在线时间 791 小时 最后登录 2022-11-28 注册时间 2017-6-12 听众数 15 收听数 0 能力 120 分 体力 36354 点 威望 11 点 阅读权限 255 积分 13867 相册 0 日志 0 记录 1 帖子 616 主题 542 精华 12 分享 0 好友 225
TA的每日心情 开心 2020-11-14 17:15
签到天数: 74 天
[LV.6]常住居民II
群组 : 2019美赛冲刺课程
群组 : 站长地区赛培训
群组 : 2019考研数学 桃子老师
群组 : 2018教师培训(呼伦贝
群组 : 2019考研数学 站长系列
问题描述:飞机在飞行过程中,能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的 信息,根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示,VOR 是高频多向导航设备的英文缩写,它能够得到飞机与该设备连线的角度信息;DME 是距离测量装 置的英文缩写,它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离(括号内是测量误差限),并已知这 4 种设备的 x, y 坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的 位置? ) m1 w4 u0 d _0 Y2 v6 E( T
- U- Z! W7 y7 G) H$ N" d1 |
+ s( }" k5 h4 i+ v7 ^
; O% i. O8 Q" k( a3 @) v9 L) ?
s* f+ q/ E& U- o2 B d6 V6 ^& w7 W
(1)问题分析
2 k. ?6 M$ r, ?) E1 n) S
+ |: K3 M1 U- f3 F7 t 记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为 (以 km 为单位),i=1,2,3,4 ;VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 (从图中可以看出,按照航空飞行管理的惯例,该角度是从北开始,沿顺时针方向的角度,取值在 之间),角度的误差限为 ;DME 测量得到的距离为 (单位:km),距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 ,则问题就是在表 9 的已知数据下计算 。2 O! U: F) u' h7 x' V" S
1 ]! b$ e/ W* v
: ?6 E2 q6 D5 n( X; R1 M$ {! H5 A + ?, O i; M* E G) x
(2)模型 1 及求解 % G. o( I, I q; F
3 T2 E. Y6 k7 o* o2 L' {
图中角度 是点 和点 的连线与 y 轴的夹角(以 y 轴正向为基准,顺时针方向夹角为正,而不考虑逆时针方向的夹角),于是角度 的正切 ( 1 )# \. V7 I( h; @3 D- [3 o, J, v
& f) r/ @6 j+ Y 对 DME 测量得到的距离,显然有 ( 2 )
, v, |! s1 a5 {% A2 U 9 c4 X0 \$ I1 m/ g# J+ D& k% t) P
直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ,这是一个求解超定(非线性) 方程组的问题,在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近 0 越 好),则需要求解
" a* U' j. _6 R3 @5 [
9 `. C ^2 T0 k( k' v8 _5 d" X ( 3 )
$ f$ o9 K- }: _8 d 式(3)是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序 如下:! i9 I5 ~0 h' ?: j* r: j
# [4 U5 D) N0 x) U
MODEL: 6 T' e2 E1 q& d
TITLE 飞机定位模型1;
8 ~/ }! @9 G# Y& O$ L! q7 j# \. T SETS: V0 L; z: Y$ t* K5 y8 h' X. o
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
# S9 I, U4 `6 s L! j! Y ENDSETS
$ K R! v0 q) S' G DATA: * p; E; `9 n4 e- c! ]
x0, y0, cita, sigma = 6 u) l8 d7 O# l* o7 {4 }
746 1393 161.2 0.8 5 @6 H( Z, E0 c" C" m
629 375 45.1 0.6 " g/ x$ \/ a0 c, w2 h
1571 259 309.0 1.3;
3 l8 D8 Q' g" N5 N x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
5 ]$ ^7 d8 `/ X& M' d ENDDATA
. c; H: m& i) W! ` calc:
{( n$ i" P: q* ~ @for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); 0 G# U) t0 k" P0 w5 `1 u
endcalc ! f' j0 G7 u7 n
min=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4)));
3 v" k% c& S& g4 O: L6 ]0 v END- g! [% y9 @) m+ W) p) x D
上述程序必须使用全局求解器进行求解,否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项,然后求解,可以得到全局最优解 x=1019.306 ,y= 987.2909 ,对应的目标函
S. g+ S& ?; `0 L# Z: ? 数值为 0.4729562,这里的解受π 的取值影响很大。 . q# q, r: y# }; s
+ j" M. S7 j- `3 w (3)模型 2 及求解
& n2 ]9 g- F9 ?5 F" q- d q; t 1 \* Y( f; v7 a! h7 m# L
注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度,距离为公里),因 此将这 4 个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且,4 种设备测量的精度(误差限)不同,而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息? 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是:设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例,目前测得的角度为 ,测量精度为 ,所以实际的角度应该位于区间 内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少,即测量精度很高,所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式:
/ [5 N6 F. w& [4 C' I2 v1 `( @ Q 8 A) N X! c4 W& e
& C: c7 A2 u6 J* v% K9 v4 z
5 G# w5 |: O+ C: Z. i7 X! \ 也就是说,飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的,所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的,我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x , max x , min y, max y为目标,以上面的区域限制条件为约束,求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。
