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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
---|
签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
问题描述:飞机在飞行过程中,能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的 信息,根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示,VOR 是高频多向导航设备的英文缩写,它能够得到飞机与该设备连线的角度信息;DME 是距离测量装 置的英文缩写,它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离(括号内是测量误差限),并已知这 4 种设备的 x, y 坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的 位置? ! k3 Z" J# |9 N% Z1 k
5 \* |( d% T, ]
6 p6 V( a; l' E# N: G/ k! a2 F
* U( V- ]" {0 T8 U9 y
' m! h5 L }/ T
(1)问题分析 # D3 \" R r9 z8 @- m* u, D3 y
( \: w2 c) j' s0 l; y
记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为 (以 km 为单位),i=1,2,3,4 ;VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 (从图中可以看出,按照航空飞行管理的惯例,该角度是从北开始,沿顺时针方向的角度,取值在 之间),角度的误差限为 ;DME 测量得到的距离为 (单位:km),距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 ,则问题就是在表 9 的已知数据下计算 。7 K7 L* G6 W1 G
" R2 H8 W, t9 ^+ T+ L1 _% J N1 p# q# p4 ^7 d! w r1 z
' d+ z8 T/ H' i- K3 @
(2)模型 1 及求解 . Q4 I; J) c0 G- B ^* k; _
% J4 F( O" R; R+ V+ g A 图中角度 是点 和点 的连线与 y 轴的夹角(以 y 轴正向为基准,顺时针方向夹角为正,而不考虑逆时针方向的夹角),于是角度 的正切 ( 1 ); j" w* ~; U0 |! Y' h4 K, Z' p
: h) I( I* P- @% ]2 O ^% i对 DME 测量得到的距离,显然有 ( 2 )
' }! k: o! ^( I( {0 [: o0 V. s+ S0 z* m4 N+ Z% R
直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ,这是一个求解超定(非线性) 方程组的问题,在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近 0 越 好),则需要求解
% K- n: n5 i1 T W, S! G# Y2 V) L/ h$ o8 k8 l( H, ^' N% ]
( 3 )1 ^" H- f9 y: J" \
式(3)是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序 如下:
% Z3 J7 I3 y( c! v) B( g, c D2 j# `) N7 `0 M8 ?: U
MODEL: / D; U B. u' i1 R2 ]
TITLE 飞机定位模型1; . a/ X1 r' {1 d( D
SETS: 4 f; T5 S/ T8 V7 X+ w' ~
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
# G- B1 u& \% @" D! q0 GENDSETS
$ A# B- e, {8 ^- e6 ]! xDATA:
3 w. I! Y6 B$ C% e/ Ax0, y0, cita, sigma = 7 M$ d0 X. w+ x1 k9 |$ c
746 1393 161.2 0.8 : j2 W P2 j# P7 S' z c% \
629 375 45.1 0.6
7 g- b; a% w7 q0 N( U3 ^2 L; \1571 259 309.0 1.3; 6 ]% ^" T8 f# F1 @" q: o* H
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
" ]+ i7 x2 W) F* a/ z8 C+ eENDDATA % b+ Y; U- M: O( L! y
calc:
' `, v3 P4 v: Z& b, Q@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
4 p5 o5 Z4 u% Dendcalc
0 C2 L% c( S8 ~8 p+ x0 U( Zmin=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4))); ) K. O# |% V9 F- Y6 A- r
END% d3 S- J0 X7 b) _
上述程序必须使用全局求解器进行求解,否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项,然后求解,可以得到全局最优解 x=1019.306 ,y= 987.2909 ,对应的目标函% ~/ Y! {* q+ O% j. N# u
数值为 0.4729562,这里的解受π 的取值影响很大。
* o) V; ]$ @! L8 u& V e7 N. D: t; o, o9 M
(3)模型 2 及求解
- c/ i4 C6 y5 f8 X% N: v
. r: K( e. I d0 v注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度,距离为公里),因 此将这 4 个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且,4 种设备测量的精度(误差限)不同,而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息? 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。 一种可能的理解是:设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例,目前测得的角度为 ,测量精度为 ,所以实际的角度应该位于区间 内。对其它设备也可以类似理解。由于 很少,即测量精度很高,所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式:
& b! X4 w+ X n, }4 h2 |3 m F/ f/ ]
+ \& k4 H# n1 }0 J
8 [, E- H7 S/ { 也就是说,飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。 由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的,所以飞机坐标在这个区域内的每个 点上的可能性应该也是一样的,我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x , max x , min y, max y为目标,以上面的区域限制条件为约束,求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。 ]7 j( i$ |8 ^* t4 N7 O' y+ X* h
