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[建模教程] 飞行机的精确定位问题

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    1#
    发表于 2020-6-17 09:25 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    问题描述:飞机在飞行过程中,能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的 信息,根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示,VOR 是高频多向导航设备的英文缩写,它能够得到飞机与该设备连线的角度信息;DME 是距离测量装 置的英文缩写,它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离(括号内是测量误差限),并已知这 4 种设备的  x, y 坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的 位置?
    3 g% W, X# v. o  `  R: H) D
    8 L, @5 Z& W) c/ s) [
    # d9 d1 {8 f. H, P& o& o5 C  G
    & B# h% A/ L" u$ M1 M1 i" I! O7 J6 D
      (1)问题分析 ' I, r7 f8 A1 R4 N' P
      E& g$ K7 ~7 c" l
    记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为  (以 km 为单位),i=1,2,3,4 ;VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 (从图中可以看出,按照航空飞行管理的惯例,该角度是从北开始,沿顺时针方向的角度,取值在  之间),角度的误差限为;DME 测量得到的距离为 (单位:km),距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 ,则问题就是在表 9 的已知数据下计算  
    ! j( L" E+ i. l% S4 a2 ^. Z* ]6 `' E: U+ e+ U7 I4 [0 l

    ! l% D; l0 Y0 u% r
    7 Q8 H8 ?# C1 b0 k. j4 d7 X(2)模型 1 及求解
      m/ _% z5 y6 a4 z1 T# S# ?9 j3 H: u9 u# R9 Q, s% W; Q" y
    图中角度  是点   和点 的连线与 y 轴的夹角(以 y 轴正向为基准,顺时针方向夹角为正,而不考虑逆时针方向的夹角),于是角度 的正切     ( 1 )
    ( Q7 Q2 O: k  @# O# g0 h
    . E% O* f' Y3 X- E) X* G% k6 A, f对 DME 测量得到的距离,显然有      ( 2 )
    0 S: n+ j0 u5 d' l0 h/ a3 N$ Y5 n: f$ O8 b) P. }
    直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ,这是一个求解超定(非线性) 方程组的问题,在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近 0 越 好),则需要求解
    " F% d- w+ `$ l9 l7 y1 S! r1 P9 ]* i
    ( 3 )
    3 \) R" `  o, {; p式(3)是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序 如下:
    # \9 m9 j$ r3 I' J2 w/ M5 r, |' c! n0 N5 _7 \6 i
    MODEL: 9 n; n: n6 N% N: P9 h* @# R
    TITLE 飞机定位模型1;   G/ F& V2 B7 y' O! J8 t
    SETS: 9 M" ~, J' I! m+ z* O' h
    VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma; 7 B7 x* S) a& }/ ~) e9 k1 f
    ENDSETS 0 m! U( K  \0 J7 N+ ^2 R
    DATA: ( ]5 F( S  O/ S/ @, z  F
    x0, y0, cita, sigma =
    6 k" a6 b" k9 \% n- `) L4 S' `- ^" A3 f/ m746  1393 161.2   0.8
    3 `4 ?& a5 ?( K2 T629  375 45.1     0.6 % ^2 ]* ^0 m& Q4 O' y1 A
    1571 259 309.0    1.3; 7 j- C7 d* c# [
    x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; 8 r! ~' ^* J1 e: v! g
    ENDDATA 6 M$ Q; @- f0 [( s/ \) P
    calc: , [6 \1 s" J% C( [! l4 ?
    @for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); ' S8 n/ U9 ]1 @* O
    endcalc
    1 ^6 y, c- Q7 W" Zmin=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4)));
    9 C$ L2 l6 h  p7 d% N" b9 WEND# v* ^6 b5 @/ _9 c' ?% W& j" H
    上述程序必须使用全局求解器进行求解,否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项,然后求解,可以得到全局最优解 x=1019.306 ,y= 987.2909  ,对应的目标函. U1 o" _" A0 Z
    数值为 0.4729562,这里的解受π 的取值影响很大。
    % z  y* `" M& E  o
      C3 \- ^. ~$ h3 t- M3 L(3)模型 2 及求解
    # \2 n6 V. U  h* j$ ?9 p' e0 N
    + g' X/ r) o/ v* a- `注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度,距离为公里),因 此将这 4 个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且,4 种设备测量的精度(误差限)不同,而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息? 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是:设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例,目前测得的角度为  ,测量精度为 ,所以实际的角度应该位于区间   内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少,即测量精度很高,所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式:0 p3 {. I8 w1 x: e9 ^

