数学建模方法——SPSS主成分分析法

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Ⅰ.主成分分析：
: |# x" ~7 }6 y; W7 b! ?主成分与原始变量之间的关系：
, p* F& D0 |$ q  Z$ V. ]3 lPCA降维：
' j# ]4 Z* m0 F4 M$ u: p; tⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下：
A.求指标对应的系数
+ e8 F" Y1 P" H3 S1.方差图与成分矩阵：
* a$ b/ u/ h* x. F2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
. V: Y/ B- [2 r6 x3 M4.采用excel的公式计算指标系数
; ^4 l; f5 O' W, U, [5 H9 N5.数据的归一化处理
0 {% z! M  N# X2 ~2 @" L2 Ga.操作如下：
4 J: B7 O: L7 V9 Tb.得到归一化后的数据：
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
& ~6 h7 T0 J1 S; [* U0 p2 BB.附spss的免安装文件地址：
9 i. x2 v$ R* MⅠ.主成分分析：
5 z- ?: W9 U% {  X7 L8 N; u​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。
# C: Q- H3 D$ a5 o/ a
7 N4 V( Q; I% d8 o, m主成分与原始变量之间的关系：
1 m  S. i0 r8 P​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。
8 H. i  a$ ~) Z7 R& Q
​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。
6 g) b; F9 ]1 h; ^9 t) I7 ~, u
! y! ?1 P! Y* x​ （3）各个主成分之间互不相关。

​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。
/ b4 W* z; X5 e
PCA降维：
' D9 f* W4 C/ M) C​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。

​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。
8 [1 q% Z  n( g- D# l
Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：

! {) w/ E/ J5 ~# M: w
8 m& m+ t& ~2 F
2 j9 K# b+ t" R' w


+ w. o" E7 W' J3 g; l7 y




8 F! m, |6 d) w' J9 z2 G

% L# j# _0 [1 a( ]7 {% c
; w% o. u3 M. n; N! h
# H1 n# B$ I: |  i$ a  F0 F  S+ ^
; x+ ], t. e% m, B1 I! w7 B% v5 w
( o+ u% Q8 p' k" i4 l; A7 k3 H

A.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵：


9 `: y7 ]% r1 t+ H
2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
F1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10
  P( P  C* m. g7 l, I2 y  y
F2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10
( H0 A, }; r! J! s
(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)
; m# n- R$ w6 Y# z  i$ Y2 K
  b# s# q3 c+ b! ?  J- w- ~; f+ x" ]: ~3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
F=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2

' Z- |4 g. w3 U7 H7 I. j" b$ Y4.采用excel的公式计算指标系数
将成分矩阵的数据列导入excel表格。


然后通过Excel命令：

​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

得到结果：

, g; l; h% U/ [# M) C" z6 N
5.数据的归一化处理a.操作如下：
8 D. `  B; C, T
! r; h4 I+ P: J9 M
) S" y3 T% I) A, t

/ P* W1 t5 ^; b# vb.得到归一化后的数据：


c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：

​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

4 v5 q9 X3 m: j. _# K

F2同理可得；

​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。

" C$ r# N' k- E- Q

! h7 T; @, T% n- e  P# ]
, h+ ]$ m8 ]: |/ P3 v+ K