消防车调度问题 ：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

问题描述： 某市消防中心同时接到了三处火警电话。根据当前的火势，三处火警地点分 别需要 2 辆、2 辆和 3 辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度：记  为第 j 辆消防车到达火警地点i的时间，则三处火警地点的损失分别为
  q1 ~  n* J/ F$ r- T; Q
# g, F" Y; N( d2 ?9 q
! o4 o) z& m: u2 U( _   ; 。目前可供消防中心调度的消防车正好有 7辆，分别属于三个消防站（可用消防车数量分别为 3 辆、2 辆、2 辆）。消防车从三个消 防站到三个火警地点所需要的时间如表 6 所示。应如何调度消防车，才能使总损失最 小？


. e/ `" w* t8 t% Y4 u6 j) r
1 ~7 P" j, D/ q$ [问题二：如果三处火警地点的损失分别为 ；，调度方案是否需要改变？



（1）问题分析
) G# G, v3 O$ }3 H1 W
( ?5 K4 w8 ?$ W% M( \, \本题考虑的是为每个火警地点分配消防车的问题，初步看来与线性规划中经典的运输问题有些类似。本题的问题可以看成是指派问题和运输问题的一种变形，我们下面首先把它变成一个运输问题建模求解。

（2）决策变量

为了用运输问题建模求解，我们很自然地把 3 个消防站看成供应点。如果直接把 3 个火警地点看成需求点，我们却不能很方便地描述消防车到达的先后次序，因此难以确 定损失的大小。下面我们把 7 辆车的需求分别看成 7 个需求点（分别对应于到达时间 . 用   表示消防站i是否向第 j 个需求点派车（1 表示派车，0表示不派车），则共有 21 个  0−1 变量.

, }3 N3 Y5 Z! P8 D7 ?# ]: v) }# e（3）模型建立

题目中给出的损失函数都是消防车到达时间的线性函数，所以由所给数据进行简 单的计算可知，如果消防站 1 向第 6 个需求点派车（即消防站 1 向火警地点 3 派车但该 消防车是到达火警地点 3 的第二辆车），则由此引起的损失为 72 98 = × 。同理计算，可以得到损失矩阵如表 7 所示（元素分别记为 ）。



! s9 j, N; J6 F3 Q9 a( S
9 U, O9 l# J. ~- u' _' X
& q/ k2 L7 ^+ R( j
于是，使总损失最小的决策目标为

! h8 d* H2 M) u: ]+ d  Q. M                     ( 1 )
! X) J  o$ v0 n+ s2 E& G. s
约束条件：
1 P0 d" c4 g" @& v& X  V& {5 V
& m2 h' ~) `2 P约束条件有两类，一类是消防站拥有的消防车的数量限制，另一类是 各需求点对消防车的需求量限制。
6 O- C" H" ^/ }0 Y4 ~记   （ i=1,2,3 ）为第i个消防站拥有消防车的数量，则消防站拥有的消防车的数量限制可以表示为
                        (  2 )
$ J- a3 q) R* c3 v
各需求点对消防车的需求量限制可以表示为

4 s! `0 ~; n. q6 }+ U           (  3 )

（4）模型求解 的lingo代码

MODEL:
+ X  |6 N9 c! L3 H2 r3 R& gTITLE 消防车问题;
% |' d% X8 _, K( eSETS:
supply/1..3/:b;
. I( I8 D; M0 Y) Sneed/1..7/;
links(supply,need):c,x;
ENDSETS
[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
/ M. F( T# H" M+ g@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i));
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1);
0 J/ ~; X% j8 c4 E1 hDATA:
b=3,2,2;
c=36,24,49,21,81,72,45   
    30,20,56,24,99,88,55   
" s  _7 \5 J# M: t& N; Y    36,24,63,27,90,80,50;
ENDDATA
END
8 Y2 X9 s" ]) Y0 e1 ~9 o, P2 ^求得结果为，消防站 1 应向火警地点 2 派 1 辆车，向火警地点 3 派 2 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 2、3 各派 1 辆车。最小总损失 为 329。
) l# {* V, H( L6 f, |7 j
& {+ }8 ?: Y2 ~（5）讨论
0 E& u9 a8 b7 k' u5 `( d3 D  W# t9 A1 x
: G# B* D9 h( S' z! Z1）这个问题本质上仍然和经典的运输问题类似，可以把每辆车到达火场看做需求点，消防站看做供应点。在上面模型中，我们虽然假设   为 0− 1变量，但求解时是采用线性规划求解的，也就是说没有加上 为 0− 1 变量或整数变量的限制条件，但求解得到的结果中   正好是 0−1 变量。这一结果不是偶然的，而是运输问题特有的一种性质.
% n7 I4 Y$ j0 ^6 n! y4 O( U
2 ）在上面模型中，没有考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束，但得到的结果正好满足所有的先后次序约束，这一结果不是必然的，而只是巧合。如对例题后半部 分的情形，结果就不是这样了。显然，此时只需要修改损失矩阵如表 8 所示（所示（元素仍然分别记为 )
$ k0 w6 Y% c, z1 k6 Z8 G