2 ?, L1 T+ e4 L* A( }, u 以 min x 为例,相应的 LINGO 程序为: ' {: x# H* S6 K0 `$ R
. P/ \ Q) Z# F Z! }: Q MODEL: # x# l8 _/ r0 A l
TITLE 飞机定位模型2; $ A$ r* P: G) k8 {' J
SETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma; / m* I2 E- f3 w0 |& K/ }9 C. H
ENDSETS
' _3 O4 `0 i4 U( M' D+ a INIT: 3 Y) Z/ t; Z. y+ l y
x=1000; y=900; ( ~! H$ t$ |" [: t& C: C
ENDINIT ) G- V% x3 G3 I( i4 V- M. \% c
DATA: : M( A4 b! q" C a" s3 U$ }8 ^- N3 T6 q S
x0, y0, cita, sigma = 2 t) [. e4 q) g7 I. C# o
746 1393 161.2 0.8
# X& G; H6 @# `1 m 629 375 45.1 0.6 3 O( z# q, F8 Y' L
1571 259 309.0 1.3;
3 b- V9 Y7 r4 k3 d x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
. `2 N0 I' t( g! q ENDDATA
% y+ K, R7 x" P calc:
, t8 e( c8 \: H7 ~ `# a) U7 u @for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); * [, X7 s- \. i/ s2 A4 `
endcalc / \1 B* R& m2 N8 N! ~8 r
min=x; % `7 }* ~$ q4 Z2 Z) t+ l5 v r* }2 R
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma)); " H$ t. b. I% }3 [7 I% V6 K, ]
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma));
& Z: B q# L- L" ~& G d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; , h7 e1 V C) ~( N; L' X) s
d4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; * Z$ H1 X$ h5 u9 s
END
' F* o5 Y, @% |5 c 注意:用 LINGO9 求解非线性问题,必须对决策变量进行初始化,否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制,取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地(只需要换目标函数就可以了),可得 到 x的最大值为 982.2005, y 的最小值为 717.1614, y 的最大值为 733.1582。 因此,最后得到的解是一个比较大的矩形区域,大致为 . 9 _" p$ V3 `8 U
3 K( x- [* I: v (4)模型 3 及求解4 `! C1 f* H9 k9 p
! {& V, r3 l' g' j# k
模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域,仍不能令人满意。实际上,模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的,这是很不合理的。一般来说,在多次测量中,应该假设设备的测量误差是正态分布的,而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量
5 }' p% D/ i- a( `1 P9 U7 w$ E 误差的标准差。 # k5 Q* k& }) h1 F3 `* Y) `; }% i
" ?& _% A2 c% d 在这种理解下,用各自的误差限 对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的,即求解如下的无约束优化问题更合理。 1 M* S! t( U$ d: t) R* z
* F- c% t6 y$ g, A5 c6 h: q
: E, L! `$ Z4 Y& M
7 b, l( h4 i6 V7 G4 t 由于目标函数是平方和的形式,因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为:
7 O) j0 E' Q6 x# \) A/ e+ d
7 Z- W" i0 e1 H4 s0 \( R MODEL: + [$ j+ X4 z/ E$ ~3 B
TITLE 飞机定位模型3;
& }6 Z1 ^1 m3 R: j1 z SETS: : `* |7 V5 z) N" l% J# H' [
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha; ; U: Q0 g8 }6 W" J
ENDSETS 9 C/ k' W$ R5 c! I0 B4 Q8 p3 s
INIT: 5 m8 H# e _( D
x=1000; y=900; # B" S5 p( y$ M( y! A
ENDINIT
, g0 f% ?9 P" \+ `( }$ t8 K DATA: 8 W+ U+ W, ~+ E8 q& A1 h$ N- k+ R( m
x0, y0, cita, sigma =
R: h; V- m3 l) Y& a/ d$ b 746 1393 161.2 0.8 ) M* Z) {, s$ F3 `
629 375 45.1 0.6 ) l# |6 A r& E2 k
1571 259 309.0 1.3;
& P1 `7 L+ c. L x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
0 U/ H) J8 Q4 ^7 u5 [* T& A- _ ENDDATA
3 n! G0 l3 f* j) H calc:
$ d% u) K Y0 E- R) U. p3 U @for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); / }0 T' F# }: \' d& g$ K. O
endcalc
- x3 R% |# o8 u4 v% T1 G. n9 ^ min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2;
& |; m% }3 b% }6 e0 G" f1 y @for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) ); 3 X! H* @6 X! g' ^" A/ L' D# @: ~
END0 A0 m7 ?" h0 Z2 n5 m g: |
启动 LINGO 的全局最优求解程序求解,得到全局最优解 x=978.3071,y= 723.9841,对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大,这是因为模型 1 中使用的是绝对误差,而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言,分母 很少,所以相对误差比绝对误差大,这是可以理解的。 2 j6 T" d7 T+ g. `- ~8 T5 C
————————————————- {% o& }# A( m- `5 i9 J* c: V1 b
版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
. H$ c, S, D5 \* m( {' g 原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89389044
' z& E8 Q- i, z3 x0 h" p& X $ E3 y! q l% c
4 f* c. c! Q7 r3 {
$ i! C: G) f6 [- g5 j( F7 S+ r1 c
zan