    3 F$ x8 [& c+ G* i  c+ r1 }& I0 l2 c! t- H! z: }0 y, U# N, ~( P2 Z9 M
    " s5 j' {+ }: i# P% z3 t. ]
      也就是说,飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的,所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的,我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x ,  max x ,  min y,  max y为目标,以上面的区域限制条件为约束,求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。
    + w  K( c, G2 `3 r4 y2 T0 i 以 min x 为例,相应的 LINGO 程序为:  
    . W& V( i/ Q; l) ]3 h8 {+ p% a6 F" H# A/ c
    MODEL:
    ' [* }: L8 y/ [0 t/ vTITLE 飞机定位模型2;
    ! m$ O6 j& _* l) Y9 W0 ?+ k7 z  DSETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
    * R& m% s" ]! T0 C" j6 l' WENDSETS $ l' e1 c+ f8 O
    INIT: & L0 `1 K9 R% w1 U9 h
    x=1000; y=900;
    2 a* J3 l( I. L& w; A, tENDINIT
    % q, L$ @- ?- f6 KDATA: 1 [- J7 N$ _) N9 }: }. Y9 s5 N5 P
    x0, y0, cita, sigma =
    ' [) W0 I& L- j! p3 v$ y0 U: a746  1393 161.2   0.8
    4 s4 F( f2 g" m" f629  375 45.1     0.6
    5 g9 I! @- d7 v2 r1 I1571 259 309.0    1.3;
    6 M2 _' |" K: j' t: H% jx4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; 8 n: u: C, n/ K( X2 W
    ENDDATA
    ( k  J8 P( X$ s( Ucalc:
    ) T; I$ O/ A# X& D/ A# O: ]( v@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
    " k1 g' o5 F) T( Tendcalc 9 r* P5 K* D6 Q  ?: j; A, _
    min=x;
    * c0 O& r" e! I- z( M& o- X/ r@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma)); , g! A, t3 n0 c9 O% s
    @for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma)); ! W0 X$ |: u$ n5 ]* u7 D7 X
    d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
    $ a9 X& b3 @1 A1 Dd4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
    . Y: p! n/ j8 m9 lEND " K7 T: w( V% U1 H" V8 T
    注意:用 LINGO9 求解非线性问题,必须对决策变量进行初始化,否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制,取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地(只需要换目标函数就可以了),可得 到 x的最大值为 982.2005, y 的最小值为 717.1614, y 的最大值为 733.1582。 因此,最后得到的解是一个比较大的矩形区域,大致为 .
    ) z; G0 a& ^$ [  [! m; M' ?5 y+ P; \' t
      (4)模型 3 及求解- m" j+ h7 p0 N6 M8 v8 G- K, @. f
    1 x* e/ Y  g& L  ~7 a. M
    模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域,仍不能令人满意。实际上,模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的,这是很不合理的。一般来说,在多次测量中,应该假设设备的测量误差是正态分布的,而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量  @6 m  x9 |. j' _+ K
    误差的标准差。
    ' d2 q/ g: @- d( R- M
    # t2 K& P0 `& y* {在这种理解下,用各自的误差限   对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的,即求解如下的无约束优化问题更合理。
      Z# D% ^% E7 r
    " ?! M0 r( T' |4 }# `4 R% M: d7 B. h( Q$ E

    % r' b% T* O9 f, s- V 由于目标函数是平方和的形式,因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为:
    . e! O" ~/ c  Q$ s$ u
    3 B8 ]9 j/ \9 A; ~" P5 oMODEL: * v4 j; l9 E: s; b
    TITLE 飞机定位模型3; 6 \* @/ H8 V5 `: ^$ u) C
    SETS: 2 N/ L1 F" V! v/ z4 {' U0 [% E: @
    VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha;   M; A9 j% @5 X5 f/ h
    ENDSETS
    3 n+ r1 O4 V3 I6 [) |" C  GINIT: 7 M2 B1 W8 v* M4 T
    x=1000; y=900;
    9 G5 ]+ [/ M) Z' T: ?0 ~* ?' @0 @ENDINIT $ I* t: P  V4 U  a2 z
    DATA:
    ; `: z; `% V( `) l* |3 yx0, y0, cita, sigma = 0 {, m* e: E: J! ~) r3 ?. e
    746  1393 161.2   0.8
    ( z# ]! e, v" [6 Y- j, ]  s629  375 45.1     0.6 + o( J! ~3 r, ~- e3 u
    1571 259 309.0    1.3;
    7 h$ P5 C1 h  n5 d1 E) I* ]' qx4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; 6 H4 Q; K& d& `( r
    ENDDATA - Q/ n# P. y$ A: z$ Y: n% V
    calc:
    . k* U  O8 u4 T+ u+ o3 Y@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); # d0 c; b6 k# R" v
    endcalc
    4 U/ Y: J* X8 e0 v  [/ w9 ymin=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2; 5 n8 m0 p; r. _8 u+ O7 y
    @for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) ); 0 {  c/ K: M0 R& z; R# m6 I  s" K
    END
    9 X, b" Y- O- N. [& p/ E. m. `. i 启动 LINGO 的全局最优求解程序求解,得到全局最优解 x=978.3071,y= 723.9841,对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大,这是因为模型 1 中使用的是绝对误差,而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言,分母  很少,所以相对误差比绝对误差大,这是可以理解的。 1 O6 {! H6 ]: s9 ~( ^3 L8 A0 L
    ————————————————& |8 J8 [( S/ n9 f( g' y5 y: m
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    2 H6 K, Y" z1 b, }4 o原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89389044
    + s5 O% D' h/ R) }" S, x. k
    ( i3 S* t# t  a3 z  J. `  D
    9 o7 z' u  d: H* U0 @' B0 |- C  v% [1 P2 I: [' L/ y
    zan
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