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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
|---|
签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
问题描述:飞机在飞行过程中,能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的 信息,根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示,VOR 是高频多向导航设备的英文缩写,它能够得到飞机与该设备连线的角度信息;DME 是距离测量装 置的英文缩写,它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离(括号内是测量误差限),并已知这 4 种设备的 x, y 坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的 位置? ' }4 G( h3 l! q: l$ ]! M- {
, s2 a3 C# V0 @3 ?. s3 \( X 1 {4 o% a' M; ^+ x1 W; S
& [3 N+ l" V; n6 Z) x4 k2 ^- k% [
% {- r* u/ L& H- M& [* ^. p: D
(1)问题分析 % H( R/ T. ]2 R; Q: w
) d7 Y! x2 _7 R! O: U& l
记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为 (以 km 为单位),i=1,2,3,4 ;VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 (从图中可以看出,按照航空飞行管理的惯例,该角度是从北开始,沿顺时针方向的角度,取值在 之间),角度的误差限为 ;DME 测量得到的距离为 (单位:km),距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 ,则问题就是在表 9 的已知数据下计算 。
2 t [( e3 T0 {8 C* v6 j
0 _! F4 O3 J/ G) o n/ Z
& k1 m$ \* w% c( A' w3 r $ R2 y& K4 J& R6 v# @% o
(2)模型 1 及求解
- z5 a* I1 x; w \, U) R- H0 c/ |* ^3 J8 P. V) X
图中角度 是点 和点 的连线与 y 轴的夹角(以 y 轴正向为基准,顺时针方向夹角为正,而不考虑逆时针方向的夹角),于是角度 的正切 ( 1 )
3 x+ H7 D/ I$ m, J. i
* s8 P( ~) {# ~) G对 DME 测量得到的距离,显然有 ( 2 )
- x' h: h9 b3 O6 J1 @8 N$ U3 C; s1 } V b. c2 t4 }
直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ,这是一个求解超定(非线性) 方程组的问题,在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近 0 越 好),则需要求解
/ M. B0 T" y% q- y1 {0 N& \) ~+ Z5 ~0 ]- b, H6 p# ^- v) Z! _
( 3 )1 q, a2 p2 b' `& W+ e: }( h
式(3)是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序 如下:2 y! b! e# N) P6 _4 ]4 h- j( P
' Z9 |! f/ r3 Z5 V0 z* PMODEL: * |7 M. K! ?; ]& X
TITLE 飞机定位模型1;
& T* S0 h5 m, i8 ^SETS: 8 H5 y& X# v4 a! [+ z* J
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
; N. r T7 i4 \, sENDSETS
7 |7 G7 |( D; PDATA: . r% Y3 G1 u6 t5 y- F& J; f
x0, y0, cita, sigma =
7 z- l0 s/ t% w% c746 1393 161.2 0.8 ; B) \7 W2 B) N7 ~5 g) o
629 375 45.1 0.6
7 N. e' x! R, U* j$ Y V1571 259 309.0 1.3;
! M3 ^) @8 q. `. L3 Ex4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
; C" T3 Y* z! j; B aENDDATA 6 q8 K9 s v. b J" ^# `
calc: * x; G4 a' t, D- W" K
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); % V7 |5 j; G+ q+ v$ W
endcalc / p" O. l; ^6 m+ Z# H8 }$ P. N
min=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4))); ) x: F# |# E5 ~; \
END5 J O- C c2 q: S8 p9 y& S0 C
上述程序必须使用全局求解器进行求解,否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项,然后求解,可以得到全局最优解 x=1019.306 ,y= 987.2909 ,对应的目标函
0 }' H, d/ {9 Z/ `' I+ d2 I2 w数值为 0.4729562,这里的解受π 的取值影响很大。 ! \/ n" d2 Y0 ~# Y: ]
! e2 Q" i( i2 e+ U(3)模型 2 及求解
2 H$ N2 W8 E% C8 u% [+ P' Q$ f- N P+ O! R' W
注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度,距离为公里),因 此将这 4 个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且,4 种设备测量的精度(误差限)不同,而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息? 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是:设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例,目前测得的角度为 ,测量精度为 ,所以实际的角度应该位于区间 内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少,即测量精度很高,所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式:
6 V7 C8 j+ ^9 _% M% `
; ?: V2 g: i. m9 {. A![]()
' b% \) ]$ R$ |0 `" a2 X Q' ]! K+ F7 M$ g9 j
也就是说,飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的,所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的,我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x , max x , min y, max y为目标,以上面的区域限制条件为约束,求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。
2 T x# h% v7 h: |3 }, h 以 min x 为例,相应的 LINGO 程序为:
+ H0 X8 ?# C9 t6 I3 y* J( B5 [/ ]4 T5 ~2 d1 C& |9 b1 W+ Y
