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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
问题描述:飞机在飞行过程中,能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的 信息,根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示,VOR 是高频多向导航设备的英文缩写,它能够得到飞机与该设备连线的角度信息;DME 是距离测量装 置的英文缩写,它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离(括号内是测量误差限),并已知这 4 种设备的 x, y 坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的 位置? 4 j% R: C9 o7 y2 D
( k% |* L) z2 m$ { V4 O
L" K* o+ v9 |; {
' E D2 x6 }2 e k; H! r- U
6 d; H6 M6 u5 H$ f$ h
(1)问题分析
0 g5 ?* V0 k+ ^1 r3 Y0 o. u: R. ~8 M9 E9 n+ [# G* j
记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为 (以 km 为单位),i=1,2,3,4 ;VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 (从图中可以看出,按照航空飞行管理的惯例,该角度是从北开始,沿顺时针方向的角度,取值在 之间),角度的误差限为;DME 测量得到的距离为 (单位:km),距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 ,则问题就是在表 9 的已知数据下计算 。
, j3 ?5 Z, ?7 i+ | R2 L* V- h0 h7 T M
9 e4 ?0 N9 d, M
9 q! }& p4 l# l8 l4 p9 _(2)模型 1 及求解 ; F6 [! s* |9 @; o
. f& S* h8 v; T- Q
图中角度 是点 和点 的连线与 y 轴的夹角(以 y 轴正向为基准,顺时针方向夹角为正,而不考虑逆时针方向的夹角),于是角度 的正切 ( 1 )
7 v4 V$ C1 k- i1 g- b8 S
% K$ W5 s9 h4 ]% R5 v对 DME 测量得到的距离,显然有 ( 2 )
- |' C# c- I4 q D+ k2 z* I R; t1 t$ n8 u
直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ,这是一个求解超定(非线性) 方程组的问题,在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近 0 越 好),则需要求解
8 Y4 h0 C" o! T5 D4 d+ v
# k) l0 B% A, k$ S( G ( 3 )' G8 C9 p" R" }* s: S
式(3)是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序 如下:
M/ y; ? W; v1 b+ T- Y& s1 [5 ~2 N3 W( @
MODEL: 1 ~4 H) K+ P2 T" d
TITLE 飞机定位模型1; % L/ D A" f% k2 r0 v$ @4 _9 Q- f
SETS:
" O# g) S8 o3 A/ E+ A: [" X; y' IVOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma; 6 {1 h% _6 N* ` f: F
ENDSETS
+ |6 M+ [2 x: wDATA: 7 h, J/ J8 [/ |9 _* {, O; c
x0, y0, cita, sigma = 2 Y( \( n5 L4 }3 ~, A! T p
746 1393 161.2 0.8 ' y* m% @8 X, U; m6 h+ a3 G8 O9 X
629 375 45.1 0.6 , _% {; y1 u' M* S2 r. \3 ^
1571 259 309.0 1.3;
4 t. w4 d& M3 t) }( x, f, nx4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
I! f! j; t0 R2 R- k* g8 ~ENDDATA ( N7 x, F8 T% y( L3 \! `% {4 m* e y+ x
calc: . W; T6 M, q0 C9 R) P
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); 7 ^, F7 B: I9 Q, P
endcalc ; W: T6 g) G9 b9 W: S
min=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4)));
# D3 J- Z! ~; p8 X7 E) {. REND
$ ?5 i. n+ L1 S4 P. Z2 i! e上述程序必须使用全局求解器进行求解,否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项,然后求解,可以得到全局最优解 x=1019.306 ,y= 987.2909 ,对应的目标函# V Q- M, }( d$ T. Y2 C# W( Q
数值为 0.4729562,这里的解受π 的取值影响很大。
; \; B+ F; i7 Z V( b- n, k! b5 ` z. d
(3)模型 2 及求解' @- T" _. D0 G2 ~" \
u: Z l; m" a- |) O
注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度,距离为公里),因 此将这 4 个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且,4 种设备测量的精度(误差限)不同,而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息? 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是:设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例,目前测得的角度为 ,测量精度为 ,所以实际的角度应该位于区间 内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少,即测量精度很高,所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式:
* A+ m" c' s: Q" G& \' n) y7 n4 ?. H- j, _& c3 b
0 _7 W- }" j0 |# a
, G0 _* a% T) h- f2 F% Z- H. ^ 也就是说,飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的,所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的,我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x , max x , min y, max y为目标,以上面的区域限制条件为约束,求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。
+ Y8 B, ^( p" A. D: y 以 min x 为例,相应的 LINGO 程序为: 4 J& u6 u1 }4 g8 W$ l2 g
( c6 J9 \. a6 U
MODEL: . ?* \! ^2 Y$ b" n6 i+ w2 [
TITLE 飞机定位模型2; . \. h* \/ Q- L$ j7 c2 j
SETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma; + B: Y3 _' O2 Y
ENDSETS + a/ r0 c" {. n3 g
INIT: # e5 N, a' J( M) W
x=1000; y=900; 6 e* R4 D. N; F
ENDINIT ' f+ O& n4 Z0 B5 I, J3 `' w6 p
DATA: # k$ F7 D) Z9 N# w5 W
x0, y0, cita, sigma = 6 R* _. \) {, l& x" X6 F* [! E
746 1393 161.2 0.8 # g' _! Z- X# h2 e1 r7 W
629 375 45.1 0.6 * I1 f9 D; d* g2 T7 h1 X
1571 259 309.0 1.3;
0 a- j! m4 \9 }# Vx4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; " J0 E" e0 g8 F# s6 F
ENDDATA
& Q6 a q5 E0 d$ I! Z( ccalc:
: w N( C9 Q" K0 ~@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
$ v D6 q% v& I6 ^5 Nendcalc - M4 ~# R- z, U, e) Y/ w: t
min=x;
[0 b+ x7 H9 z5 M5 J3 H: W@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma)); 5 |4 G9 J( R e- Q) I5 J4 W6 ?
