D

0 Y, t, e0 u% r/ T+ j$ C# t+ |  R
) y4 G( N- a7 \+ b4 t6）问题讨论

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为
% h0 b6 O# x% [& `* ^% P# o( |5 X
2 u4 v) i  T2 Z& f0 o3 T2 Q& t
/ |2 m7 `3 }) Y: R9 ?
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

' g1 }3 V5 z; ]- R8 |model:
sets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
endsets
data:
c1=200 195 190 185;
6 b$ a+ I% `' [. y9 hc2=10 9.9 9.8 9.7;
5 y. D% L1 F/ I; [, J; W3 x( Gc3=7 6.9 6.8 6.7;
6 U" Z* v& \& J8 N& s9 d6 l& K5 mb1=70 30 80;
9 m: z7 t, t+ a9 mb2=450 210 240;
enddata
' q8 ?5 \9 y8 l) B$ _: L. l/ Dmin=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
$ }1 E. y: _: Q5 O2 B. ^  Wy(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
end

) ?8 Q, p! C4 A( u9 i
. w7 b9 G! b  L/ o/ E————————————————
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