MODEL:
; Z P4 t; l% g" B1 b. vTITLE 飞机定位模型2; # ^6 h' I! u% T2 o- d/ a
SETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma; ; m# |, I9 s; W0 _! ^/ F
ENDSETS & p6 {! S. d; `* k6 v9 F
INIT:
6 Y4 @$ f- w0 G2 K3 W" fx=1000; y=900; ' U1 P; p# {; ]8 F2 h
ENDINIT
; R* J( @- E. c- m |" XDATA:
( m/ n' ^) q g; h9 sx0, y0, cita, sigma = # S8 w; K) w+ v
746 1393 161.2 0.8 1 d1 f0 ?9 ?& h8 M
629 375 45.1 0.6
2 Y: s) d/ C7 \7 f% [4 t1571 259 309.0 1.3; : a- Z7 w% K& X/ [& k6 Z. {$ K: r
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; $ \2 `3 y* b( c' x: A- y+ B9 v. @& e
ENDDATA
7 ^# ?* I* q9 U/ @calc:
, U$ D, P5 t' v* W& q! a@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); " r" C- m9 I; s+ L
endcalc & N( K9 ]5 i* [. \' B9 a) V2 ^
min=x; , V; R* t; Q& v. X/ ^# e5 z4 ]& C
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma));
4 i' m& s9 d) N4 d4 y@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma)); 5 T. H- z( U. @
d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; 5 |+ r& o8 s! H6 I5 J
d4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
* B% c4 j9 Y3 @5 @6 ~: p( fEND * D H! e& v: f. Z# K
注意:用 LINGO9 求解非线性问题,必须对决策变量进行初始化,否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制,取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地(只需要换目标函数就可以了),可得 到 x的最大值为 982.2005, y 的最小值为 717.1614, y 的最大值为 733.1582。 因此,最后得到的解是一个比较大的矩形区域,大致为 . 0 i' s5 b- G4 E5 i1 m% N3 ?
4 _( r/ s" J0 w: ]" B
(4)模型 3 及求解
! i- m* ]1 C' D( U6 i/ ~- w
. |; m$ W0 q& Q3 Y+ E7 U; S模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域,仍不能令人满意。实际上,模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的,这是很不合理的。一般来说,在多次测量中,应该假设设备的测量误差是正态分布的,而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量2 l; m9 y, S4 y& |8 j; R; [0 ^
误差的标准差。
: U; t2 Q4 ^/ _# x, Q, {2 @& M& v3 x& [& ]$ W* z
在这种理解下,用各自的误差限 对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的,即求解如下的无约束优化问题更合理。
/ L; K4 ^$ O% C7 d9 }( b1 X$ U; \0 z, R% @; H" M9 ^" A
" z8 K o" z# e E. t y8 C
0 m9 [, i$ P+ G) B
由于目标函数是平方和的形式,因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为:
% L5 c/ h- t' @
) n" W3 M2 x8 f( ?$ xMODEL:
h$ v# ]$ k: ^+ `0 H; D2 JTITLE 飞机定位模型3;
$ f; u( K1 D& B4 F8 C+ @SETS:
$ k# g" F0 M3 FVOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha;
) ]- [. g& l0 I, n5 lENDSETS : |* R1 c1 K5 Z1 ^
INIT:
2 Z5 B, E. i0 h# z7 W; Jx=1000; y=900; / I0 k* C* N2 A. N2 Y( ], j
ENDINIT
1 f7 i. M8 G: O# N: o8 P+ R0 ~' [DATA:
/ u% R- O! e9 a8 _/ Px0, y0, cita, sigma =
! N; ~5 B+ p# v8 e6 ], j* A746 1393 161.2 0.8
9 h" x, `8 p0 A3 m629 375 45.1 0.6
) o9 q% q! H7 [: m+ t, X& q1571 259 309.0 1.3; / ?$ o3 H9 s& D2 I' {
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
_5 O7 I# f4 C+ `& a' ?5 RENDDATA 6 Z! c4 e% K* B( f* [. u4 s7 \
calc:
3 a2 S/ f1 a o2 m8 Y/ U@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
3 r, y+ w' F& `5 A$ o$ {% s+ J4 tendcalc
2 X9 j0 G# f1 Q" E/ V* Jmin=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2; & H9 {2 t8 F; A- k
@for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) ); + E% E0 M: l. C8 C7 P ]/ r0 \
END6 y p& p% o3 ?
启动 LINGO 的全局最优求解程序求解,得到全局最优解 x=978.3071,y= 723.9841,对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大,这是因为模型 1 中使用的是绝对误差,而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言,分母 很少,所以相对误差比绝对误差大,这是可以理解的。
( k) J0 |; K1 J, p+ c————————————————) d& @7 i3 q9 N6 u
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, m$ x% [* f0 l; e" W: a; V3 j原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89389044/ }. d6 Q' ]# c3 o0 y8 N
# i# J3 y6 [* Z" _5 L+ J! L: \
2 m$ D# |8 Y9 ? V9 o% s/ U
% V$ W" n/ ?* z; m+ [
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