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma)); % G% R( q g; T' R
d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; " X. L# v/ _5 ^2 H: r% N+ f
d4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; ' T$ ?1 a# Z# [* M4 ^9 A0 y
END + c$ q: v0 C7 k8 @
注意:用 LINGO9 求解非线性问题,必须对决策变量进行初始化,否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制,取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地(只需要换目标函数就可以了),可得 到 x的最大值为 982.2005, y 的最小值为 717.1614, y 的最大值为 733.1582。 因此,最后得到的解是一个比较大的矩形区域,大致为 . n k5 e e9 R, N& J) {1 z
8 w2 L' o. r1 r3 _& v+ O& t
(4)模型 3 及求解) |' a- b1 I+ _8 v
. `/ w& X$ m+ w( D模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域,仍不能令人满意。实际上,模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的,这是很不合理的。一般来说,在多次测量中,应该假设设备的测量误差是正态分布的,而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量1 }/ w4 z# {8 L p
误差的标准差。 5 q" s0 ^4 d8 p1 G* n
# \, O, x A+ t; P3 V# P( }
在这种理解下,用各自的误差限 对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的,即求解如下的无约束优化问题更合理。
# ]: P3 c8 H# l9 R" \
% J2 T4 j0 }: U4 j1 z3 V; }/ f6 ?: `. R9 e$ i0 I
3 p" D7 |# @5 X, _ 由于目标函数是平方和的形式,因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为: ) q* X! ^! Y$ F" s& q7 F
' _7 d g, X5 B& N: ?MODEL:
1 J5 H9 L1 c. v4 k; d+ v% uTITLE 飞机定位模型3; # }0 n* ]# R q) F' K/ o7 o! C
SETS:
% f+ s' S0 o' sVOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha; N% S7 d/ q; n! x' w4 ^: D1 H
ENDSETS ( e* Q9 ^$ ~( S; V3 D$ Y
INIT:
8 J5 ^/ c) i8 d1 t9 gx=1000; y=900; 2 c( {7 |. [* B, C6 J& P
ENDINIT . T& ~1 k2 e7 C* e8 T3 Z
DATA: 6 K6 W6 \: {9 Y! I% }
x0, y0, cita, sigma =
5 R5 z2 _9 \( @5 ?+ b5 h- l746 1393 161.2 0.8
: E6 @6 X1 m. d& v629 375 45.1 0.6 : b% d; L) n1 y/ q- [
1571 259 309.0 1.3;
! Z3 g5 O7 w+ u# q$ [x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; 6 i( R$ z7 ]9 [
ENDDATA * s @8 K" W( V5 O
calc: 2 w; S4 r# X% P4 o8 i# H% s
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180); ) y* M* J8 p( v- u7 H, O
endcalc # g) z& `6 d; D. o6 S; c
min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2; 7 T+ x$ Z0 G8 o+ O3 Z% f$ S
@for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) );
+ E5 S [3 O ]2 H9 F1 N! y* @END( L3 E. Z7 f0 w6 n2 U& e
启动 LINGO 的全局最优求解程序求解,得到全局最优解 x=978.3071,y= 723.9841,对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大,这是因为模型 1 中使用的是绝对误差,而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言,分母 很少,所以相对误差比绝对误差大,这是可以理解的。 . G$ Y6 {( [% f8 [8 a/ A8 s
————————————————5 d# C, M h3 @5 o& z
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$ |1 ~; I. P9 V5 V3 g
7 ~, E1 H6 E; D' P; g2 J3 S( r9 x* Q# g
* s1 C8 a9 u) T5 ?4 B |
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