以 min x 为例,相应的 LINGO 程序为:
) |3 I9 l$ B: z" k' D
) |6 x9 }. t! b' K0 v( LMODEL: " }3 B+ q" |& U& b( u: a
TITLE 飞机定位模型2; $ h. X. K; ?! i- [ X
SETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma; 8 y# s9 T. Z8 p, w& m. h9 B" g
ENDSETS n! E. ]# w, T' d
INIT: 5 z) R- X9 e. d* {/ G
x=1000; y=900; 3 _5 o: [7 V( t6 v; {* a
ENDINIT
( @. C% U' [6 K7 J7 iDATA: 5 }$ f# W8 n% D$ |5 c# B1 S
x0, y0, cita, sigma = 8 r8 l% Q8 v3 i
746 1393 161.2 0.8 * F \- P' P" L5 @0 h, V
629 375 45.1 0.6
4 i$ k9 u7 [1 ]) s1571 259 309.0 1.3;
5 G( G) A- S' q8 k$ T6 l$ Y y8 @x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0; 2 H/ P% t& |8 `# Q5 i, T: y( [1 _
ENDDATA # z+ T$ |" ~8 |0 Z& k) I+ w( l
calc: . E/ G# K4 ~5 T
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
2 J1 i0 [8 U4 i, [& [endcalc
1 U) y) M( {: L; Cmin=x; & ?- L" k% d0 A/ K5 S8 d
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma));
& f# l( w; T+ a" w1 W6 U@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma)); ) c" T% E' w- w0 `+ F2 Z
d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
9 j; d+ n- v# D- z6 E( h3 d; Zd4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ; " A H' E4 s( R& w ] h/ S
END 5 R6 `% I- J' Y! Q
注意:用 LINGO9 求解非线性问题,必须对决策变量进行初始化,否则 LINGO 可 能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制,取的不合适也可能找不到可行解。 求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地(只需要换目标函数就可以了),可得 到 x的最大值为 982.2005, y 的最小值为 717.1614, y 的最大值为 733.1582。 因此,最后得到的解是一个比较大的矩形区域,大致为 . 9 {5 R# D2 X: ]
+ G" b# ~! ^" E5 T9 C9 @; `4 y
(4)模型 3 及求解
: _, S, x6 I! j/ }7 D
! f, S( `* @7 E, r; G模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域,仍不能令人满意。实际上,模型 2 假设 设备的测量误差是均匀分布的,这是很不合理的。一般来说,在多次测量中,应该假设设备的测量误差是正态分布的,而且均值为 0。本例中给出的精度 可以认为是测量5 I0 `" o+ _& Y9 t1 x
误差的标准差。 , B- P/ z m" C& j! N
5 ] I6 O6 n4 i4 e) d# \在这种理解下,用各自的误差限 对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的,即求解如下的无约束优化问题更合理。
2 d# g6 K6 D5 n5 z4 C. d; m
- k& V7 ?2 B$ |$ _% B/ U( E2 R+ n4 H# W 4 F% ?, K. v; e- K. w
; h8 O) d& ~, v$ m. P3 r 由于目标函数是平方和的形式,因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为:
7 `% I# d/ x7 }' {( ]+ @
& p; `$ k8 O; y6 c4 ~) r2 WMODEL:
' l! k9 h, X( H: Q; k' }TITLE 飞机定位模型3; ; e8 Z( S9 Y1 a1 {4 k/ U
SETS:
- P& E4 @- F9 XVOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha; 2 \. n: L, }( s' O
ENDSETS
0 J5 c) K# f) h4 }7 T- H9 g5 {: {- TINIT:
+ l6 c; H8 O& f5 _/ O5 \0 lx=1000; y=900; ! c1 p) {$ b. {6 o6 X
ENDINIT & @( P) h& P6 j3 n6 r! G$ }2 m1 l4 H
DATA: 7 ^7 o* [2 a" u+ Z9 w H+ f
x0, y0, cita, sigma = . ?6 u4 x+ `9 P2 J7 J
746 1393 161.2 0.8
% l6 [3 H! @0 h# _, M; _, p% ^629 375 45.1 0.6
: t8 [' b* }; K, N2 ~1571 259 309.0 1.3; 0 p3 f- F! `* [" O1 D3 {" u
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
# E- n5 v6 M: F+ dENDDATA 5 u" S! o: y9 ?& \7 z( k) @
calc: - @+ b J! C$ F6 O6 c6 _5 |
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
* ?2 R$ Z, C% q# t+ Yendcalc ; }! v4 d$ j& [% N+ l
min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2;
# e7 C" ?( h5 v% W@for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) );
% t, X3 ~+ Z3 L g% U! oEND
- ?) z# l3 j; p! X9 f 启动 LINGO 的全局最优求解程序求解,得到全局最优解 x=978.3071,y= 723.9841,对应的目标函数的值为 0.668035。 这里得到的误差比模型 1 的大,这是因为模型 1 中使用的是绝对误差,而这里使用的是相对于精度 的误差。对角度而言,分母 很少,所以相对误差比绝对误差大,这是可以理解的。 / {& q7 z4 U+ j) P% U, }( [
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' M+ a" ]8 t5 S% `3 q7 ? o
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