  ^# n, `2 w: w! k4 T  p, D
此时重新将式（ 1 )-( 3 ) 构成的线性规划模型输入 LINGO 求解，可以得到新的最优解： 其它变量为 0（最小总损失仍为 329）
: h* h  T0 b1 e2 k4 T% p/ }
实际上，损失矩阵中只是 1、2 列交换了位置，3、4 列交换了位置，5、7 列 交换了位置，因此不用重新求解就可以直接看出以上新的最优解。
" k/ z, Y; L0 q8 f7 R* k" L
但是，以上新的最优解却是不符合实际情况的。例如，  表明火警地点2 的第一辆消防车来自消防站 3，第二辆消防车来自消防站 1，但这是不合理的，因为 火警地点 2 与消费站 3 有 9min 的距离，大于与消防站 1 的 7min 的距离。分配给火警 地点 3 的消防车也有类似的不合理问题。为了解决这一问题，我们必须考虑消防车到达 各火警地点的先后次序约束，也就是说必须在简单的运输问题模型中增加一些新的约 束，以保证以上的不合理问题不再出现。

首先考虑火警地点 2。由于消防站 1 的消防车到达所需时间（7min）小于消防站 2 的消防车到达所需时间（8 分钟），并都小于消防站 3 的消防车到达所需时间（9 分钟）， 因此火警地点 2 的第二辆消防车如果来自消防站 1，则火警地点 2 的第 1 辆消防车也一 定来自消防站 1；火警地点 2 的第 2 辆消防车如果来自消防站 2，则火警地点 2 的第 1 辆消防车一定来自消防站 1 或 2。因此，必须增加以下约束：   (  4 )
# O; i( {: ~+ D+ Y+ k& D  h
# q5 _1 a8 s  b7 b1 N同理，对火警地点 1，必须增加以下约束:    (  5 )
5 F& h0 M  V! K+ W; D1 w" }+ v9 }$ z
对火警地点 3，必须增加以下约束:     ( 6 )

; {$ H8 ^( [: ~: t3 t4 ^, z/ h! v重新将式（1）～（6）构成的整数规划模型（   是 1 0− 变量）输入 LINGO 软件如下:

$ Z2 t) M$ t. r% U3 u; X7 {( B/ gMODEL:
5 k- ^- `, x4 \4 _' VTITLE 消防车问题;
SETS:
supply/1..3/:b;
need/1..7/;
links(supply,need):c,x;
  }- l9 A6 C" MENDSETS
[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
/ o9 ]/ [' L0 v9 ~: F9 V@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i));
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1);
% ?: m! ~6 y( c/ k/ [! n6 S( Rx(1,4)<x(1,3);
x(2,4)<x(1,3)+x(2,3);
x(2,2)<x(2,1);
% [. }+ F# S' i, G  D: ~5 ~  l" vx(1,6)<x(1,5);
x(1,7)<x(1,6);
x(3,6)<x(1,5)+x(3,5);
4 u+ {7 Y7 W' O2*x(3,7)<x(1,5)+x(1,6)+x(3,5)+x(3,6);
! U2 r& C0 G+ Z: G9 _2 C@for(links:@bin(x));
DATA:
b=3,2,2;
0 L& a" W8 Y6 b5 f; Zc=  24    36    21    49    45    72    81     
    20    30    24    56    55    88    99     
3 Y- z5 A4 V% S/ I& O; o1 p    24    36    27    63    50    80    90;
ENDDATA
END
求解可以得到： ，其它变量为 0（最小总损失仍为 335）。也就是说，消防站 1 应向火警地点 2 派 2 辆车，向火警地点 3 派 1 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 3 派 2 辆车。经过检 验可以发现，此时的派车方案是合理的。
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