飞行机的精确定位问题

浅夏110

问题描述：飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的 信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示，VOR 是高频多向导航设备的英文缩写，它能够得到飞机与该设备连线的角度信息；DME 是距离测量装 置的英文缩写，它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离（括号内是测量误差限），并已知这 4 种设备的  x, y 坐标（假设飞机和这些设备在同一平面上）。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的 位置？



* D! |. ?, m: k  C, p9 a
  （1）问题分析
* c* D% W5 ~% b1 R/ b1 q8 O5 Z
记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为  （以 km 为单位），i=1,2,3,4 ；VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 （从图中可以看出，按照航空飞行管理的惯例，该角度是从北开始，沿顺时针方向的角度，取值在  之间），角度的误差限为；DME 测量得到的距离为 （单位：km），距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 ，则问题就是在表 9 的已知数据下计算   。



9 E: d$ l! e- u（2）模型 1 及求解

; W+ o3 s" P5 I( `8 T 图中角度  是点   和点 的连线与 y 轴的夹角（以 y 轴正向为基准，顺时针方向夹角为正，而不考虑逆时针方向的夹角），于是角度 的正切     ( 1 )

; q( [1 c7 T$ C- r, i2 A, T9 \对 DME 测量得到的距离，显然有      ( 2 )

直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ，这是一个求解超定（非线性） 方程组的问题，在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小（越接近 0 越 好），则需要求解
2 K1 W. f+ O) b- [+ _3 n0 a& i
  V6 e4 P& ~4 u. _( b ( 3 )
+ j# S6 V: C9 Q5 r' P/ L1 J式（3）是一个非线性（无约束）最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序 如下：

# _9 L/ ]* ~* ]1 g- S* w% oMODEL:
" G/ G0 M0 m" \! k5 a  T! F9 |TITLE 飞机定位模型1;
SETS:
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
* ]7 I& l) h9 b; m# JENDSETS
DATA:
x0, y0, cita, sigma =
746  1393 161.2   0.8
$ Y; e, p# C) d629  375 45.1     0.6
" Q, p" r% U: _. K9 C1 R4 B1571 259 309.0    1.3;
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
' u; Q0 U/ ]0 ^5 B& Z! P2 u& AENDDATA
6 N/ y/ I; K8 U& r6 n* M6 c; w. Hcalc:
( N) l0 x9 G) B: R) x& P@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
/ s* d5 c7 R( q0 a  d2 S" n  j9 Oendcalc
2 T: ?) [& T0 W$ \# C: K! {min=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4)));
END
- t" B* r/ @0 f# X& C2 O上述程序必须使用全局求解器进行求解，否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项，然后求解，可以得到全局最优解 x=1019.306 ，y= 987.2909  ，对应的目标函
数值为 0.4729562，这里的解受π 的取值影响很大。

（3）模型 2 及求解
" }! i+ B% ^0 i5 [, l
! U$ n! r6 }6 j9 q1 f0 i注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的（角度为弧度，距离为公里），因 此将这 4 个误差平方和同等对待（相加）不是很合适。并且，4 种设备测量的精度（误差限）不同，而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息？ 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是：设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例，目前测得的角度为  ，测量精度为 ，所以实际的角度应该位于区间   内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少，即测量精度很高，所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式：
( q  a" L8 j( D7 a9 J( q4 s
6 p) K8 C0 @/ F; O0 J8 V+ q

# f2 X0 u+ q1 H: J6 Y  也就是说，飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的，所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的，我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x ，  max x ，  min y，  max y为目标，以上面的区域限制条件为约束，求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。
0 O5 I  `2 f' q- ?2 H$ r- v 以 min x 为例，相应的 LINGO 程序为：  
& k, S5 B( A! D6 G
MODEL:
TITLE 飞机定位模型2;
SETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
ENDSETS
/ M* k6 E0 X# sINIT:
x=1000; y=900;
9 L1 ]: l2 s0 `0 v1 BENDINIT
: {3 n, G' u; r% d4 H: v( NDATA:
x0, y0, cita, sigma =
746  1393 161.2   0.8
629  375 45.1     0.6
+ a6 z( S& o5 k2 R1571 259 309.0    1.3;
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
ENDDATA
) Y) j8 e/ r0 G) Wcalc:
' l+ q# S  {* N* s8 _3 K@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
7 c$ B% I" U8 W7 V$ Dendcalc
& L# e+ r" y: [9 jmin=x;
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma));
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma));
d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
* W% e* I' }1 U# z2 C/ d7 [d4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
END
注意：用 LINGO9 求解非线性问题，必须对决策变量进行初始化，否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制，取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地（只需要换目标函数就可以了），可得 到 x的最大值为 982.2005， y 的最小值为 717.1614， y 的最大值为 733.1582。 因此，最后得到的解是一个比较大的矩形区域，大致为 .

/ x# B, ~4 X: k# p6 T' e8 p  （4）模型 3 及求解

- M2 I, s3 c: Z' u) ?/ ~* W2 d) Y模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域，仍不能令人满意。实际上，模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的，这是很不合理的。一般来说，在多次测量中，应该假设设备的测量误差是正态分布的，而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量
* s7 o3 M4 y' |: I9 i( m5 [误差的标准差。

在这种理解下，用各自的误差限   对测量误差进行无量纲化（也可以看成是一种加权法）处理是合理的，即求解如下的无约束优化问题更合理。
, y1 b" v6 _) ?: m, s8 u

+ G1 k0 {1 x3 l9 l$ M3 j
7 s# w# Z  X0 k$ x 由于目标函数是平方和的形式，因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为：

1 H: B; S/ }7 {: \/ \7 A0 t; ?MODEL:
TITLE 飞机定位模型3;
, v1 F5 m1 O- r) pSETS:
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha;
  T; w/ u+ V/ p0 e+ Y+ W/ zENDSETS
INIT:
x=1000; y=900;
9 @4 u5 |7 }' O% r+ B+ c: mENDINIT
DATA:
2 w) O: h  r: i, }x0, y0, cita, sigma =
) H5 g, ?, q7 G1 U% Y7 E' ?746  1393 161.2   0.8
629  375 45.1     0.6
. ]+ y% V* m' |1 |/ [8 B1571 259 309.0    1.3;
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
3 }' A% M5 A7 Z* JENDDATA
5 L2 J1 B0 N6 S3 l7 pcalc:
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
8 m& q3 q* u: ^: U* wendcalc
min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2;
# b) P& `  Y8 _% t: ?& w@for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) );
( L, E7 s3 T8 w& oEND
2 `. b5 F% y4 M 启动 LINGO 的全局最优求解程序求解，得到全局最优解 x=978.3071，y= 723.9841，对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大，这是因为模型 1 中使用的是绝对误差，而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言，分母  很少，所以相对误差比绝对误差大，这是可以理解的。
; L+ P, ]) H2 q7 r————————————————
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  M+ S- R" e( U' b
. E* B* R% W, y6 {